Предельное значение определенного интеграла

ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА V (t) [c.445]

Его вычисление как предельного значения аналогичного интеграла, определенного в любой точке потока для гладкого контура, дает [c.55]

Для определения предельных значений контурного интеграла [c.115]

Рисунок 4.18 - К обоснованию определения предельной плотности энергии деформации W у края трещины (надреза) по данным стандартных испытаний образцов на растяжение При наличии надреза W зависит от коэффициента концентрации напряжений, но не зависит от размера образца. Как показали исследования, при наличии надреза (или трещины) плотность энергии предельной деформации может быть выражена через критическое значение J - интеграла (или раскрытие трещины) в виде

Мы можем неограниченно увеличивать R, не меняя С, и при этом р будет, разумеется, оставаться фиксированным благодаря выбору определенного значения Предельное значение /j ( при этом, очевидно, будет равно нулю. Однако, увеличивая R, мы деформируем Г таким способом, который не может изменить значения интегралов в уравнении (д). Следовательно, / должно обращаться в нуль, если R — конечно. Теперь первый интеграл в формуле (б) можно опустить. При этом останется равенство [c.221]

Если теперь участок интегрирования Д устремить к нулю, то абсцисса / .р будет стремиться к своему предельному значению с. Полагая в пределе ер=с, получим формулу для определения частного интеграла х) на втором участке балки [c.295]

Левая часть (3.9) представляет собой интеграл типа Коши. Следовательно, совокупность К,, и можно рассматривать как единую аналитическую функцию К (к, X Е), определенную во всей плоскости комплексной переменной Е с разрезом, вообще говоря, вдоль вещественной оси. Видно также, что спектральная функция J(к, к -, Е) непосредственно выражается через предельные значения К (к, к Е) на верхнем и нижнем краях разреза. Действительно, при приближении к вещественной оси сверху и снизу (см., например. [И]) соответствующие предельные значения (3.9) имеют вид ) [c.31]

Чтобы составить условие обтекания (4), надо найти предельное значение правой части этой формулы при стремлении точки z к какой-нибудь точке контура С. При определении этого предельного значения все внимание должно быть обраш,ено лишь на интеграл [c.98]

Последовательность вектор-функций Fl(/) имеет единственную предельную точку — вектор-функцию F(/), которая, очевидно, обладает требуемыми свойствами. В самом деле, F( ) равна нулю всюду, кроме точки 1о, где она принимает бесконечно большое значение. Далее вычислим интеграл от этой функции. С этой целью за фиксируем момент t У to. По определению последовательности , найдется такой номер п, что при всех г > п будем иметь to < ti < t Следовательно, для всех 1 У п будет выполнено равенство 1 = Р. [c.290]

Полученные выше формулы для предельных граничных значений производных потенциалов включают сингулярные интегралы, вычисление которых сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Значительных упрощений можно добиться с помощью выражения сингулярных интегралов через регулярные. Такие выражения, а также соответствующие формулы для предельных граничных значений потенциалов и их производных будем называть формулами регулярного представления [130]. Примером такой формулы служит формула (4.21), которая, в отличие от (4.26), не содержит сингулярного интеграла. Для регулярного представления в ней использована формула типа Гаусса. Другой подход для построения формул регулярного представления состоит в использовании теоремы Стокса. При этом требуется представить ядра потенциалов в виде, допускающем применение этой теоремы (для случая изотропной среды см. по этому поводу [84, 171]). [c.58]

Рассмотрим другой способ вычисления сингулярных интегралов. Обнаружено, что если элементарная область есть плоский многоугольник, то сингулярный интеграл вычисляется в замкнутом виде (при этом предполагается, что плотность постоянна в пределах области). Заметим, что в этом случае изымаемая из рассмотрения часть области (согласно определению сингулярного интеграла) есть круг. Разумеется, использование указанной формулы требует осуществления предварительной полигонализации поверхности (если она первоначально криволинейна). Наиболее просто получается указанный результат, если область является прямоугольником и опорная точка выбрана в его центре. Из формулы (1.29) следует, что скачок предельных значений оператора напряжений равен удвоенной плотности, а из условий симметрии следует, что его значения с разных сторон совпадают по величине и обратны по знаку (поэтому предельное значение оператора напряжений равно самой плотности с учетом знака). Такой прием позволяет сразу найти не только сам интеграл, но и его сумму, включающую внеинтегральное слагаемое. [c.574]

В работе получены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок и результаты решения задач изгиба ортотроп-ных и многосвязных пластин разработаны алгоритмы решения МГЭ задач изгиба пластин сложной формы, дано развитие методики определения предельных значений потенциалов для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины предложен способ вычисления расходящегося интеграла с особенностью типа при г->0, предложены итерационные процессы решения прямым и непрямым МГЭ линейнь(х и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанные на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщи- [c.4]

В заключение заметим, что для использования условия (75) необходимо иметь экспериментально определенное предельное значение /j . Эту величину иногда называют упругопластической вязкостью разрушения. Рассматриваемый здесь критерий становится эффективным при значительных пластических деформациях, занимающих большой объем тела. Основное достоинство /-инте- грала — независимость от контура интегрирования — позволяет считать (хотя и несколько произвольно), что инвариантность относительно пути интегрирования озна- чает также и инвариантность при переходе от образца к изделию. Иными словами, критическое значение /-интеграла (упругопластическая вязкость разрушения /и), определенное на образце, считается таковым же и для рассчитываемой детали. [c.128]

В заключение следует сделать еще одно замечание. Возникновение в представлении звукового поля, да и, вообще говоря, любого волнового поля, интегралов с особенностью на пути интегрирования является довольно типичной ситуацией. Возникающая при этом математическая неоднозначность в определении значения такого интеграла означает и некоторую неоднозначность в постановке задачи. Физический анализ такой неоднозначности обычно позволяет достаточно четко определить тот путь вычисления интегралов, который соответствует существу задачи [71]. В частности, очень важно использовать в таком процессе принцип предельного поглощения совместно с переходом к контурному интегрированию. Однако такой прием полностью оправдан на том этапе, когда известны явные выражения для плотностей интегральных представлений, в данном случае функции Ь (т) и d (т) в системе (2.139). В рассматриваемой задаче об излучении звука коротким цилиндром эти функции должны определяться из системы сингулярных уравнений, в которой интегралы также допускают неоднозначную трактовку. Введение в среду затухания не сказывается на характере сингулярности системы (2.134). Какие-либо другие способы, кроме приведенного выше способа трактовки интегралов в с.мысле главного значения для регуляризации системы (2.134), указать трудно. [c.102]

Таким образом, на основании определения (4.14) интеграл (4.47) при х=хо существует ввиду (4.49) как сингулярный интеграл, равный сумме трех первых слагаемых в выражении (4.48). Предельные граничные значения djWi(x y p) при х- х° отличаются от этого сингулярного интеграла соответствующими предельными граничными значениями четвертого слагаемого в выражении (4.48). В силу (4.36) и (4.39) [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...