Тензор инерции и момент инерции

ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 169 [c.169]

Тензор инерции и момент инерции. Тензор / можно рассматривать и как тензор второго ранга и как диаду. Его обычно называют тензором момента инерции или просто тензором инерции. Преимущество записи тензора I в виде диады [c.169]

Переход от произвольной системы координат К, в которой тензор инерции недиагонален, к системе К осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей [c.285]

Мерой инертности тела, кроме массы, является тензор инерции-— шесть моментов инерции, которые входят в качестве коэффициентов в выражение кинетической энергии и в выражения проекций кинетического момента тела. Как мы увидим дальше, моменты инерции зависят от выбора начала и направления осей координат, относительно которых они вычисляются (мы ограничиваемся прямоуголь- [c.362]

Понятие о тензоре инерции тела в данной точке. Моменты инерции твердого тела относительно координатных осей, проходящих через некоторую точку О, и центробежные моменты инерции относительно этих осей представляют собой шесть величин, зависящих от положения точки О и от направления осей, так как с их изменением изменяются координаты точек тела Xi, yi, Zi. Эти величины можно расположить в виде симметричной таблицы-матрицы [c.109]

Модели сложных изделий, в которых может объединяться до нескольких десятков тысяч элементов, требуют значительных ресурсов компьютера. В системах верхнего уровня предусмотрены специальные приложения визуализации и анализа таких изделий. Эти среды позволяют использовать математически точные модели изделия, упрощая их представление в структуре данных. В результате создается новый геометрический объект - большая сборка , который может использоваться для изменения его конструкции путем топологических операций, проверки связности сборки или измерения параметров и характеристик (объем, центр масс, плотность, моменты и тензоры инерции и др.). [c.44]

Пример 4. Регулярная прецессия по инерции динамически-сим-метричного тела демонстрирует регулярное изменение нарушения симметрии . Инерционные свойства тела характеризуются тензором инерции. Гироскопический момент при вынужденной регулярной прецессии направлен так, чтобы стремились совместиться две оси ось быстрого собственного враш,ения и ось прецессионного вращения (правило Жуковского). При совпадении этих осей имеем спящий волчок, который удивляет свойством сохранять направления своей оси в пространстве. Вращающийся по инерции однородный шар даёт пример циклического движения, в котором сохранение симметрии лишь кажущееся, поскольку в каждый момент времени на место одних масс приходят другие равные им массы с такими же скоростями. [c.246]

Масса ракеты Ж, уменьшающаяся вследствие расхода газов через выходное сечение, является в нашем случае заданной функцией времени предполагается известным также закон сгорания, определяющий для каждого момента времени количество и конфигурацию наличного топлива этим задается функциональная зависимость от времени вектор-радиуса центра инерции и тензора инерции 0 . Массой [c.489]

Оси, жестко связанные с твердым телом, относительно которых тензор инерции диагоналей, называются главными осями инерции. В этом случае диагональные моменты называются главными моментами инерции и обозначаются Jy Jz. Для каждого начала системы 5, жестко связанной с телом, существуют свои направления главных осей и свои значения главных моментов. [c.351]

Примерами симметричных тензоров второго ранга в пространстве двух измерений могут служить напряжение и деформация в точке тела, находящегося в плоском напряженном состоянии, и момент инерции площади плоской фигуры [c.19]

Рз ось Oz — углы у,, у 2, У3. Формулы (27) полностью аналогичны формулам (31) для моментов инерции относительно осей координат, а (28) формулам для центробежных момен-гов инерции (35) 9 гл. 3. Это и естественно, так как компоненты тензоров второго ранга преобразуются по единым формулам при переходе от главных осей к другим осям координат, повернутым относительно главных. [c.570]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСЕВЫХ И ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ ИНЕРЦИИ ТЕЛА В ДАННОЙ ТОЧКЕ [c.105]

Момент инерции тела относительно некоторой оси I определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны. При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел — характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и v общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие косинусы, остается одним и тем же и задается формулой (25). Можно показать, что при повороте системы декартовых координат х, у, Z относительно рассматриваемой точки О моменты инерции J , JУ к Jz центробежные моменты инерции изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга ). Поэтому матрица [c.177]

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Однако Jio изменяется во времени, так как мгновенная ось перемещается относительно тела. Выразим поэтому кинетическую энергию не через момент инерции J , а через элементы тензора инерции для неподвижной точки и закрепленных в теле осей [c.185]

Момент инерции может быть выражен через элементы этого тензора при помощи формулы (39). Подставив это выражение для /и в формулу (41), получим [c.185]

Формулы (46) определяют кинетические моменты тела относительно связанных с ним осей через проекции угловой скорости на эти оси и элементы тензора инерции. [c.187]

Если ввести в рассмотрение матрицу J Jij тензора инерции для неподвижной точки в выбранной системе связанных с телом осей, то соотношение между вектором кинетического момента и вектором угловой скорости можно записать в векторно-матричной форме [c.188]

Пример 2.16. Найти главные моменты и оси инерции для тензора инерции [c.119]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Матрица, или таблица (25), составленная из осевых и центробежных моментов инерции относительно декартовых осей координат, называется тензором инерции в точке О. В тензоре инерции условились центробежные моменты инерции брать со знаком минус. Компоненты тензора инерции (отдельные осевые или центробежные моменты инерции) зависят не только от выбора точки, но и от ориентации осей координат в этой точке. [c.271]

Для определения момента инерции относительно какой-либо оси, проходящей через заданную точку, для рассматриваемого тела необходимо иметь тензор инерции в этой точке и углы, определяющие направление оси с осями координат. [c.272]

Таким образом, если известен тензор инерции для осей Охуг, то можно определить как направление главных осей инерции, так и главные моменты инерции. Для главных осей инерции тензор инерции (25) принимает форму [c.277]

Симметричный тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и взятые с обратными знаками центробежные моменты инерции системы. [c.87]

Поскольку векторы К и ы представляют собой объективные физические величины главный вектор момента количеств движения твердого тела в его вращательном движении вокруг неподвижного центра О и вектор угловой скорости и [точнее говоря, К и (й являются псевдовекторами (см. 34 и указанные там примеры псевдовекторов)], совокупность коэффициентов при Ых, (Чу, СЙ2 в системе равенств (3), представленная матрицей (5), образует физический (объективный) тензор второго ранга, который мы обозначим буквой / и назовем тензором инерции тела в данной его точке. [c.282]

Подчеркнем, что моменты инерции 1х, Jy, Jz, так же как и произведения инерции Jxy, Jyz, hz, зависят от выбора в теле осей координат, но совокупность этих величин в целом представляет не зависящую от этого выбора единую физическую величину — тензор инерции J. [c.283]

Момент инерции (как и тензор инерции) зависит также от выбора начала подвижной системы координат. Однако существует простая зависимость между моментами инерции относительно данной оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс. Пусть R обозначает вектор, идущий из начала координат О в центр масс, а г, и г —радиус-векторы, идущие в i-ю точку из точки О и из центра масс (рис. 53). Эти три вектора связаны соотношением [c.171]

Моменты инерции зависят как от положения начала подвижной системы, так и от ее ориентации относительно тела. Было бы, конечно, весьма удобно, если бы при заданном положении начала координат можно было найти такую ориентацию подвижных осей, при которой тензор инерции является диагональным и, следовательно, может быть записан в виде диады [c.172]

Расширена глава о моментах инерции. Это позволяет на примере тензора инерции описать некоторые общие свойства тензора скоростей деформации и тензора напряжений в мехатш-ке сплошной среды. [c.3]

Из матрицы (40.6) видно, что диагональные компоненты тензора J представляют собой осевые моменты, а остальные — центробежные моменты инерции со знаком минус. В силу симметрии Jx,j = , х ==И Jzx = Jx2, 3 потому швнзор пнврции пмевт всего шесть составляющих. [c.110]

Формулы (31) и (35) дают выражения всех компонентов тензора инерции для осей координат Охуг через главные моменты инерции, еели известны углы этих осей с главными осями инерции. В приложениях встречаются частные случаи, когда одна из осей координат Охуг совпадает с главной осью инерции. [c.280]

На основании приведенных выше соображений приходим к выводу, что тензор инерции системы является физической величиной, характеризуюш,ей в целом совокупность моментов инерции относительно осей, принадлежаицих многообразию координатных триедров с вершинами в фиксированной точке — начале координат. Конечно, мы имеем в виду также и центробежные моменты инерции. [c.79]

В осях симметрии iXiyiZi для колес 1, 3 к осях jIt] для колеса 2 вычисляются числовые значения экваториального и полярного моментов инерции. Тензоры инерции /[О, 1(р /з<з) колес в этих осях будут диагональными. Тензор инерции колеса 2 в осях вычисляется с помощью матричного преобразования [c.116]

Требуется 1. Определить в осях Ахуг координаты центра масс С ротора и его тензор инерции. 2. Составить уравнение вращательного движения ротора и уравнения для определения дина-мически-х реакций в подшипниках. 3. С помощью ЭВМттртзинтегрл-ровать уравнение движения для заданных начальных условий на интервале времени т и определить изменение во времени динамических реакций. 4. Построить графики tiz(t), ei(t), RA(t)- 5. Для момента времени /=А (Л -Ь1) =0,16 с изобразить векторы динамических реакций на рисунке. [c.118]

Тензор инерции принимает наиболее простой вид, когда оси координат совпадают с главными осями тензора инерции. Главные оси тензора инерции перпендикулярны друг другу. В главных осях тензор инерции диаго-нален. Диагональные элементы называются главными моментами инерции молекулы относительно соответствующих осей. Они имеют смысл момента инерции при вращении вокруг соответствующей оси. Нумеруя оси декартовой системы координат, совпадающие с главными осями тензора инерции, индексами / = 1, 2, 3, обозначим момент инерции относительно оси /. Главные моменты инерции и направление главных осей инерции раз гачны для разных точек молекул (как в твердом теле). Если главные оси проходят через центр масс молекулы, они называются центральными главными осями. В этом случае начало декартовой системы координат, оси которой совпадают с главными осями тензора инерции, совпадает с центром масс молекулы. При анализе вращательного движения молекул, так же как и при анализе вращательного движения твердых тел, целесообразно рассматривать вращение в главных центральных осях, что и подразумевается в последующем. [c.318]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...