Решение ковариантность

Предположим, что метрика выбрана ). Тогда можно найти все контра-вариантные или ковариантные компоненты вектора бг на основании соотношений 24 первого тома. Вычисления, связанные с этим определением, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений с 2Л1 неизвестными. Предположим, что это вычисление выполнено. Пусть найдены контравариантные компоненты вектора бг Ьг> = ЬхК Предположим, что форма [c.389]

В дальнейшем мы увидим, что уравнения движения в напряжениях (12.73), если их рассматривать совместно с реологическими уравнениями состояния как систему дифференциальных уравнений, гораздо сложнее уравнений (12.69), потому что ковариантная производная телесного тензора напряжений содержит нелинейные комбинации неизвестных переменных Yij, в то время как соответствующие компоненты ga в уравнениях для пространственного поля являются заданными функциями положения поля. Таким образом, использование телесных полей (в отличие от пространственных) приводит в общем случае к более простой форме реологических уравнений состояния, но к усложнению уравнений движения в напряжениях. Тем не менее некоторые задачи были решены целиком на основе телесного формализма, где решение в принципе всегда возможно. Уравнения движения в напряжениях в терминах телесных полей были даны Дюкером р], Грином и Зерна р [c.410]

Обратим внимание на то, что при решении задач теории упругости обычно пользуются физическими компонентами векторов и тензоров. Чтобы получить выражение в физических компонентах, например для цилиндра, следует каждую ковариантную компоненту с индексом 1 разделить на г (столько раз, сколько встречается индекс 1), а каждую контр авар и антную компоненту с индексом 1 умножить на г (приложение I). [c.170]

В (5.6.6) — метрический тензор V — оператор ковариантного дифференцирования по X при фиксированном у. Отметим, что матрица A(x-j ), рассматриваемая как функция аргумента является фундаментальным решением сопряженного оператора Q (V) = Q(-V). Используя известное [71] представление функции Макдональда K (z) в форме степенного ряда, можно показать, что при х у ядра j x - j ) имеют следуюш ий характер полярностей [c.158]

Решение. Скорость точки определим через ковариантные составляющие [c.58]

В общем нестационарном случае, когда поле и зависит явно от t, форму Q также можно привести к стационарному виду. Для этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = v x,t), определяемую (9.3). Пусть x t,z) — решение этой системы с начальными данными x[Q,z) = Z. Соответствие z —> х = x t,z) будем трактовать как неавтономную замену переменных. Положим u x,t)dx -t- B x,t)dt = Ut z,t)dz -t- Bf z,t)dt. В силу свойства ковариантности уравнений Эйлера — Лагранжа, в новых переменных уравнение (9.3) принимает тот же вид [c.61]

Решение. В задаче 11.2.7 получено решение в ковариантной форме. Здесь используем примитивный метод решения дифференциальных уравнений. [c.493]

Вопрос о полной классификации конечномерных алгебр Ли сводится к нахождению всех возможных наборов структурных постоянных, удовлетворяющих указанным выше условиям (и вполне определяющих закон композиции в некоторой окрестности соответствующей группы Ли). Иначе говоря, описание всех типов алгебр Ли эквивалентно нахождению всех решений тождества Якоби на классе вещественных тензоров третьего ранга с одним контравариантным и двумя ковариантными индексами, по последним из которых он антисимметричен. В полной мере эта задача до настоящего времени своего решения не получила. [c.13]

При решении задач, в которых гидродинамические движения обладают определенного типа пространственной симметрией, разумно пользоваться соответствующей системой криволинейных пространственных координат. Поэтому полезно привести ковариантную формулировку результатов (3.28) - (3.30). [c.193]

Решение уравнения Дирака, которым описывается движение электрона в поле плоской электромагнитной волны, было получено Волковым. В ковариантной [c.201]

Ковариантность решения. В такой общей постановке трудно что-либо сказать о свойствах решения игры ф(Г). Можно лишь отметить одно важное, но почти очевидное свойство, которое мы назовем ковариантностью. Оно состоит в том, что ф(Г) не зависит от названий игроков, точнее, не меняется при переименовании одних игроков в другие. [c.185]

Решение обладает свойством ковариантности, если 1 5еф(Г) следует 5еф(яГ) для любого п. [c.186]

Аналогичное свойство общего решения игры было названо нами в п. 4.1.3 ковариантностью. Там же имеются указания на связь понятия ковариантности с понятиями анонимности, равноправия и симметрии. [c.219]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

С учётом ур-ний непрерывности= 0 и/, = 0 независимыми оказываются только правые ур-ния в (6) и (7). (Об их записи в интсгр. форме, о граничных и нач. условиях, условиях излучения и о единственности решения см. Максвелла уравпени.ч.) Полевые ур-ния (6), (7) совместно с ур-пиями движения всех зарядов под действием силы Лоренца лежат в основе Э. В релятивистски ковариантной форме ур-ния (6) и (7) имеют вид [c.521]

T girg n< l) — S 8irSjn< IJ= A girgjn- Ковариантные компоненты метрического тензора были найдены при решении задачи 1.5 (формула (1.44)1. Для примера приведем подробную запись вычисления одной из компонент [c.40]

Рассмотрим теперь вопрос о группах симметрий уравнений Ньютона, т.е. о тех группах преобразований, которые переводят инерциальные системы отсчета снова в инерциальные. При этом, как уже отмечалось во введении, следует различать понятия инвариантности и ковариантности уравнений по отношению к тем или иным преобразованиям переменных и времени. Если мы хотим рассмотреть вопрос об инвариантности уравнений в какой-то конкретной задаче механики, то следует иметь ввиду конкретную зависимость сил от времени, координат и скоростей, и инвариантность изучать с учетом этой зависимости. Если же нас интересует инвариантность правила составления уравнений, а не самих уравнений (ковариантность уравнений), то зависимостью силы от указанных переменных интересоваться не нужно, рассматривая сами силы в качестве дополнительных преобразуемых переменных. При решении вопроса о связи инерциальных систем отсчета друг с другом нас интересует именно вторая постановка. [c.267]

Подставляя (2.6) в (2.2), можно в результате непосредственной проверки убедиться, что (2.6) является точным решением системы у равнений (2.2). При этом необходимо учесть, что ковариантные составляющие Knmij, которые определяются соотношениями (1.8), имеют следующие свойства [c.111]

Последняя глава Релятивистская механика посвящена применению лагранжева и гамильтонова подходов к решению задач релятивистской механики в параметрическом представлении. В этом случае координаты и время зависят от одного параметра — собственного времени, а уравнения движения ковариантны относительно преобразования Лоренца. Следует отметить важную для приложений задачу о движении частиц в плосковолновых полях и релятивистскую задачу Кеплера. Приведены задача о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющая интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду, и задача об автофа-зировке протонов в синхрофазотроне. [c.6]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

Вектор места г в отсчетной конфигурации. Векторный базис отсчетной конфигурации разыскивается по известным уже значениям ковариантных компонент = мстричсского тензора Е этой конфигурации из интегрируемой системы уравнений (1Л8.12). Вектор места г определяется вслед за этим квадратурой по (1.18.13). Получающиеся формулы должны, конечно, представлять решения систем уравнений (9.1), (9.11) и (9.14) относительно координат в отсчетной конфигурации, соответствующие случаям а, Pi, 2-Подлежан1ая рассмотрению система шести уравнений [c.324]

Следовательно, если уравнения поля ковариантны, мы должны принять, что величины Mik в левой части уравнений (11.5) и (11.3) связаны четырьмя тождествами. Это значит, что решения gik уравнений поля (11.5) содержат четыре произвольные функции, соответствующие четырем произвольным функциям в преобразованиях (11.7). Это вносит произвол только в наше описание пространства — времени, но не в физическую систему, порождающую гравитационное поле. В самом деле, как ясно из 9.15, всегда возможно надлежащим выбором пространственно-временных координат обратить четыре функции gii в (—бц) во всем пространстве — времени. Шесть независимых уравнений, остающихся после введения четырех тождеств относительно M k, оказываются достаточными для определения остальных шести колшонент метрического тензора gik- [c.304]

Это выражение преобразуется так же, как и ф х + с ж). Поэтому их можно вычитать, преобразуя ковариантную производную. С помощью этой формулы можно переносить Ф(ж) по кривым, разбивая их на маленькие кусочки. (Параллельный перенос ф х) по кривой является решением дифференциального уравнения уф = = О, где V — касательный вектор к кривой.) [c.54]

Для приложений могут потребоваться весьма различные аксиомы. Однако пока что аксиоматически, определенных решений в литературе только несколько. Несмотря на большие различия в интерпретациях моделей, для которых строились системы аксиом, сами аксиомы все же похожи. Во всех системах фигурируют по крайней мере некоторые варианты аксиом симметрии, оптимальности по Парето и ковариантности. Мы приведем две системы аксиом Нэша (1950) и Эрроу—Гурвича (1972). Попутно скажем и о других аксиоматических решениях. [c.214]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...