Многообразие уровня

Поскольку каждая траектория, начавшись на каком-либо из этих торов, с него уже в дальнейшем сойти не может, то говорят, что решение интегрируемой по Лиувиллю системы в случае компактного многообразия уровня функций 71к представляет собой [c.302]

Канонические переменные действие-угол вводятся в случае компактного многообразия уровня первых интегралов "Нк и являются удобными при формировании в дальнейшем процедур приближенного интегрирования систем, близких к интегрируемым по Лиувиллю. [c.303]

Функции Pi и qi являются первыми интегралами каждого из 2п — 2 потоков Р, (г > 1). Поэтому каждое из 2п — 2 полей Fi, Qi (i > 1) касается многообразия уровня Pi — qi = 0. Но это многообразие есть М . Поэтому каждое и8 2п — 2 полей Fi, Qi (i > 1) касается Л/2" 2. Следовательно, эти поля являются гамильтоновыми полями на симплектическом многообразии со 1м), и соответствующие функции Гамильтона равны Pi м, qi м (г > 1)- Итак, скобка Пуассона во всем пространстве (R2", со ) любых двух из 2п — 2 координат p , q i 1), рассматриваемая на совпадает со скобкой Пуассона этих координат в симплектическом пространстве (ЛГ п-г 0)2 [c.203]

Если многообразие М имеет размерность п, то многообразие уровня энергии 2п — 1-мерно. Это многообразие является подмногообразием касательного расслоения многообразия М. Зафиксируем, например, значение постоянной энергии 1/2 (что соответствует начальной скорости 1). Тогда скорость точки всегда останется единичной, и наше многообразие уровня оказывается пространством расслоения [c.278]

Почти все фазовые траектории всюду плотны на многообразии уровня энергии (исключительные, не всюду плотные траектории образуют множество меры нуль). [c.278]

Рассмотрим, например, векторное поле, задающее геодезический поток на компактной поверхности отрицательной кривизны. Как указано выше, фазовые кривые этого потока устроены весьма сложно почти каждая из них всюду плотно заполняет трехмерное многообразие уровня энергии. У этого потока бесконечно много замкнутых траекторий, и множество точек замкнутых траекторий также всюду плотно в трехмерном многообразии уровня энергии. [c.279]

ЗИЯ, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова п-мерного многообразия). [c.315]

Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрий, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем. Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по зтой подгруппе. Это фактор-многообразие называется приведенным фазовым пространством. Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему. [c.337]

Разбиение фазового пространства на совместные многообразия уровня первых интегралов имеет, вообще говоря, особенности. Примером является разбиение фазовой плоскости на линии уровня энергии. [c.337]

Т Мр) — касательное пространство к многообразию уровня момента Мр] [c.342]

Пример 3. Пусть группа С = 8 — окружность, и пусть она действует без неподвижных точек на многообразии У. Тогда возникает пуассоновское действие окружности на кокасательном расслоении М = Т У. Мы можем определить многообразия уровня момента Мр (коразмерности 1 в Л1) и фактор-многообразия Рр (размерность которых на 2 меньше размерности М). [c.344]

Гамильтоново поле с функцией Гамильтона Н касается каждого многообразия уровня момента Мр (так как момент — первый интеграл). Возникающее полена Мр инвариантно относительно Ср. и задает поле на приведенном фазовом пространстве Рр. Это векторное поле на Рр мы будем называть приведенным полем. [c.345]

Доказательство. Критические точки отображения Р х Н — это условные экстремумы функции Н на многообразии уровня момента Мр (так как рассматриваемое многообразие уровня регулярно, т. е. для всех х из Мр имеем Р ,ТМх = Тоф. [c.347]

Изоэнергетическая редукция фиксируем постоянную энергии и рассматриваем окрестность замкнутой траектории на 2п — 1-мерном многообразии уровня энергии как расширенное фазовое пространство системы сп — 1 степенью свободы, периодически зависящей от времени. [c.355]

При близких к резонансному значениях параметра вблизи рассматриваемой периодической траектории на том же многообразии уровня энергии имеется неустойчивая периодическая траектория. Она замыкается, обойдя три раза вдоль исходной траектории и сделав один оборот вокруг нее. При резонансном значении параметра эта неустойчивая траектория сливается с исходной. [c.360]

Через указанную неустойчивую траекторию на все том же трехмерном многообразии уровня энергии проходят две двумерные инвариантные поверхности, заполненные траекториями, приближающимися к этой неустойчивой периодической траектории при - -[- оо на одной поверхности и при 1- — оо на другой. [c.360]

Рис. 242. Инвариантные то-ры 6 трехмерном многообразии уровня энергии

При исследовании движений возмущенной системы вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. В случае двух степеней свободы размерность фазового пространства равна четырем и многообразие уровня энергии трехмерно. Поэтому инвариантные двумерные торы делят множество уровня энергии. [c.374]

Если же число степеней свободы п больше двух, то п-мерные инвариантные торы не делят 2п — 1-мерное многообразие уровня энергии, но расположены в нем подобно точкам на плоскости или линиям в пространстве. В этом случае щели , отвечающие разным резонансам, соединяются друг с другом, поэтому инвариантные торы не препятствуют начавшейся вблизи резонанса фазовой кривой уйти далеко. Стало быть, нет оснований ожидать, что переменные действия вдоль такой фазовой кривой будут оставаться близкими к своим начальным значениям во все моменты времени. [c.374]

Аналогичным образом доказывается вечная адиабатическая инвариантность переменной действия в задаче о движении заряженной частицы в аксиально-симметричном магнитном по-ге. Нарушение аксиальной симметрии в этой задаче увеличивает число степеней свободы с двух до трех, так что инвариантные торы перестают делить многообразие уровня энергии и становится существенным блуждание фазовой кривой по резонансным зонам. [c.381]

Знание периодических решений позволяет, между прочим, доказывать несуществование первых интегралов (отличных от классических) во многих задачах динамики. Предположим, например, что на каком-либо многообразии уровня известных интегралов [c.391]

Доказательство леммы В. Вычислим производную второй индуцированной функции вдоль фазового потока, заданного первой, как функцией Гамильтона. Фазовые кривые, заданные первой индуцированной функцией на ее поверхности уровня, являются характеристиками этой поверхности. Поверхность уровня первой индуцированной функции состоит из всех прямых, касающихся фиксированного многообразия уровня первой функции точки. Каждая характеристика этого многообразия прямых, по лемме А, состоит из прямых, касающихся одной геодезической многообразия уровня первой функции точки. [c.440]

Предположим также, что на Mf — многообразии уровня интегралов х е Рг = С1, I = 1,..., п п функций Рг независимы. Тогда [c.73]

Теорема 5.5.21 (теорема Лиувилля — Арнольда). Предположим, что (М, ш) —2п-мерное симплектическое многообразие, Н = /,, /г,..., / еС М), / , fj — 0 (г, J =1,..., п) и xeR таково, что дифференциалы Dfi поточечно) линейно независимы на многообразии уровня [c.234]

Если же число степеней свободы п больше двух, то -мерные инвариантные торы не делят 2п—1-мерное многообразие уровня энергии, но расположены в нем подобно точкам на плоскости или линиям в пространстве. В этом случае щели , отвечающие разным резонансам, соединяются друг с другом. Поэтому инвариантные торы не препятствуют начавшейся вблизи резонанса фазовой кривой уйти далеко. [c.204]

Еще несколько замечаний с представлении информации. Чтобы фазовые портреты не имели особенностей, они изображены для А>0 в полярных координатах рг, я /Аг, а для А<0 — н полярных координатах ри ф/Л]. Для А = 0 фазовый портрет на рис. 69—71 изображен и в тех и в других координатах. Можно считать, что при Л>0 на портрете изображено сечение трехмерного. многообразия уровня энергии плоскостью ф1=0, а при [c.275]

Если зафиксировать малую окружность вокруг критического значения, каждой точке окружности соответствует неособое многообразие уровня функции. Множество всех таких уровней образует расслоение над окружностью. Обход вдоль окружности определяет отображение гомологий слоя этого расслоения в себя. Это отображение называется монодромией, соответствующей критическому значению особенности. Оно н является аналогом перестройки в теории Морса. [c.52]

Зафиксируем шар U, для которого выполнено утверждение теоремы, и выберем достаточно малую окрестность Tez С кри -тического значения а, такую что при всех значениях tGT соответствующее многообразие уровня f" (i) было неособым внут ри С/ и трансверсально пересекало его границу. [c.53]

Пусть кратность критической точки а равна ц. Топология неособого многообразия уровня У, описывается следующей теоремой. [c.54]

Пусть имеется примыкание особенности f типа X к особенности типа У У-= Х. Примыкание порождает вложение V,f- V,g неособых многообразий уровня и, следовательно, вложение решеток целочисленных гомологий [c.86]

Из (3.9) следует, что многообразием уровня всех газодинамических величин явля ются прямые линии в пространстве xi, Ж2, жз, I, Действительно, из (3.9) получаем, что такое многообразие определяется пересечением трех гиперплоскостей ( = onst — уравнение одной из них). При этом прямые линии уровня при условиях G 0, I 0, вообще говоря, не проходят через одну фиксированную точку пространства xi, Ж2, жз, t, т. е. течение не является коническим. Таким образом, построенное решение является неконической вихревой тройной волной с прямолинейными образующими. [c.175]

Из (4.24) следует, что многообразиями уровня всех газодинамических величин, когда щ = = onst, 0 = 0 = onst, т. е. и = onst, являются прямые линии в пространстве xi, хо, жз, t. Действительно, из (4.24) следует, что такое многообразие определяется пересечением трех гиперплоскостей в пространстве xi, Х2, жз, t. Так как функции Gk 0 и G 0, то эти прямые, вообще говоря, не проходят через одну фиксированную точку пространства, т. е. течение не является коническим. [c.188]

А. Т. Фоменко [166, 166а] детально исследовал строение трехмерных многообразий уровней интеграла энергии в интегрируемых системах и нашел топологические инварианты интегрируемых систем, которые позволяют эффективно различать неизоморфные системы. [c.150]

А. Описание переменных действие—угол. В 49 мы занимались исследованием одного-единственного связного, компактного многообразия уровня интегралов М/ = х Р (х) = / оказалось, что Mf есть п-мерный тор, ивариантный относительно фазового потока. Мы выбрали угловые координаты на Mf так, что фазовый поток с функцией Гамильтона Н = принимает на Mf особенно простой вид [c.245]

Условия невырожденности и изоэнергетической невырожденности независимы одно от другого, т. е. невырожденная система может быть изоэнергетически вырожденной, а изоэнергетически невырожденная — вырожденной. В многомерном п > 2) случае изоэнергетическая невырожденность означает невырожденность следующего отображения п — 1-мерного многообразия уровня функции Н от п переменных действия в проективное пространство размерности ге—1 [c.370]

Число степеней свободы в плоской задаче п планет равно 2п, если считать Солнце неподвижным. Интеграл кинетического момента позволяет исключить одну циклическую координату, однако остается еще слишком много переменных, чтобы инвариантные торы делили многообразие уровня энергии (даже если планет всего две, это многообразие пятимерное, а торы трехдгерные). Поэтому в рассматриваемой задаче не удается сделать выводы о сохранении больших полуосей в течение бесконечного интервала времени для всех начальных условий, но только для большинства. [c.383]

В этой задаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает невозмущенное кеплерово движение астероида, изображающееся в нашем четырехмерном фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается). Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова при всех начальных условиях это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообразии уровня функции Гамильтона. [c.383]

Пусть (Л , <, >, V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Р), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассоновское действие на T N поскольку это действие свободное, то любое значение момента является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Мс (коразмерности k = a mG в М) и приведенное пространство состояний Мс (размерность которого на 2k меньше размерности AI). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении с6 мы имеем полунатуральную приведенную лагранжеву систему (Л , <, >, К, Qe) (см. п. 1.1, теорема 18). Приведенным лагранжианом L TN- R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x)=< x, x l2+V (x). [c.108]

Теорема 13. (Теорема Колмогорова). Если невозмущенная гамильтонова система невырождена нли изоэнергетически невырождена, то при достаточно малом гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически с числом частот равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. В случае изоэнергетической невырожденности инвариантные торы образуют большинство на каждом многообразии уровня энергии. [c.198]

Теорема 14 ([5]). Пусть возмущенная снстема вырождена, но возмущение снимает вырождение. Тогда большая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам / = onst промежуточной системы. Фазовые кривые обматывают эти торы условно-периодически, с числом частот равным числу степеней свободы. Из этих частот г соответствуют быстрым фазам, а п—г — медленным. Если невозмущенный гамильтониан изоэнергетически невырожден по тем г переменным, от которых он зависит, то описанные инвариантные торы составляют большинство на каждом многообразии уровня энергии возмущенной системы. [c.200]

Топология неособого многообразия уровня. Рассмотрим голоморфную функцию f С"—>-С, которая имеет изолирсн [c.53]

Теорема ([281]). Неособое многообразие уровня Vt го-мотопически эквивалентно букету (а сфер размерности п—1. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...