Уравнение Дайсона — Шмидта

Алгебраически наиболее серьезное следствие перехода от одномерной модели к трехмерной состоит в том, что при этом теряются все преимущества представления через матрицу переноса (8.19). Иначе говоря, появляется та же фундаментальная трудность, что и в статистической механике при рассмотрении модели Изинга (ср. 5.7) поскольку в двумерной или трехмерной решетке каждый узел имеет соседей в разных направлениях, процесс распространения возбуждений уже нельзя изобразить в виде простого произведения независимых матриц, как в формуле (8.20). При рассмотрении линейной цепочки такое представление обеспечило самосогласованный характер уравнения Дайсона — Шмидта (8.76), из которого можно получить точный спектр. Строгого аналога этой теоремы для случая большего числа измерений, по-видимому, нет. [c.377]

Существование точного метода Дайсона — Шмидта относится к самым важным особенностям теории одномерных неупорядоченных систем. Может быть, точные решения уравнения (8.76) найти и нелегко, но они служат эталоном для проверки любых приближенных аналитических формул или численных расчетов по методу Монте-Карло. Этот метод можно применить для исследования возбуждений в решетке типа дерево ( 11.4). К сожалению, чтобы не сказать больше, уравнение (8.76) оказывается несправедливым для любых решеток, содержащих замкнутые циклы, т. е. для всех настоящих двумерных и трехмерных решеток. [c.361]

Если функция распределения Р Ц) непрерывно зависит от параметра беспорядка то спектр возбуждений можно определить и не решая уравнение Дайсона — Шмидта (8.76). Если степень беспорядка не слишком велика, то спектр бесконечной цепочки, по-видимому, можно рассматривать как сумму независимых вкладов от различных коротких отрезков цепочки, концентрации компонент сплава в которых случайно различны. Таким образом, концепция островков , уже позволившая дать качественную трактовку происхождения особых частот и запрещенных областей энергии в бинарном сплаве ( 8.4), обобщается на предмет полуко-личественного описания полного спектра. [c.364]

Вообще говоря, это не есть практичная процедура расчета плотности состояний в неупорядоченной решетке. Легко видеть, однако, что для настоящей линейной цепочки условие статистической однородности диагональных и недиагональных матричных эле-лгентов гамильтониана удовлетворяется. Таким образом, интегральное уравненне (9,102) или соответствующее ему уравнение для функции распределения значений локального массового оператора (9.45) дает точное решение одномерной задачи [58]. Однако приведенный выше вывод довольно определенно наводит на мысль о том, что мы здесь имеем дело просто с уравнением Дайсона — Шмидта (8.76), записанным на языке функций Грина [59]. [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...