Многообразие вложенное

Перемешивание является более тонким понятием, чем эргодичность, и хотя оно было введено в статистическую физику еш,е в работах Гиббса, тем не менее многообразие вложенного в него содержания удалось понять сравнительно недавно. Введем понятие корреляционной функции. Пусть / и g — две произвольные интегрируемые функции динамических переменных z. Тогда [c.28]

Замечание. Контактное многообразие, вложенное таким образом, называется подмногообразием контактного типа. [c.239]

Из всего многообразия динамических систем второго порядка полезно выделить системы, в которых может осуществляться периодическое изменение состояния системы. На фазовой плоскости периодическому движению соответствует замкнутая траектория. Если эта замкнутая траектория является одной из континуума вложенных одна в другую кривых, то мы имеем дело с консервативной системой. В такой системе период и амплитуда периодических колебаний зависят от начальных условий, а сама система является негрубой. [c.46]

Вместе с тем, несмотря на все эти усложнения, основную роль по-прежнему играют бифуркации состояний равновесия, периодических движений и их интегральных многообразий 5 и >5 . В дополнение к четким законам бифуркаций состояний равповесия и периодических движений обнаружились новые законы серий бифуркаций и их связи с так называемыми вложенными структурами, с касаниями инвариантных многообразий и 8 , с особым характером зависимости числа вращения Пуанкаре от параметров. [c.163]

Действительно, по следствию 1 векторы u,v зависимы во всех точках множества Г. Пусть теперь Ф — произвольная аналитическая 2-форма на М. Так как Ф(м,г )—аналитическая функция на М, равная нулю на Г, и Г — ключевое множество, то Ф(и, г ) s 0. Воспользуемся следующим фактом пусть Фо — заданная внешняя форма в точке Zq G М тогда существует аналитическая дифференциальная форма Фг на М, которая при z = zq совпадает с Фо. Отсюда вытекает зависимость полей и, v во всех точках М. Утверждение о возможности продолжения формы Фо на все М доказывается с помощью известного результата о вложении компактного аналитического многообразия М в Пусть Фо—ограничение 2-формы ifo, заданной в точке zo М С R , на Т М. Форма v oi очевидно, продолжается до аналитической формы ip на всем R (пусть, например, все ее коэффициенты постоянны). Остается ограничить форму ip на М. [c.222]

В десятой пятилетке перед строителями стоят большие задачи. Решение поставленных XXV съездом КПСС задач в области капитального строительства, растущие объемы капитальных вложений, многообразие и техническая сложность строящихся объектов требуют улучшения подготовки квалифицированных кадров и закрепления их в строительстве. Постановлением О мерах по дальнейшему улучшению подготовки квалифицированных кадров и закреплению их в строительстве (1979 г.) ЦК КПСС и Совет Министров СССР обязали министерства и ведомства СССР, осуществляющие строительство, Советы Министров союзных республик, руководителей [c.4]

Все многообразие технико-экономических факторов, характеризующих тот или иной вариант погрузочно-разгрузочной установки, при денежной оценке сводится к двум видам принципиально различных затрат эксплуатационным расходам и капитальным вложениям. [c.11]

Пример 10. Вложенное многообразие. Говорят, что М есть вложенное в евклидово пространство подмногообразие размерности к (рис. 61), если в окрестности U каждой точки ж М существуют п — к функций t/ R,. . ., С/ -V R таких, что пересече- [c.74]

Рис. 61. Вложенное Легко ввести на М структуру многообразия подмногообразие координаты В окрестности Ж (как ).

Для вложенных многообразий введенное определение совпадает с предыдущим. Но его преимущество в том, что оно годится и для У f" [c.75]

Д. Риманово многообразие. Если М — вложенное в евклидово пространство многообразие, то метрика евклидова пространства позволяет измерять на М длины кривых, углы между векторами, объемы и т. п. [c.75]

Наше трехмерное многообразие, как вложенное в четырехмерное, снабжается римановой метрикой. Полученная голономная система и называется в механике отрезком постоянной длины на плоскости х, у. Кинетическая энергия дается формулой [c.78]

Действительно, рассмотрим конфигурационное многообразие М системы со связями как вложенное в Зп-мерное конфигурационное пространство системы свободных точек. Метрику в Зп-мерном [c.78]

Тогда соответствующая вложенному риманову многообразию М и потенциальной энергии V натуральная система совпадает с системой, определенной в 17 или с предельным случаем системы с потенциалом С/ iVg 2, N сх>, быстро растущим вне М. [c.78]

Сама лемма А получается из этого утверждения в частном случае, когда X = — фазовое пространство свободной частицы в К , гиперповерхность У образована ортами (задается условием = 1, т. е. является поверхностью уровня гамильтониана свободной частицы), гиперповерхность Е образована всеми векторами, приложенными в точках изучаемой поверхности в К . В этом случае В есть многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства, а 2 — многообразие касательных ортов. Отображение 2 -> 5 сопоставляет касательному орту содержащую его касательную прямую. Многообразие С есть пространство (ко)касательного расслоения изучаемой поверхности. 2 С — вложение в это пространство пространства расслоения единичных сфер (в иных терминах вложение гиперповерхности уровня кинетической энергии, т. е. гамильтониана движения со связями). [c.440]

Соответствующее этому четырехмерному подпространству вложение локальной алгебры Вц в локальную алгебру 5 индуцирует на первой именно ту градуировку, которая задается сворачиванием инвариантов Я4. О. П. Щербак доказал, что эта связь доставляет еще одно описание многообразия нерегулярных орбит Н . [c.464]

Более обш 1м образом, рассмотрим гладкую компактную -мерную клетку в т-мерном компактном многообразии М, т. е. вложение замкнутого стандартного шара из в М, и вычислим экспоненциальную скорость роста объема его образов для данной гладкой динамической системы на М. Если она необратима, объем следует вычислять с учетом соответствующих кратностей. Взяв точную верхнюю грань по всем f -мерным клеткам, получим инвариант гладкого сопряжения, который дая фиксированного к, вообще говоря, не является инвариантом топологического сопряжения. Оказывается, что для С°°-отображений максимум этих чисел по f , О f т, равен топологической энтропии р]. [c.125]

Доказательство. Наша цель состоит в том, чтобы представить все периодические орбиты как решения некоторых полиномиальных уравнений и, таким образом, получить экспоненциальную оценку на число компонент связности множества периодических точек. Для этого мы представим наше многообразие в виде пересечения множеств уровня нескольких полиномов и приблизим данный диффеоморфизм полиномиальным, который мы можем контролировать. Первая цель достигается с помощью следующей теоремы Нэша о вложении. [c.312]

Теорема 7.4.2 (теорема Нэша о вложении) [ ]. Любое компактное С°°-многообразие может быть вложено в евклидово пространство как пересечение множеств нулей некоторой совокупности действительнозначных полиномов, т. е. если М — компактное С°°-многообразие, то существуют такие N, KeN и такие полиномы Pi. — Ш (г = 1,..., К), [c.312]

Теорема 19.1.8. Пусть М — риманово многообразие, множество и С М открыто и / и М — вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Предположим, далее, что для некоторого а > 1 условие связывания (19.1,1) выполнено для всех точек множества А. Тогда устойчивые и неустойчивые распределения принадлежат классу С. [c.606]

Следствие 19.1.11. Пусть М — риманово многообразие, множество и сМ открыто и f и М — вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Если неустойчивое распределение имеет коразмерность один, то оно принадлежит классу С. [c.608]

Предположим, что М — риманово многообразие, множество U сМ открыто яд и М — С -вложение. Если х eU я Е С Т М — линейное подпространство, то риманова метрика на М индуцирует формы объема я на Е я DgE. Заметим, что они зависят от Е гладко. С другой стороны, мы можем определить прообраз формы ш под действием отображения д, т. е. следующую форму объема д Шц на Е [c.609]

Нас будет интересовать случай, когда вложение f U — М обладает инвариантным гиперболическим множеством A U я N сМ — кусок неустойчивого многообразия. Тогда мы получим вещественнозначную функцию на [c.609]

Теорема 19.2.5. Пусть М — риманово многообразие, / U - М — гладкое вложение с компактным топологически транзитивным гиперболическим множеством и ip Л—— С —гладкая функция. Предположим, что для каждого такого хе М, что f"(x) = х, выполнено равен- [c.613]

В. Касательное пространство. Если М — вложенное в JJ А-мерное многообразие, то в каждой точке х оно имеет /с-мерное касательное пространство ТМ .. А именно, ГМ есть ортогональное дополнение к grad Д,. . ., grad/ - г (рис. 62). Векторы касательного пространства ТМ с началом в х на.эываются касательными векторами к М в ж. Эти векторы можно определить и непосредственно, как векторы скорости кривых на М [c.74]

В. Симплектические структуры проективных алгебраических многообразий. Мы получаем теперь симплектическую структуру на любом комплексном подмногообразии М комплексного проективного пространства. А именно, пусть / М СР — вложение комплексного лшогообразия М в комплексное проективное пространство. Риманова, эрмитова и симплектическая структуры на проективном пространстве индуцируют на М соответствующие структуры. Например, симплектическая структура на М задается формулой [c.312]

Теорема 6.4.9. Пусть Л — такое гиперболическое множество С -диффеоморфизма / V — М, что дифференциал Df на А допускает р.)-разложение с X < I < р.. Тогда для каждого хеА имеется пара таких вложенных С -дисков W (x), W (x), называемых локальным, устойчивьш многообразием и локальньш неустойчивьш многообразием точки X соответственно, что [c.272]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Пусть и М является диффеоморфным вложением с гиперболическими неподвижными точками р,,...,. Говорят, что точки Р[,..., р = Рй образуют гетероклиническую петлю, если размерности их устойчивых многообразий равны и многообразие И (р ) пересекает трансверсально для =0,..., к. Докажите, что в этом случае каждая точка р, имеет трансверсальную гомоклиническую точку, и выведите отсюда, что существует гиперболическое множество Л отображения /, содержащее все точки Р),..р и имеющее плотную орбиту. [c.283]

Замечание. В некотором смысле это седло может быть получено склейкой вместе трех простых седел индексов —1. Таким образом, индекс аддитивен в следующем смысле если поток (рд вложен в такое однопараметрическое семейство потоков что потоки имеют три простых седла ддя е > О, то 1ро естественным образом оказывается потоком с многократным седлом, полученным объединением трех простых седел, т. е. е = О — би( уркационное значение согласно определению из 7.3. Соответствующий пример дают гамильтоновы потоки гамильтонианов Н х,у) = ех + -Ь ху х -ь у) х - у), показанных на рис. 8.4.1 для е = О и е = 1/10. Таким образом, сумма индексов в этой ситуации сохраняется. Если мы вложим эту локальную картину в компактное многообразие, тогда этот факт окажется следствием формулы Лефшеца (теоремы 8.6.2). [c.329]

Теорема 17.4.3. Пусть к — гиперболическое множество С-потока М М, г М, Л, /А — такие же числа, как в определении 17.4.1, и 0 > 0. Тогда для каждого х е Л существует пара таких вложенных С-дисков И (х), И "(х), называемых локальным сильно устойчивым многообразием и локальньш сильно неустойчивым многообразием точки X соответственно, что [c.545]

Определение 17.7.1. Римановьш локально симметрическим пространством называется такое связное риманово многообразие М, что для любого р М найдется такая окрестность II, что преобразование ехрр о(- И) о ехрр и —у М является изометрией. Многообразие М называется глобально симметрическим пространством, если эта локальная изометрия может быть продолжена до изометрии всего М, т. е. для каждого р М найдется изометрия многообразия М с <7р(р) = р и = — И. Изометрия д-р называется (глобальной) симметрией, соответствующей точке р. Пространство является пространством ранга один, если не существует такой изометрически вложенной в него евклидовой плоскости, что образ является вполне геодезическим подмногообразием. [c.555]

Следствие 19.1.3. Пусть М , М —римановы многообразия, множества Ui с М,. открыты и /, СЛ — М—вложения с компактными инвариантными гиперболическими множествами с Ц ( = 1,2). Если зависимость устойчивого и неустойчивого многообразий /, от базовой точки гёльдерова и отображения /, и /г топологически сопряжены, то зависимость устойчивого и неустойчивого многообразий от базовой точки тлкже гёльдерова. [c.602]

Теорема 19.1.6. Пусть М — риманово многообразие, множество и с М открыто и / II М С -вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством А. а и. Тогда устойчивые и неустойчивые распределения являются гёльдеровыми. [c.603]

Следствие 19.1.12. Пусть М — риманово многообразие, множество исМ открыто и/ и М — сохраняюи ее объем вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Предположим, что устойчивое распределение имеет коразмерность один. Тогда устойчивое и неустойчивое распределения принадлежат классу С . [c.608]

Следствие 19.1.3. Пусть М — риманово многообразие, множество U сМ открыто, / U - М — гладкое вложение и A U — компактное гиперболическое множество для /. Тогда якобиан в неустойчивом, направлении (/( )) является гёльдеровым на А. [c.610]

Теорема 19.2.1 (теорема Лившица). Пусть М — риманово многообразие, и сМ — открытое подмножество, / U М — гладкое вложение, Ас С/ — компактное топологически транзитивное локально максимальное гиперболическое множество и А—гёльдерова функция. Предположим, что для каждого такого х Л, что /"(х) = х, мы име- [c.611]

Следствие 19.2.6. Пусть М — риманово многообразие, f U —>М — гладкое вложение с компактным топологически транзитивным гиперболическим множеством, р. Агёльдерова (соответственно С -гладкая) функция и p = Фof-Ф для некоторой ограниченной (всюду определенной) функции Ф. Тогда p=ф/of-ф/ для некоторой гёльдеровой (соответственно С -гладкой) функции Ф. [c.613]

Предложение 20.2.6. Пусть М риманово многообразие, множество и с М открыто, / U М — гладкое вложение и A U — гиперболическое множество. Тогда каждая гёльдерова функция на А содержится в С А). [c.627]

Пространство R является гладким многообразием с тождественным отображением в качестве карты, равно как и открытые подмножества этого пространства. Интересный пример получается при рассмотрении линейного пространства (п х п)-матриц как R". Условие det А О тогда определяет открытое подмножество, следовательно, многообразие, которое известно как общая линейная группа GL(n, R) обратимых (п х п)-матриц. Простые гладкие кривые н поверхности в R являются многообразиями любая локальная параметризация задает отображение, обратное к карте. В частности, стандартная сфера является многообразием (в качестве карт можно взять шесть параллельных проекций полусфер на координатные плоскости или стереографические проекции сферы за вычетом полюсов). Вложенный тор (бублик) является многообразием (с очевидной параметризацией в качестве карт). (Заметим, что даже негладкие кривые могут рассматриваться как гладкие многообразия, например, простая кривая с углом (типа - ) гомеоморфна R, так что эта единственная глобальная карта задает дифференцируемую структуру. Конечно, эта структура несовместима со структурой пространства, в которое данная кривая вложена, так что эта кривая не может рассматриваться как гладкое подмногообразие R .) Многообразия, определенные уравнениями, а именно множества уровней дифференцируемых функций со значениями в R нли R", соответствующие регулярным значениям, представляют собой интересный обшлй класс многообразий. Существование карт в этом случае обеспечивается теоремой о неявной функции. В качестве примера можно рассмотреть сферу в R" н специальную линейную группу SL(n, R) п х п)-матриц с определителем единица. Если рассматривать пространство (п х п)-матрнц как R", можно получить SL(n, R) как многообразие, определенное уравнением det Л = 1. Легко проверить, что единица является регулярным значением определителя. Таким образом, это многообразие, определенное одним уравнением. Примеры многообразий, определенных несколькими )фавнениями, — симплектн- [c.702]

В частности, интеграл любой точной формы по любому многообразию без границы равен нулю. Далее, любое погруженное -мерное подмногообразие может быть разбито (с точностью до границ элементов разбиения) на погруженные -симплексы (триангулировано), так что интеграл -формы по погруженным -мерным подмногообразиям корректно определяется (н не зависит от выбора триангуляции). В частности, -формы могут быть проинтегрированы по вложенным -циклам (см. П 7). Удобно думать о циклах как о вложенных многообразиях без границы, и действительно, по теореме Стокса эти интегралы зависят только от класса когомологий формы. С другой стороны, для данной формы эти интегралы зависят только от класса гомологий (с вещественными коэффициентами) цикла, потому что два гомологичных многообразия образуют границу некоторого многообразия. Тем самым задана двойственность между когомологиями де Рама форм и симплициальными гомологиями многообразия. [c.709]

Определение П3.19. Пусть 0<г<ооиМ — С-многообразие. Два подмногообразия К, и Й2 многообразия М называются С -близкими, если существуют такие С-многообразие Кд и вложение Кд- K , что /, и /2 С-близки. [c.710]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...