Координатные матрицы вектор

Квантование свободного излучения 293 Координатные матрицы вектора 174—175 Кратность состояния (вес) 79 [c.331]

Векторы а, ft и с известны нам соответственно в координатных системах О2, О4 и Выписываем матрицы-столбцы [c.181]

Таким образом, относительно каждого вектора е( имеем одно векторное дифференциальное уравнение. В координатной форме оно эквивалентно системе из трех скалярных дифференциальных уравнений. Для того чтобы найти все столбцы матрицы оператора А, имеем систему из трех векторных (1 = 1,2,3) или из девяти скалярных дифференциальных уравнений. Скалярные произведения е( е остаются постоянными для решений указанной системы. В само М деле [c.134]

Следовательно, для получения проекций орта вектора в некоторой координатной системе по проекциям его в исходной координатной системе необходимо перемножить матрицу направляющих косинусов, составленных для этих систем, и матрицу проекций орта в исходном системе. [c.51]

Вторым примером служит совокупность равенств (1) или (2), которые можно рассматривать как преобразования, переводящие вектор-радиусы точек пространства из старого в повое положение, т. е. как поворот абсолютно твердого тела, связанного с координатными системами. Тензор, матрицей которого служит таблица косинусов углов между старыми и новыми осями, называется тензором поворота. [c.117]

В качестве примера найдем матрицу преобразования L при произвольном смещении и повороте тройки базисных векторов (рис. П.6). Так как при поступательном с.мещении координатных осей базисные векторы совпадают с исходными, то можно рассмотреть только преобразование, связанное с поворотом базисных векторов. Произвольный поворот координатных осей можно представить как три независимых поворота. Рассмотрим поворот исходных координатных осей относительно оси, совпадающей с направлением вектора ею, на положительный угол Й1 (рис. П.6,а), в результате получим [c.295]

Наконец, последний поворот координатных осей осуществим относительно оси, совпадающей по направлению с вектором i"2 = e2, на положительный угол й г (рис. П.6,в), после чего базисные векторы i"i совпадут с векторами ей Соответствующая матрица перехода имеет вид [c.296]

Мы уже говорили, что, записывая уравнение (4.19) в виде г = кг, мы просто пользуемся символическим обозначением для указания определенной операции А, совершаемой над координатной системой (или над вектором). Но, расширяя наше понятие о матрицах, можно сделать так, что эта запись будет указывать на действительное умножение на умножение матриц. Матрицы, рассматривавшиеся нами до сих пор, были квадратными, т. е. число их строк равнялось числу столбцов. Однако можно рассматривать также матрицы, состоящие всего лишь из одного столбца, такие, как [c.119]

Пусть теперь рассматриваемая координатная система преобразуется матрицей В. Тогда в новой системе координат составляющие вектора G будут определяться равенством [c.123]

До СИХ пор МЫ не указывали, какая координатная система применялась нами при вычислении составляющих вектора L. Теперь в качестве такой системы нам будет удобно взять систему, связанную с телом ). Расстояния л ,-, уи Zi не будут тогда изменяться со временем, и поэтому элементы матрицы будут постоянными величинами, характеризующими данное тело и зависящими от положения осей х, у, z в теле. [c.166]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

Отметим, что если в окрестности точки qi = q2 =. .. = = О координатного пространства i, 25 5 Qn ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии 2Т, т. е. принять за скалярное произведение векторов и и v величину (Аи v), то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры. Это означает, что, если Uj (j = 1, 2,. .., n) —j-й столбец матрицы и, т. е. замена переменных (12) имеет вид [c.503]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

В качестве второго примера найдем матрицу перехода L при произвольных перемещении и повороте тройки базисных векторов (см. рис. 1.2). Так как при поступательном перемещении координатных осей базисные векторы совпадают с исходными, то можно [c.9]

Элементы матрицы (как и элементы любой матрицы поворота координатных осей) можно рассматривать как направляющие косинусы между векторами базисов [е а] и ij . [c.10]

Описанная процедура достаточно традиционна и совершенно инвариантна к классу рассчитываемых конструкций. Исключением является процедура составления матрицы жесткости, которая обусловлена типом выбранных координатных функций и зависит от выражения для потенциальной энергии системы, т, е. вида матриц D, В, векторов а, г, и. Поэтому дальнейшее рассмотрение использования МКЭ к различным классам задач будет сводиться к построению матриц жесткости для различных элементов. [c.29]

Пусть на тело, занимающее область V пространства, ограниченную поверхностью S, действуют распределенные объемные силы (силы тяжести, инерции и т. п.) с компонентами (М), М V п поверхностные силы с компонентами р° (N), N S, но отсутствуют распределенные по объему или по поверхности моментные нагрузки. Последнее условие с учетом равенства нулю суммы моментов относительно координатных осей для вырезанного из тела прямоугольного параллелепипеда с параллельными этим осям ребрами приводит к соотношению (у = otj (свойство парности касательных напряжений), т. е. тензор напряжений является симметричным. По аналогии с (1.6) его можно представить матрицей (3 X 3) [ст ] или вектор-столбцом который после транспонирования перейдет в вектор- [c.12]

Для случая, когда оси упругой симметрии не совпадают с координатными линиями oxi, 0X2, структуры матрицы приведенных жесткостных характеристик и вектора-столбца температурных составляющих внутренних силовых факторов будут следующими [c.189]

Такой выбор координатных векторов достаточен для корректного определения критической интенсивности давления при несимметричной форме потери устойчивости. Учет влияния докритических деформаций осуществляется последними L векторами системы (7.3.14). При решении задачи устойчивости без учета таких деформаций эти векторы следует отбросить, сохраняя в системе (7.3.14) лишь первые L векторов. Следовательно, в рассматриваемом примере под матрицей Z x) и матрицей коэффициентов системы (7.3.8) следует понимать 8 X 2L и 2L X 2L матрицы соответственно, если докритические деформации учитываются, и8 х L ш L х L матрицы — в противном случае. Соответствующие краевые задачи (7.3.12) решены методом инвариантного погружения, причем при интегрировании возникающих в этом методе задач Коши использовался метод Рунге — Кутта второго порядка [41 ]. Внешние интегралы в системе (7.3.8) вычислялись с использованием квадратурной формулы Симпсона [41 ], а собственные значения матрицы коэффициентов этой системы определялись обобщенным методом вращений [83]. [c.209]

Совмещение единичного вектора оси 2 (О, О, 1) с вектором (а, Ь, с) поворотами координатной системы вокруг осей X и У (матрицы 2)- [c.263]

Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей, а в своей совокупности эти девять величии определяют одну физическую величину — меру неоднородности векторного поля в данной точке. [c.47]

В первом столбце матрицы располагаются проекции на ось ОХ трех векторов напряжения, соответствующих положительным направлениям трех взаимно-перпендикулярных координатных осей. Проекции эти естественно считаются положительными, если они совпадают с положительным направлением оси ОХ, и отрицательными в противном случае. Во втором столбце матрицы располагаются проекции тех же трех векторов на ось ОУ, а в третьем — на ось 02. [c.109]

Эти векторы сопнядают с одним из ортов координатных осей на звеньях /, 2, 6, и, как мы увидим позже, их проекции на оси неподвижной системы координат 0,1 содержатся в матрицах M i, ранее вычисленных. [c.181]

Мы знаем, что матрицу можно интерпретировать, во-первых, как оператор, преобразующий вектор, и, во-вторых, как оператор, преобразующий координатную систему. Мы сейчас рассмотрим задачу, в которой имеют место обе эти интерпретации. Это — задача о преобразовании оператора при изменении системы координат. Пусть А означает оператор, действующий на вектор F (или матрицу F, состоящую из одного столбца) и преобразующий его в вектор G. Тогда можно написать [c.123]

Симметрия и ее следствия. Пусть имеется симметричная механическая конструкция, точки которой характеризуются координатным вектором г = (д , z . Симметричность конструкции означает, что существуют такие линейные векторные преобразования, отличные от тождественного, которые в результате применения к вектору г совмещают конструкцию саму с собой. Положим для определенности, что констру1щия обладает поворотной симметрией N-to порядка, т. е. что она совмещается сама с собою при повороте вокруг оси z па угол, кратный ф i= 2я/М (рис. 7.24). Преобразование симметрии, осуществляющее поворот конструкции на угол ф, имеет вид следующей матрицы [c.245]

Часто уравнеиия связей (10.6) несложно получить в виде соотношений, разрешенных относительно ключевых координатных векторов дк, qo и qH. Тогда матрицы Якоби DFa/i qH, DFJDq и DFnlDqR будут единичными матрицами соответствующих порядков, а выражения (10.9) приобретают исключительно простой и обозримый вид [c.173]

Обозначая орты координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно через i, j и к, можно с учетом направляющих косинусов (1) и числовых значений векторов относительных угловых скоростей составить следующие соотнощения при помощи столбцовых матриц [c.95]

I В качестве примёра найдем значения элементов матрицы L. Рассмотрим случай, когда новые базисные векторы е,- в новом положении координатных осей остались параллельными исходным базисным векторам с одинаковыми индексами (см. рис. 1.2). Такое перемещение координатных осей в пространстве называется поступательным. При преобразовании базисных векторов ei = = е,о. поэтому L = Е, где Е— единичная матрица. [c.9]

Полагая JV = fi, так что N, = l, N2 = N3 = 0, получим вектор силы, действующей на площадку с внешней нормалью i и отнесенной к единице площади. Назовем его вектором напряжения t его проекции на оси системы ОХ Х2Хз, равные fia, tis, называются напряжениями iu—нормальным ti2, t]s — касательными. Аналогично вводятся векторы напряжения (г, h на площадках, нормалями которых служат единичные векторы координатных осей ii, is. В матрице компонент тензора Т [c.20]

С помощью матрицы (1.3.1) один физический объект (вектор а) преобразуется в другой — вектор Ь. Отсюда следует, что этой матрицей в системе осей 0х1х хз определена величина, имеющая самостоятельное фйзическое содержание. Остается потребовать, чтобы ее способность сопоставлять вектору вектор сохранялась в любой координатной системе. Это значит, что элементы q t матрицы s, должны при переходе к новым осям Олг х хз подчиняться закону преобразования, обеспечивающему преобразование чисел bs, как проекций вектора, то есть по правилу (1.1.6), в предположении, что Uk преобразуются по этому же правилу. Итак, [c.803]

А), на гиперплоскость, порожденную базисными векторами еь..., еп 1. При этом ребро Г = /(Г) спроектируется в вершину получившегося выпуклого многогранника. Рассмотрим ребро Л, примыкающее к этой вершине. С помощью подходящей целочисленной унимодулярной (гг— 1) х (гг— 1)-матрицы В2 ребро Л можно сделать параллельным (гг - 1)-й координатной оси. Повторим эту операцию еще п — 2 раза. Можно проверить, что матрица [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...