Преобразования канонически бесконечно малые

Подобное преобразование называется бесконечно малым каноническим преобразованием .Оно обладает одним замечательным свойством в то время как произвольное каноническое преобразование не допускает представления в явном виде, бесконечно малое каноническое преобразование может быть получено в явном виде. [c.251]

Функцию Гамильтона Н называют в связи с этой теоремой производящей функцией канонического бесконечно малого преобразования . Заметим, что, в отличие от производящих функций 5, функция Н есть функция точки фазового пространства, инвариантно связанная с преобразованием. [c.237]

Но преобразование, переводящее переменные д я р) в переменные QJ и Р], каноническое, так как при нем сохраняют свою форму канонические уравнения движения. Оно принадлежит к бесконечно малым контактным преобразованиям, рассмотренным в предыдущем параграфе. Имеем [c.363]

Доказанная теорема позволяет сделать вывод, аналогичный приведенному в 127. Переход от одной точки в многообразии изображающих точек, соответствующих системе канонических уравнений динамики, к другой точке Этого многообразия можно рассматривать как результат бесконечной последовательности бесконечно малых канонических преобразований, определенных формулами (II. 388). [c.388]

Рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование. Новые переменные пусть мало отличаются от начальных [c.232]

Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы введем понятие бесконечно малых канонических преобразований. Как и в случае бесконечно малых поворотов, это будут такие преобразования, при которых переменные q, р изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому все расчеты мы будем производить лишь с точностью до членов первого порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого преобразования можно записать в виде [c.285]

Интересным примером бесконечно малого канонического преобразования является такое преобразование, при котором G — H q, р), а е есть бесконечно малый интервал времени di. Тогда для 8qi и 8pi будем иметь [c.286]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Таким образом, мы под изменением функции и в результате бесконечно малого канонического преобразования будем понимать [c.287]

Положив здесь и = Н, мы получим следующую формулу для изменения гамильтониана при бесконечно малом каноническом преобразовании [c.287]

Но из равенства (8.67) можно заключить, что бесконечно малое каноническое преобразование, осуществляемое такой производящей функцией, не изменяет величины гамильтониана Н. Поэтому можно высказать следующее утверждение [c.288]

Все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан. [c.288]

Теоремы о сохранении, полученные нами ранее, будут теперь частными случаями того общего положения, которое мы сейчас высказали. Пусть, например, координата qi является циклической. Тогда гамильтониан ее не будет зависеть от qi и, следовательно, не будет изменяться при бесконечно малом каноническом преобразовании, изменяющем только qi. Уравнения такого преобразования будут иметь вид [c.288]

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 289 [c.289]

В качестве еще одной иллюстрации рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование, соответствующее повороту системы в целом на угол dQ. Физический смысл производящей функции этого преобразования, очевидно, не зависит от выбора канонических координат, и поэтому мы будем пользоваться декартовыми координатами точек системы. Кроме тог( , не уменьшая общности, можно считать, что рассматриваемый поворот совершается вокруг оси z. Тогда координаты каждой точки будут изменяться так, как будто система остается в покое, а координатные оси поворачиваются на угол — dQ. Поэтому с точностью до величин первого порядка относительно dQ мы будем иметь следующие выражения для новых координат [c.289]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

Бесконечно малые канонические преобразования. [c.250]

Резюме. При бесконечно малом каноническом преобразовании точки фазового пространства получают бесконечно малые смещения. Формулы такого преобразования могут быть записаны в явном виде. Преобразование определяется заданием произвольным образом выбранной функции переменных qi, pi. [c.253]

НО малы. Эти бесконечно малые перемещения определяют некоторое каноническое преобразование в фазовом пространстве. Процесс может быть повторен много раз. Все движение фазовой жидкости есть не что иное, как непрерывное выполнение канонических преобразований. [c.254]

С. Ли ввел групповые представления в теорию канонических преобразований, уделив особое внимание группе бесконечно малых преобразований. [c.393]

Для классической механики основной группой преобразований являются канонические преобразования. Группу преобразований можно определить либо посредством бесконечно малых преобразований, либо посредством инвариантов этой группы. Первый способ, в котором задаются бесконечно малые изменения канонических переменных q , р, при бесконечно малом каноническом преобразовании, выражен уравнениями Гамильтона, второй—инвариантностью действия. [c.877]

Канонические преобразования, производимые каноническими уравнениями. Основной относительный интегральный инвариант. КП, которые мы рассматривали, были конечными преобразованиями. Для того чтобы получить бесконечно малое КП, т. е. преобразование, близкое к тождественному, вспомним, что тождественное преобразование было дано формулами (88.22) соответственно следуя плану (88.20с), вводим производящую функцию [c.307]

До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы рассматриваем все точки пространства 2jv+2i как заданные бесконечно малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному бесконечно малому значению dw. Однако из групповых свойств КП следует, что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и, следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки пространства Ег +2 вдоль лучей или траекторий с общим значением конечного приращения Дгг для всех их, то тогда результирующее преобразование пространства E2N+2 в себя будет конечным КП. Покажем теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП (предполагается, что канонические уравнения движения интегрируемы). [c.308]

Возможен другой подход с помощью канонических преобразований (КП). Суть дела здесь состоит в том, что якобиан КП равен единице (ср. с (88.29)) это остается справедливым даже в том случае, если КП q, р) —> q, р ) содержит t как параметр. Отсюда следуют два заключения. Во-первых, совершенно безотносительно к движению, видим, что интеграл /jv (98.11) есть удобное определение объема, так как объем, определенный таким образом, имеет одно и то же значение для всех координат (д, р) в пространстве QP, полученных из одной такой совокупности координат посредством КП ). Во-вторых, объем сохраняется при движении, потому что движение в соответствии с каноническими уравнениями состоит из бесконечно малого КП (ср. (90.4)). [c.346]

Понятие бесконечно малых преобразований (и, в частности, бесконечно малых канонических преобразований), на которых базируется представление о непрерывной группе, несомненно имело корни в геометрии и даже в механике, Так, например, бесконечно малые движения рассматривались уже Пуансо в Новой теории вращения тел (1834 г.) [c.232]

Теперь, если гамильтониан Я инвариантен относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого соотношениями (15) с производящей функцией G, то [c.234]

Кстати говоря, из соотношений (15) непосредственно следует, что производящей функцией бесконечно малых канонических преобразований, реализующих действительное движение механической системы, является гамильтониан (с чем и связана его фундаментальная роль в механике и физике). В самом деле, взяв в качестве бесконечно малого параметра г = dtn положив G = Н, получим, используя канонические уравнения системы [c.234]

Эти соотношения в пределе при Д О переходят в канонические уравнения Гамильтона. Следовательно, канонические уравнения Гамильтона для механических систем, стесненных голоном-ными связями и находящихся под действием сил с силовой функцией, говорят о том, что движение есть непрерывная во времени последовательность канонических бесконечно малых преобразований переменных д, ps. [c.232]

Но при бесконечно малом преобразовани.1 канонических переменных произвольная функция Р канонических переменных получает приращение 126) [c.388]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений q t) и p t) они приобретают значения, равные q t- -di) и p t- -di). Следовательно, изменение состояния системы за время dt можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за время от to до t можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от qito), р((о) к q(t), p t) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от t. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. [c.286]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Это и есть уравнения в явном виде для бесконечно малого канонического преобразования. Вместо абсолютных координат qi + А г, Pi + Ар,- в новой системе отсчета могут быть использованы о1носительные координаты Aqi, Ар,-. Эти координаты выражены в явном виде при помощи одной функции В, характеризующей преобразование. В качестве этой функции может быть выбрана произвольная функция переменных qi, pi. [c.253]

Следовательно, задача 1штегриров-ания сводится к задаче нахождения производящей функции для данной непрерывной последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Если эту задачу решить, то остальное получается при помощи дифференцирований и разрешения конечных уравнений. [c.256]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем,можносчитатьирообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групп о- вую природу, С. Ли нашел тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп . Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный канонический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение . [c.232]

Речь идет о следующей теореме все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан системы, и обратно. Формулировка, более близкая, как мы увидим, к лиевской, гласит Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие системы в самое себя, представляют собой по сути дела одно и то [c.232]

Из этой теоремы (т. е. из формул (15). —5. В.) следует, в частности, как легко видеть, что определение всех инфинитезимальных контактных преобразований, которые переводят уравнение / (z, х ,. .., х р , р ) = onst (т. е. распространенная в то время запись канонической системы с гамильтонианом В. В.) в себя, совпадает с интеграцией этого уравнения . Рассуждение, которое основывается на формулах (15) и приводит к каноническому варианту взаимосвязи симметрия — сохранение , отличается простотой и наглядностью. Действительно, рассмотрим изменение некоторой функции и = W (g i) Рг) при бесконечно малом каноническом преобразовании [c.233]

Так как преобразования евклидовой] симметрии , образующие подгруппу группы точечных преобразований, могут рассматриваться и как преобразования, образующие подгруппу группы канонических преобразований, то шести бесконечно малым преобразованиям этой группы должны, в согласии с лиевским вариантом взаимосвязи, отвечать шесть интегралов движения — законов сохранения количества движения и момента количества движения. Конкретный вид генераторов евклидовой группы позволяет благодаря соотношениям (15) вычислить соответствующие производящие функции, отождествляемые с шестью упомянутыми первыми интегралами. [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...