Плоская деформация, 57, 148 смещения

Остановимся на частном случае плоской деформации, при которой во всем теле одна из компонент вектора смещения равна нулю иг = 0), а компоненты и , Uy зависят только от х, у. При этом тождественно обращаются в нуль компоненты и , . Uyz тензора деформации, а с ними и компоненты уг тензора напряжений (но не продольное напряжение а , существование которого должно обеспечить постоянство длины тела вдоль оси 2). [c.32]

Асимптотическое выражение для напряжений и смещений в окрестности конца неподвижного разреза, как следует из формул (8.40), для (Те = Оу при 9 = 0 и не = о при 6 = п (г = а — — х), в случае плоской деформации имеет вид [c.329]

Различие между плоским напряженным состоянием и случаем плоской деформации будет заключаться в наличии в первом случае компоненты смещения щ при отсутствии напряжения а во втором случае — в от- [c.53]

Если воспользоваться законом Гука и выразить из (2.1) смещения и, V через напряжения, определяемые соотношениями (2.7), то получим следующие выражения для случая плоской деформации (8г = 0) [c.22]

Метод скачка основан на испытании образца с центральной или боковой трещиной на растяжение или изгиб с записью диаграммы нагрузка — смещение , причем смещение V определяется на малой базе между противолежащими берегами трещины. Замечено, что для многих материалов диаграмма нагрузка — смещение имеет скачок — резкий прирост смещения без роста или даже при спаде нагрузки (диаграмма II). Этот скачок обычно сопровождается треском ) и образованием участка прямого излома в виде треугольника в центре толщины, непосредственно у вершины исходной усталостной трещины. Образование прямого участка излома, судя по его форме, происходит в условиях плоской деформации, что дает право принять нагрузку, соответствующую его образованию, для определения напряжения при подсчете значения К . [c.132]

Рис. 26.6. Картина смещений рассматриваемой области при плоской деформации 1, 2 — контуры трещины до и после приложения нагрузки.

На основании (10.4), (49.1) уравнения состояния пьезоэлектрической среды для случая плоской деформации, определяемой вектором смещений и и (х, z), О, w x, z) (z O) и потенциалом ф(з , z) будут [c.389]

Пусть U = iua +— вектор смещения. Уравнения плоской деформации (см. 2) запишем в виде [c.444]

Если теперь повернуть координатные оси так, чтобы ось х совпала с ОС, а ось у — с перпендикуляром к ОС, то на каждой из площадок, перпендикулярных новым осям хну, будут существовать как упругие смещения, соответствующие относительным деформациям удлинения е,, е , так и упругие смещения, вызванные деформацией сдвига Совокупность компонентов деформации можно записать при плоской деформации в форме матрицы [c.154]

Если торцы цилиндра не нагружены, то деформация в общем случае не плоская. Однако эту задачу можно решить как плоскую с помощью принципа суперпозиции. При этом сначала следует рассматривать плоскую деформацию тела, смещения которого в направлении оси стеснены соответствующими торцовыми [c.42]

Большое значение имеют механические характеристики, оценивающие сопротивление материала развитию в нем трещин. Это введенный Ирвиным параметр вязкости разрушения, т. е. критические коэффициенты интенсивности напряжений Кс — для плоского напряженного состояния, Ki — для плоской деформации и пропорциональные им соответствующие значения поверхностной плотности энергии разрушения и Gi , называемые также вязкостью разрушения критическое раскрытие трещины или разрушающее смещение ударная вязкость образца с трещиной <2ту, введенная Б. А. Дроздовским [15]. [c.10]

При плоской деформации поле напряжений и смещений таково, что и=и х,у), v = v(x,y), iv = 0, [c.6]

Основные соотношения и граничные условия. В случае плоской деформации компоненты вектора смещения имеют вид [c.42]

В области В разрушение происходит довольно сложным путем. Образец не настолько тонок, чтобы разрушение осуществлялось по механизму соскальзывания , действующего в области Л, и не настолько толст, чтобы мог разрушиться в условиях плоской деформации. В этой области толщина образца такова, что центральная область и края сравнимы по размерам. Последовательность этапов разрушения может быть прослежена по кривой нагрузка— смещение (см. рис. 54, б). Нагрузка, прилагаемая к образцу с трещиной, достигает значения Рр (соответствующего напряжению Ор на рис. 54, б), при котором в центре образца трещина может распространиться на некоторую длину путем отрыва. В очень толстом сечении это явление приведет к катастрофическому разрушению всего образца, так как разрушение отрывом охватит довольно значительную часть сечения, но в промежуточной области толщин на долю боковых частей поперечного сечения приходится столь большая часть общей нагрузки, что при достижении приложенной силой значения Рр состояния нестабильности всего образца не возникает. Если разрушение отрывом развивается быстро, то на кривой нагрузка — смещение может возникнуть площадка при постоянной или даже снижающейся нагрузке. Это явление известно под названием скачок трещины . Если развитие разрушения отрывом происходит медленно, то оно может быть зафиксировано только по изменению податливости образца. Трещина становится длиннее, следовательно, наклон кривой нагрузка — смещение уменьшается (см. рис. 48). Оба явления отражены на рис. 54, б. [c.114]

Секущая линия с меньшим на 5% наклоном представляет изменение податливости благодаря росту трещины на расстояние, равное радиусу пластической зоны в условиях плоской деформации Аа = г у = 0,02 0. Такое построение имеет целью определить, связано или нет значение Pq с развитием трещины. Если и очень мало, то существенный прирост смещения между 0,8 Pq и Pq скорее связан с развитием трещины, чем с пластичностью образца. Сам по [c.135]

Картина распространения усталостной трещины в тонких плоских образцах при повторном растяжении существенно усложняется. В тонких образцах трещина вначале распространяется по. плоскости, нормальной к приложенному переменному растягивающему напряжению. По мере ее роста увеличивается и примыкающая пластическая зона. При критическом размере зоны, зависящем от толщины пластины, плоскость излома меняет свое направление и располагается под углом 45° к поверхности, при этом существенно возрастает скорость роста трещины. Этот тип распространения усталостной трещины можно считать скорее типом П1 антиплоской деформации (см. гл. П, раздел 11 и гл. V, раздел 4), чем плоского напряженного состояния. Он наблюдается в тех случаях, когда упругий продольный изгиб пластины вызывает боковые относительные смещения верхней и нижней частей образца, непосредственно примыкающих к трещине. Обратная пластическая деформация концентрируется в узкой полосе скольжения по плоскости, наклоненной под углом 45°. Соотношения между смещением вершины трещины п Авр численно отличаются от таковых в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. [c.242]

Решения уравнений (3.101) для плоской деформации, а также соответствующие представления для напряжений и смещений записываются в следующем виде Р ] [c.91]

Фундаментальные сингулярные решения уравнений теории упругости играют такую же важную роль в алгоритмах МГЭ, как и их аналоги в рассмотренных ранее задачах о потенциальном течении. Классическим результатом, составляющим основу всего последующего анализа, является решение, которое определяет поле смещений Ui(x) при действии единичной сосредоточенной силы б]( ) в упругом теле. В условиях плоской деформации [31 [c.101]

Уравнения (4.7) — (4.10) дают все требующиеся нам смещения, напряжения, деформации и компоненты поверхностных усилий, обусловленные действием сосредоточенной силы. Решение, соответствующее условиям плоского напряженного состояния, можно получить из приведенного выше решения для случая плоской деформации, если ввести эффективный коэффициент Пуассона [c.102]

Считается, что тело находится в состоянии плоской деформации, параллельной плоскости х, у, если компонента и вектора смещения Ui равна нулю, а компоненты и Uy не зависят от координаты Z [49, стр. 250] Из (2.3.1) следует тогда, что компоненты деформации е , = ez и еу. — еху равны нулю и что остальные компоненты не зависят от z. Ненулевые компоненты деформации даются следующими выражениями [c.22]

В данной книге мы сосредоточим внимание преимущественно на двумерных задачах. В них необходимо определить три напряжения Охх, Щу И Сху — Щх И две компоненты смещения ы и Uy как функции т X я у. Уравнения (2.7.1) и определения (2.7.2) применимы и для двумерных задач, но индексы в этом случае принимают значения 1 и 2. Подчеркнем, однако, что это замечание относится только к задачам о плоской деформации, когда связь между напряжениями и деформациями имеет такой же вид, как [c.29]

Это уравнение показывает, что смещение Uy стремится к + в точке приложения линейной силы Fy > О и к —оо на большом удалении от этой точки. Бесконечные смещения обусловлены характером нагрузки на границе. Когда мы принимали условия плоской деформации для плоскости х, у, подразумевалось, что линия действия силы неограниченна в направлении оси z. (В противном случае условие плоской деформации не будет выполнено для произвольной плоскости, нормаль к которой параллельна оси Z, ср. 2.6.) Следовательно, суммарная приложенная сила (т. е. сила, приходящаяся на единицу длины, умноженная на длину линии) бесконечно велика, и потому ей отвечают неограниченные смещения. [c.35]

Из формул (4.2.2) следует, что смещения и неограниченны на больших расстояниях от начала координат из-за членов, содержащих логарифмическую функцию g x, у). Это вытекает из природы сосредоточенной силы F — фактически она представляет силу, приходящуюся на единицу длины, в направлении оси Z, и чтобы отразить условия плоской деформации в плоскости х, у, надо считать, что такие силы действуют вдоль всей бесконечной линии, совпадающей с осью г. [c.54]

Формулы для напряжений в точке р можно найти, подсчитав деформации, отвечающие смещениям (6.7.3), и используя далее обобщенный закон Гука для случая плоской деформации (2.6.4). Деформации даются соотношениями [c.127]

Исследуем распределение напряжений и смещений около угловой точки на граничном контуре упругой области, нахо-дящейся в условиях плоской деформации или плоского напряжен- [c.60]

Работу сил трения, учитывая, что в условиях плоской деформации смещение по контактной поверхности происходит только по оси X и по двуи< контактным поверхностям, определим, согласно выражению (6.69) [c.253]

В случае плоской деформации смещения и v зависйт только от дг, а W исчезает ( 14). Все компоненты деформации и напряжения также зависят только от дс и у компоненты деформаци>< и компоненты [c.148]

В настоящее время для качественной оценки способности материала тормозить развитие магистральной трещины существует достаточно больпюй набор экспериментальных методов и соответствующих характеристик материала (точнее, образца из пего). Здесь будут рассмотрены несколько таких характеристик, представляющих не только качественный (для сравнения и выбора материалов и технологий), но и расчетный интерес. Последнее означает, что но такой характеристике возможно, на основании соответствующих критериев разрушения, вести расчеты па прочность с определением требуемых коэффициентов запаса. Эти характеристики (называемые характеристиками трещиностой-костп) Кс, Ки — критические коэффициенты интенсивности на-пря/кений при плоском напряженном состоянии и объемном рас-тя кении (в случае плоской деформации) бс — критическое раскрытие трещины в вершине (разрушающее смещение) Лс — упругопластическая вязкость разрушения h — предел трещино-стойкости. [c.123]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для кусочнооднородной среды. Пусть имеется многосвязная область D, ограниченная гладкими контурами L, (/ = 0, 1, 2,. ... т), из которых все контуры Lj (/ 0) расположены вне друг друга, а контур 0 охватывает все остальные. Область D заполнена упругой средой с постоянными Яо и цо, а области )/ (ограниченные контурами Lj) средами с постоянными X/ и ц/ (индекс буквы соответствует индексу области). Далее, для удобства будем использовать постоянные х/, различные для плоской деформации и плоского напряженного состояния (см. 4 гл. III). На границах раздела сред следует, как обычно, задавать. те или иные условия сопряжения. Например, такой известной технологической операции, как посадка с натягом, соответствует задание скачка вектора смещений 6/(0- В случае же плоско-напряженной деформации имеет смысл постановка таких условий, при которых внешние напряжения пропорциональны (в случае, когда толщины пластинки и включений различны )). [c.413]

Все приводимые ниже фор1 улы отвечают случаю плоской деформации w = 0). В случае плоского напряженного состояния (а = 0) коэффициент Пуассона в смещениях заменяется соответстлующеи величипои (а именно, v v/(l — v)). [c.24]

После этих предварительных замечаний можно установить связь между относительными удлинениями fj, е , по главным направлениям и удлинением и сдвигом по произвольному направлению. Тем самым будут найдены компоненты тензора десрормации. Опять для наглядности ограничимся рассмотрением плоской деформации, при которой упругие смещения всех точек тела происходят в параллельных плоскостях. [c.153]

На рис. 1 приведены результаты испытаний на вязкость разрушения в виде диаграмм нагрузка — смещение. Форма полученных кривых свидетельствует о том, что ни один из сплавов не был испытан в действительности в условиях плоской деформации и при нестабильном росте усталостной трещины, на что указывает отсутствие скачков на графиках. Однако испытания образцов стали с 9 % Ni проходили в условиях, близких к плоскодеформированному состоянию, поскольку график зависимости нагрузка — смещение представляет собой почти прямую линию, а полученные значения вязкости разрушения 144- 166 МПа-м /2. В образце сплава Fe—12Ni— 0,25 Ti, обработанном по режиму 4, практически отсутствует нестабильный рост трещины усталости. Заранее выращенная в этом образце усталостная трещина продолжала устойчиво развиваться со значительной пластической деформацией до конца испытания. [c.350]

Пример 7. Для иллюстрации рассмотрим классическую задачу Гриффитса об устойчивости трещин отрыва в неограниченной линейной упругой среде. Длину трещин обозначим 2/, номинальные напряжения (рис. 7.3.17). Рассмотрим задачу в предположении плоской деформации и заданных смещений на бесконечности . Тогда потенпиа-льная энергия упругой деформации для половины тела выражается формулой [c.485]

При пластическом деформировании перемещение поверхности текучести на девиаторной плоскости аналогично движению на плоской поверхности жесткого кольца под действием цапфы, описывающей годограф изменяющегося вектора полной деформации (кинематическая модель Прагера [67]). Пластическая деформация (смещение кольца) возможна лишь при г = т. е. при касании цапфой кольца и ее стремлении выйти за пределы последнего. Скорость [c.89]

В частности, случай а = О отвечает плоской деформации, а при Ь = О получается известная постановка Дагдейла. Во второй и третьей строках записаны обычные условия на поверхности разрьта тангенциального смещения в идеальном упругопластическом теле [37]. Случай аФО физически реализуется только в тонких пластинах (шейка) и соответствует плоскости скольжения под углом 45° к плоскости пластины. [c.76]

Лайрооластическая деформация перед йраем трещинй й разрушение происходит по типу прямого излома без ковых скосов. Эта величина носит название критического коэффициента интенсивности напряжений при плоской деформации и обозначается Ки, поскольку разрушение осуществляется здесь по первому виду деформаций — путем отрыва (рис. 47). Диаграмма деформации в координатах сила Р —смещение F практически [c.113]

Основной трудностью при использовании метода секущей является обнаружение момента страгивания трещины, и доказательство, что в этот момент радиус пластической зоны при плоской деформации меньше 0,02а . Этим двум условиям и трудно удовлетворить одновременно, имея в виду вышеописанные методы. Гораздо легче определить страгивание прямо, используя дополнительные способы, например, пьезоэлектрический датчик (тита-нат бария или титаноцирконат свинца), реагирующий на акустические импульсы, возникающие при развитии трещины. Тогда диаграмма нагрузка—смещение может быть проанализирована и определены нелинейные эффекты. [c.137]

Разработан ряд методов измерения воспроизводимых значений вязкости разрушения в условиях плоской деформации, Ки, пользуясь которыми следует обращать особое внимание на требования, предъявляемые к размерам образцов, и на анализ диаграмм нагрузка — смещение. Даже в наименьших образцах должно соблюдаться условие, при котором все размеры образцов превышали бы по крайней мере в 50 раз радиус плоскодеформированной пластической зоны при разрушении. Что касается длины трещины, то аналогичный критерий, выраженный через податливость образца, отражен в требовании, чтобы уменьшение наклона кривой нагрузка—смещение перед нестабильностью или скачком не превышало 5%. Рекомендуемая процедура определения Ки из диаграммы с возрастающей нагрузкой представляется малоприемлемой. [c.140]

Выписанное ниже решение для напряжений и смещений в безграничном упругом пространстве в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, вызванных действующей вдоль прямой нагрузкой, получил Томлин [4,231 на основе более ранней работы Лехницкого [201. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...