Эквивалентность отображений лагранжева

Эквивалентность отображений лагранжева 420 [c.472]

Множество критических значений лагранжева отображения называется каустикой. Каустики эквивалентных отображений диффеоморфны. [c.449]

Теорема. Все производящие семейства лагранжево эквивалентных особенностей локально стабильно -эквивалентны. Стабильно Д+-эквивалентные производящие семейства определяют лагранжево эквивалентные отображения. [c.29]

Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве 5 функции из списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения х, у, г) ь- - (у, г) (т. е. переходящие в эквивалентные при малой деформации функции 8). Всякое лежандрово отображение при тг < 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка (1 /с < 6), (4 < /с 6), JБg. [c.334]

Заметим, что два лагранжево эквивалентных лагранжевых отображения превращаются одно в другое при помощи диффеоморфизмов в пространстве-прообразе и пространстве-образе (или, как говорят в анализе, приводятся одно к другому заменой координат в прообразе и в образе). Действительно, наш симплектический диффеоморфизм, суженный на лагранжево многообразие, задает диффеоморфизм прообразов диффеоморфизм же конфигурационных пространств-образов возникает потому, что слои переходят в слои. [c.420]

Лагранжево отображение, рассматриваемое в окрестности некоторой выделенной точки, называется лагранжево эквивалентным в этой тючке другому лагранжеву отображению (также имеющему выделенную точку), если существует лагранжева эквивалентность первого отображения в некоторой окрестности первой [c.420]

Всякое п-мерное лагранжево многообразие (тг 5) можно сколь угодно малой деформацией в классе лагранжевых многообразий превратить в такое, что отображение проектирования на конфигурационное пространство будет в каждой точке лагранжево эквивалентным одному из лагранжевых отображений приведенного выше списка. [c.421]

В частности, двумерное лагранжево многообразие можно сколь угодно малым шевелением в классе лагранжевых многообразий привести в общее положение , так что отображение проектирования на конфигурационное (двумерное) пространство не будет иметь других особенностей, кроме складок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме и сборок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме з). [c.421]

Эквивалентностью лагранжевых отображений называется симплектическое отображение пространств расслоений, переводящее слои в слои и первое лагранжево многообразие во второе. [c.449]

Всякое лагранжево отображение локально эквивалентно градиентному (нормальному, гауссовому). Особенности градиентных (нормальных, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у общих лагранжевых отображений. Простейшие из них классифицируются по группам отражений 4 , Е,., Е , Е [c.449]

Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению. Теория лежандровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае. [c.452]

Определение 4 [лагранжевы особенности). Лагранжева особенность есть росток лагранжева отображения, рассматриваемый с точностью до лагранжевой эквивалентности. [c.26]

Пример (см. [2]). Лагранжевы особенности типичных лагранжевых отображений многообразий размерности п < 5, с точностью до лагранжевой эквивалентности, содержатся в следующем списке лагранжевых особенностей, определённых производящими семействами < п + 1) [c.27]

Локально, приведённая выше конструкция описывает все лежандровы отображения. Лежандрова эквивалентность лежандровых отображений преобразуется в стабильную эквивалентность семейств гиперповерхностей 2 = F x,q) в х-пространстве (расслоенную над пространством параметров (q,z)). Понятие стабилизации аналогично данному в симплектическом случае для производящих семейств лагранжевых отображений. А именно, гиперповерхность Н х) = О стабильно [c.69]

Общая схема построения лагранжевых и лежандровых характеристических классов, ассоциированных с особенностями, такова. Рассмотрим класс из классификации (А ,. ..) критических точек функций, то есть тип лагранжевых или лежандровых особенностей ( в обозначениях соответствует различным вещественным формам одной и той же комплексной особенности соответствующие отображения эквивалентны в комплексной области, но не эквивалентны в вещественной области, как для А3 а ). [c.125]

Замечание. Здесь слово простое значит, что лагранжево отображение Ь М- Т В -и- В, где Ь — фиксированное многообразие (быть может особое), не имеет модулей (т. е. все лагранжевы проекции этого многообразия, достаточно близкие рассматриваемому отображению, локально (в некоторой окрестности произвольной точки) эквивалентны проекции из некоторого конечного списка). [c.255]

Простое лагранжево отображение произведения раскрытого ласточкина хвоста произвольной размерности на гладкое многообразие локально эквивалентно одному из отображений Ек, ilk, Нк или тривиальной надстройке одного из них). [c.263]

Прежде всего требуется обобщить понятия аффинной эквивалентности и аффинных семейств, обсуждавшиеся в разд. 2.3. Мы уже видели, как можно получать конечные элементы с помощью аффинных отображений. Это построение будет обобщено в теореме 4.3.1 ниже. Для простоты в этом разделе мы ограничимся лагранжевыми конечными элементами, оставляя случай эрмитовых конечных элементов в качестве задачи (упр. 4.3.1). [c.222]

Отображение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжевым отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие тг-мерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательными расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектический диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево лшогообразие во второе. Сам симплектический диффеоморфизм называется тогда лагранжевой эквивалентностью отображений. [c.420]

В частности, каустики двух лагранжево эквивалентных отображений диффеоморфны, поэтому классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности влечет за собой классификацию каустик. Одйако классификация с точностью до лагранжевой эквивалентногти, вообще говоря, тоньше, чем классификация каустик, так как из диффеоморфности каустик вообще не вытекает лагранжева эквивалентность отображений. Более того, классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности тоньше, чем классификация с точностью до диффеоморфизмов прообраза и образа, так как не всякая такая пара диффеоморфизмов реализуется симплектическим диффеоморфизмом фазового пространства. [c.420]

Типичные лагранжевы особенности отображений пространств размерности те > 5 имеют модули (непрерывные инварианты лагранжевой эквивалентности), для больших размерностей появляются даже функциональные модули. Несмотря на эти трудности, найдена классифика ция, с точностью до лагранжевой эквивалентности, типичных лагранжевых особенностей для п < 10 (см. [27]-[29]). Соответствующие нормальные формы содержат произвольные параметры (модули) и функции (функциональные модули). [c.28]

Заметим, что уже приведенное утверждение о двумерных лагранжевых отображениях не вытекает из классификационной теоремы для общих (нела-гранжевых) отображений. Ибо, во-первых, лагранжевы отображения составляют среди всех гладких отображений весьма узкий класс, и поэтому могут иметь (и действительно имеют при и > 2) в качестве типичных для лагранжевых отображений такие особенности, которые для отображений общего вида нетипичны. Во-вторых же, из возможности привести отображение к нормальной форме диффеоморфизмами прообраза и образа еще не следует возможность такого приведения с помощью лагранжевой эквивалентности. [c.421]

Лагранжевой эквивалентностью двух отображений называется симплектоморфизм тотального пространства, переводящий слои первого лагранжева расслоения в слои второго и первую лагранжеву иммерсию во вторую. Таким образом, лагранжева эквивалентность является коммутативной (3 Х 2) диаграммой где строки — данные лагранжевы отображения, вертикальные стрелки — диффеоморфизмы, средняя стрелка — симплектоморфизм. [c.25]

Отображение Р Q есть квазиоднородный диффеоморфизм на пространство многочленов степени п с фиксированным (ненулевым) старшим коэффициентом. Подпространство многочленов с нулевым коэффициентом при члене степени п — 1 (т. е. Ai = 0) отображается в пространство многочленов с нулевым коэффициентом при члене степени п — 1. Многообразие (1) отображается в многообразие многочленов, пропорциональных многочленам из (2). Таким образом строится диффеоморфизм между многообразиями (1) и (2). Локальная эквивалентность симплектических структур, в которых они лагранжевы, следует, по существу, из теоремы Гивенталя ( 1.2), точнее иэ её обобщения на неприводимые квазиоднородные особые многообразия (более подробно см. [8]). [c.105]

Естественная проекция (определяемая кратным дифференцировав нием многочленов) отправляет 2тп-мерное пространство многочленов степени 2т - - 1 в (т - - 1)-мерное пространство многочленов степени т + 2. Этой проекцией раскрытый ласточкин хвост размерности т отображается на обычный тп-мерный ласточкин хвост (образованный многочленами, имеющими кратный корень). Это отображение однозначно везде, за исключением линии самопересечения ласточкина хвоста (при п = 2). Каждая точка этой линии, за исключением вершины ласточкина хвоста, имеет 2 прообраза на раскрытом ласточкином хвосте. Топологически раскрытый ласточкин хвост гомеоморфен евклидову пространству. Этот гомеоморфизм сохраняет все особенности обычного ласточкина хвоста, за исключением самопересечений. Таким образом, поднятие обычного ласточкина хвоста на раскрытый (топологически эквивалентное нормализации в алгебраической геометрии) упрощает топологическую структуру и разрезает некоторые петли в точках самопересечения. Название раскрытый как раз и отражает этот факт. Как мы увидим ниже, раскрытые ласточкины хвосты управляют особенностями систем лучей на препятствии. Здесь же мы используем эти тп-мерные особые лагранжевы многообразия для определения раскрытых зонтиков. Забудем про симплектическую структуру объемлющего 2т-мерного пространства. Конормальйое расслоение т-мерного раскрытого ласточкина хвоста лежит в 4тп-мерном симплектическом пространстве кокасательного расслоения над пространством многочленов. Это многообразие лагранжево, чётной размерности 2т, оно является образом лагранжева включения. [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...