Уравнения Дайсона для временных функций Грина

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Хотя сами ПО себе формулы (6.3.31) являются всего лишь соотношениями между массовым оператором и гриновскими функциями, достоинство уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) состоит в том, что многие важные величины в кинетических уравнениях, включая интегралы столкновений, удается выразить через элементы массового оператора 11(1,1 ). Таким образом, найдя некоторое приближенное выражение для двухчастичной гриновской функции через одночастичные, из формулы (6.3.31) можно найти соответствующее приближение для элементов массового оператора, а затем и для интеграла столкновений. В сущности, это и есть обычный способ вывода кинетических уравнений в технике временных функций Грина. [c.47]

Таким образом, уравнение Дайсона на контуре С существует, когда эволюция начинается из состояния, в котором отсутствуют многочастичные корреляции. На первый взгляд кажется, что это обстоятельство не является столь уж важным, поскольку многочастичная система забывает детали своего начального состояния и, после перехода к пределу к любому конечному моменту времени t все корреляции восстанавливаются за счет микроскопической динамики. Покажем, однако, что эти соображения неверны, и для учета долгоживущих корреляций в методе временных функций Грина нужно, по существу, рассматривать всю эволюцию системы. [c.59]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Как и в обычном методе временных функций Грина, уравнение Дайсона можно формально получить из уравнения движения для G(l,l ). Явный вид уравнений движения зависит от гамильтониана взаимодействия Я и корреляционной части оператора энтропии S. Для определенности будем считать, что Н описывает парное взаимодействие между частицами и дается вторым членом в формуле (6.3.15), а S возьмем в виде (6.4.5). Тогда на контуре Келдыша-Швингера операторы поля частиц удовлетворяют уравнениям (6.3.24) и (6.3.25). Аналогичные уравнения на участке записываются как [c.67]

Уравнения Дайсона для временных функций Грина. [c.69]

Как и в любой технике гриновских функций, одной из важных задач является вывод уравнения Дайсона для одночастичной временной функции Грина. Анализ уравнений движения показывает, однако, что ряды теории возмущений содержат все четыре функции (6.3.7) - (6.3.10) (см., например, [55]). Поэтому уравнение Дайсона, если оно существует, должно иметь матричную структуру. Элегантный подход к этой проблеме был намечен Швингером [152] и затем развит Келдышем [19]. Идея состоит в том, чтобы объединить функции (6.3.7) - (6.3.10) в одну матричную функцию Грина G(l,l ), определенную на контуре (7, который изображен на рис. 6.6. Этот контур идет вдоль оси времени от tQ до и возвращается в точку т. е. на второй ветви точка с меньшим значением времени расположена дальше от начала контура, чем точка с большим значением времени. Значение на контуре С берется таким, чтобы оно превышало значения всех временных аргументов в функциях Грина и корреляционных функциях ). Введем теперь упорядочение операторов вдоль контура Келдыша-Швингера. На ветви оно совпадает с хронологическим упорядочением а на ветви С — с антихронологическим упорядочением Т . Иными словами, при Т -упорядочении операторы с временными аргументами, лежащими на ветви (7 , всегда располагаются слева от операторов с аргументами на ветви С . [c.44]

Уравнение Дайсона на расширенном контуре. Теория возмущений для смешанных функций Грина строится примерно так же, как для временных и термодинамических функций. Естественно ввести, кроме представления Гайзен-берга (6.4.9), представление взаимодействия на контуре С . Записывая гамильтониан система в виде суммы Я = Я + Я, где Я — гамильтониан свободных частиц, определим операторы в представлении взаимодействия как [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...