Пространств прямая сумма

Так как пространство —прямая сумма подпространств Х ,, и о/ л> то из (7.2.24) и (7.2.25) следует, что пара (ul, ф ) —элемент пространства [c.387]

Фазовое пространство 20 Фазовых сдвигов прямая сумма 82 2-функция 50 [c.446]

Определение. Два линейных подпространства и У линейного пространства L называются трансверсальными, если их прямая сумма есть все пространство X Y= L. [c.14]

ПРОЕКЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР (действующий на векторном пространстве Ь) — оператор Р, определён-вый на всём Ь, такой, что Р = Р. Если — гильбертово пространство [пространство (0, р) ф-ций на множестве 2, интегрируемых с квадратом по мере с2р), тогда представимо в виде прямой суммы двух ортогональных друг другу подпространств = р ф , причём Р действует тождественно на всех векторах X (. Ьр и обращает в нуль все векторы у LK Т. о., оператор Р проецирует любой вектор Ь [ — х у, где X р, у е р) на подпространство р Pf = х Ьр. [c.135]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Отклонение от параллельности осей (или прямых) в пространстве - геометрическая сумма ЕРА отклонений от параллельности проекций осей (прямых) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях одна из этих плоскостей является общей плоскостью осей [c.426]

Отклонение от параллельности осей (прямых) в пространстве — геометрическая сумма отклонений от параллельности проекций осей (прямых) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях одна из плоскостей является общей плоскостью осей, т.е. плоскостью, проходящей через одну (базовою) ось и точку другой оси (рис. 10.13, в). Отклонение от параллельности осей (или прямых) в общей плоскости — отклонение от параллельности проекций осей (прямых) на их общую плоскость. Перекос осей (прямых) — отклонение от параллельности проекций осей на плоскость, перпендикулярную к общей плоскости осей и проходящую через одну из осей (базовую). Поле допуска параллельности осей в пространстве — это область в пространстве, ограниченная прямоугольным параллелепипедом, стороны сечения которого равны соответственно допуску Г параллельности осей (прямых) в общей плоскости и допуску Г перекоса осей (прямых), а боковые грани параллельны базовой оси и соответственно параллельны и перпендикулярны общей плоскости осей (рис. 10.13, г). Поле допуска можно представить также цилиндром, диаметр которого равен допуску па- [c.363]

Совокупность полей перемещений, деформаций и напряжений (усилий) назовем основным пространством состояний. Его можно представить как прямую сумму линейных пространств перемещений, деформаций и напряжений, т. е. как множество точек и, е, о) с покомпонентными операциями сложения и умножения на число. [c.28]

Если пространство состояний представляет собой прямую сумму нескольких пространств, то можно рассматривать частные производные отображения. Напри.мер, выражение [c.207]

Говорят, что гильбертово пространство Н есть прямая сумма своих подпространств М, Мг,. .., М [c.58]

Рассмотрим гильбертово пространство Я. Разложим его в прямую сумму ортогональных подпространств [c.153]

Пусть IV есть прямая сумма ортогональных подпространств. .., и спектр Д лежит в их объединении 0 W . Через И ,..., обозначим образы 1У], ..., при отображении А — . Легко понять, что система (4.2) распадается на р замкнутых подсистем с фазовыми пространствами Wi х W С С X . Пусть Щ — ограничение функции Гамильтона Я на Wi X W . Тогда Я = Н . Если базисные векторы. .., е принадлежат объединению и. .. и 1Ур, то в соответствующих канонических переменных уравнения (4.3) раз-, биваются на р замкнутых гамильтоновых систем с функциями Гамильтона Н (т. е. происходит частичное разделение переменных) при этом говорят, что исходная гамильтонова система есть прямая сумма своих подсистем. Если такое разложение (в сумму нетривиальных подпространств 1У,) невозможно, назовем гамильтонову систему неприводимой. Имеет место очевидное [c.389]

Мы можем теперь представить наше шестимерное пространство в виде ортогональной прямой суммы двух прямых и двух двумерных плоскостей, инвариантных относительно оператора симметрии g. А именно, инвариантные прямые определяются [c.401]

Действительно, инвариантные относительно д векторы конфигурационного пространства образуют двумерную плоскость. Каждый вектор четырехмерного ортогонального дополнения к этой плоскости при применении оператора поворачивается на 120°. Потенциальная энергия разлагается в прямую сумму форм на описанных двумерном и четырехмерном инвариантных пространствах оператора g. Шесть собственных направлений выбираются теперь так. Ровно два из шести векторов соответствуют симметричным колебаниям, а остальные четыре лежат в ортогональном им четырехмерном пространстве векторов, поворачивающихся на 120°. Возьмем один из этих векторов, применим к нему оператор Е и объявим полученный вектор парным с исходным направлением собственного колебания. Затем в ортогональном дополнении к получившейся плоскости в четырехмерном пространстве выберем любой вектор и в пару ему возьмем его образ при действии оператора д. Мы получили систему из шести собственных колебаний, обладающую требуемыми свойствами. [c.402]

Полное пространство произведения (64.1) разлагается на прямую сумму полных неприводимых векторных пространств, т. е. [c.169]

Определение. Замкнутое подмножество Л с /И называется гиперболическим, если /(Л) = Л и для каждого х А касательное пространство представляется в виде прямой суммы подпространств [c.58]

Чтобы описать поведение итераций негиперболического линейного отображения, следует сначала понять, что происходит внутри подпространства Е°. Это подпространство распадается в прямую сумму корневых подпространств Я , Е 1 и Ядд- для А = 1, А 1. В каждом из этих подпространств имеется соответствующее инвариантное собственное пространство, которые мы будем соответственно обозначать через Е , и Е . Первые два из этих пространств ведут себя достаточно просто, а именно все точки E неподвижны, все точки 0 периодические с периодом два. Более интересное поведение наблюдается в пространствах Е , когда А не вещественно, скажем, Л = е . Если одно из этих пространств непусто, то отображение А имеет такую инвариантную плоскость, что в соответствующей системе координат наше отображение в этой плоскости является поворотом на угол вокруг начала координат. [c.40]

Действительно, разложим пространство R" в прямую сумму собственных подпространств оператора Л [c.85]

Основные определения градуированных алгебр Ли. Введем важное понятие градуировки алгебр Ли О, являющееся, в частности, весьма полезным и конструктивным как для выяснения структуры и описания их классификации, так и решения проблемы вложения подалгебр из О в О. Назовем градуировкой алгебры Ли О ее разложение как пространства в прямую сумму конечномерных подпространств, [c.18]

Теперь мы подготовлены для того, чтобы сформулировать теорему Леви — Мальцева, согласно которой любая алгебра Ли может быть разложена (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала г и полупростой подалгебры , [c.20]

Пространства представлений групп Ли могут иметь весьма сложную структуру, изучение которой требует введения понятия топологической приводимости представления. Будем называть подпространство пространства представления инвариантным, если все операторы представления T g) переводят каждый элемент в элемент этого же подпространства, т. е. T g)3S i для любого g из G. Тривиальные примеры инвариантных подпространств, естественно, дают нулевое подпространство и все пространство В соответствии с этим представление T g) называется неприводимым (приводимым), если его пространство не содержит (содержит) нетривиальных подпространств. Можно показать, что в пространстве любого представления содержится не менее одного неприводимого подпространства. Если инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение J ", Ж, то Т (g) однозначно определяется представлениями T (g) и T"(g) в и соответственно, т. е. сужениями T g) на эти подпространства. Тогда говорят, что представление T(g) есть прямая сумма Т g) и T" g), и является вполне приводимым, если оно представимо в виде прямой суммы неприводимых. Заметим, что все унитарные представления вполне приводимы. [c.56]

Рассмотрим более подробно применение общей конструкции гл. III к нелинейным системам, ассоциируемым с алгеброй Ли общего положения, разложимой в соответствии с теоремой Леви—-Мальцева (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала t и полупростой подалгебры = t0 s (см. 1.2.1). При этом наиболее интересным является случай связной алгебры Ли, обладающей абелевой подалгеброй инвариантности 0 и, следовательно, приводящей в канонической градуировке согласно (III. 1.4) к нелинейным системам вида [c.170]

В первую очередь заметим, что если Ж и Жг, Жв, последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, то тогда и их прямая сумма Ф Ж) будет пространством Гильберта. Прямая сумма имеет элементами последовательности Ф1, Фг,. .. , гд Ф] Ж] и [c.121]

ТМт — касательное пространство в точке т разлагается в прямую сумму [c.59]

Пусть теперь и — два пространства, изоморфных (п — размерность многообразия М). Предположим, что Щ (г = 1,2) — прямая сумма двух подпространств Х и Yi размерностей, соответственно, к и I [c.189]

Выпуклые вниз функционалы иногда сокращенно называют просто выпуклыми. Функционал Э а,Ь), опре.аелеиный на прямой сумме двух аффинных пространств А и В, называется выпукло-вогнутым, если он является выпуклым вннз па А при каждом [c.205]

В то же время часто из физического смысла задачи или в результате пройсых расчетов можно определить некоторое небольшое число переменных, комбинируя которые удается при продолжении решения избежать трудностей, возникающих в предельных точках. Покажем, как можно оптимизировать процесс продолжения решения в подпространстве, определенным этими переменными. Будем считать, что необходимо оптимизиро-вать процесс продолжения решения по последним q компонентам вектора X. Тогда евклидово пространство Rm+i можно представить в виде прямой суммы двух подпространств [c.60]

Инвариантное множество вообще является гиперболическим, если в каждой его точке и пространство Гц, касательное к фазовому пространству (линейное лространство касательных векторов в точке и), есть прямая сумма одномерного лодпространства Яц, натянутого на вектор фазовой скорости, и устойчивого [c.127]

Отклонение от парал.гельности осей (или прямых) в пространстве — геометрическая сумма Д отклонений от параллельности проекций осей прямых) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях одна из этих плоскостей является общей плоскостью осей, т. е. плоскостью, проходящей через одну (базовую) ось и точку другой оси (рис. 7.7, в). Отклонение от параллельности осей (или прямых) в общей плоскости — отклонение от параллельности Д проекций осей (прямых) на их общую плоскость на длине Ь. [c.125]

Теорема Вильямсона. Линейное вещественное симплектическое пространство, на котором задана квадратичная форма Н, распадается в прямую сумму попарно косоортогоналъных вещественных симплектических подпространств так, что форма Н представляется в виде суммы форм указамных выше видов на этих подпространствах. [c.349]

Ясно, что для заданного k имеется Зг ткких блоховских векторов. Используя их в качестве базиса, мы можем построить Зг-мерное представление малой" группы T[ k) = k)определенной в (39.9). Следовательно, если является элементом k) % k), то можно найти результат применения этого оператора к сумме (104.2). Так как Зг сумм (104.2) образуют полное линейное векторное пространство для всех нормальных колебаний с волновым вектором к, а также являются полными по отношению ко всем возможным единичным смещениям, то результатом действия 11 на такую сумму будет возникновение линейной комбинации всех Зг величин (104.2). Таким способом мы получим представление базисом которого являются единичные декартовы смещения. Это представление также называют полным представлением. Когда преобразовано в прямую сумму допустимых неприводимых представлений группы (к)/Х к), мы можем найти специальные представления, возникающие в задаче о нормальных колебаниях, т. е. симметрию всех имеющихся нормальных колебаний. [c.292]

Если алгебра Ли как векторное пространство разложима в прямую сумму векторных подпоостранств и з, причем -где i = l, 2, а [ i, г] = О ([ ь 2] с 2), то [c.13]

Во всех теориях свободных поле11 полное число частиц есть интеграл движения, и гильбертово пространство состояний записывается в виде прямой суммы [c.144]

Множество всех векторов, перпендикулярных к заданной совокупности векторов, образует подпространство. Это подпространство называется орто-гональным дополнением к подпространству, натянутому на заданные векторы, Само векторное пространство есть прямая сумма любого своего подпростран ства и его ортогонального дополнения. Это значит, что каждый вектор и МО жно представить в виде суммы однозначно определенных вектора из выбранного подпространства н вектора из ортогонального дополнения. [c.503]

Рассмотрим уравнение малых колебаний х+Ах=0, матрица А симметрична и положительно определена. Соответствующее фазовое пространство Р " распадается в прямую сумму двумерных инвариантных плоскостей Ь), /=1,..., п. Каждая такая плоскость заполнена замкнутыми фазовыми кривыми, движение по которым происходит с частотой где /=1,..., п, — собственные значения оператора А. Следующая теорема показывает, что если уравнение малых колебаний возмутить нелинейными членами так, что полученная система будет сохраняться при обращении времени, тогда возмущеннаяг система будет иметь, как и в линейном случае, п однопарамет-рических семейств замкнутых фазовых кривых на частоты налагается слабое ограничение. [c.83]

Рассмотрим невырожденный линейный оператор А Пространство R" разлагается в прямую сумму трех ннварнан ных подпространств [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...