Интегрирование тригонометрических

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [c.139]

При Лз <ф о получаются формулы, аналогичные (10.38)—(10.44), только вместо гиперболических функций в них входят тригонометрические функции, а вместо Лд везде будет фигурировать —Лз (в этом случае тоже положительная величина). Интегрирование уравнения (10.37) дает для 2-об разной формы [c.297]

Указания к решению задачи на ЭВМ. Дифференциальные уравнения движения машины (3) и уравнение для определения усилия 5 в шатуне АВ решаются на ЭВМ. Необходимые для интегрирования начальные условия по переменным ф , фг указаны в табл. 9, начальная угловая скорость берется равной оцг. Шаг печати At выбирается равным Д/ = т/24 = 0,01-И 10 V. На печать выводятся переменные /, ф1, фг, (02г. i-, S. Для упрощения программы и для ее индивидуализации значения длин и масс звеньев, момента Л1 , тригонометрических функций угла и т. п. вводятся как числовые константы. Значения этих констант предварительно вычисляются с точностью до трех значащих цифр. [c.94]

Указания к решению задачи на ЭВМ. Система дифференциальных уравнений (2) и уравнения для определения динамических реакций решаются на ЭВМ. Необходимые для интегрирования начальные условия по переменным i, р, рг указаны в табл. 14. Начальное значение по переменной q- принимается равным нулю. Шаг печати Д/ принимается равным Д< =-с/24 = 0,1 Ч 0,001 N. На печать выводятся переменные t, q, р, Рг, р, р2 и искомая реакция. Для упрощения программы и для ее индивидуализации значения масс и размеров звеньев тригонометрических функций угла и т. п. вводятся как числовые константы. [c.129]

Для его интегрирования применимы те же методы, которые используются и для расчета изотропных пластин. Так, при задании поверхности прогибов в форме двойного тригонометрического ряда (6.49) амплитуду прогиба вместо (6.50) получим в виде [c.180]

Равенства (21.99) и (21.100) требуют разложения этих функций в ряды, члены которых представляют собой тригонометрические функции углов, кратных лх/1. Эта задача решается методом Фурье, который, как известно, заключается в том, что равенство (21.99) умножают на sin т л.х/1) и интегрируют по всей длине от О до Л В результате этого интегрирования получают [c.630]

Для вычисления коэффициентов, содержащих тригонометрические функции угла ф, следует воспользоваться равенствами (4.4). Если какие-либо интегралы не удается вычислить аналитически, следует воспользоваться числовыми методами. Пределы интегрирования 0,2я выбраны в предположении, что звено ОА должно быть кривошипом. [c.74]

Главным достоинством механических счетно-решающих устройств и приборов является простота и надежность в эксплуатации. К недостаткам их следует отнести необходимость высокой точности изготовления, требующей высокоточного оборудования, трудность в дости.жении унификации деталей и узлов, снижение надежности из-за износа направляющих, зубьев зубчатых колес и т. п. Среди механических устройств, предназначенных для выполнения математических действий, наиболее часто используются суммирующие, множительные, тригонометрические, а также механизмы для дифференцирования и интегрирования. Суммирующие механизмы, используемые для алгебраического сложения двух, трех и более величин, могут быть а) шкальные, б) рычажные, в) зубчатые дифференциалы. [c.377]

Следовательно, в случае искривления волокон по закону синуса или косинуса усреднение по (3.10) сводится к интегрированию четных степеней тригонометрических функций. [c.63]

Притяжение к центру по закону klr . Теперь, после того как мы произвели классификацию всех возможных траекторий, можно перейти непосредственно к интегрированию детальное вычисление всегда предпочтительно осуществлять после качественного исследования. В случае центрального ноля с потенциалом V = — р,/г уравнения интегрируются при п = —2, —1, 1, 2 в тригонометрических или экспоненциальных функциях, а при п = —6, —4, 3, 4, 6 — в эллиптических функциях- (Теория предыдущего параграфа применима, разумеется, лишь в случаях, когда п больше двух.) Рассмотрим случай, когда притяжение пропорционально В этом случае имеем [c.314]

Для произвольно нагруженной оболочки вращения, а также для незамкнутой цилиндрической оболочки, опертой по торцам на жесткие в своей плоскости диафрагмы, о помощью разложения в тригонометрические ряды достигается разделение переменных, и задача сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В 26 и 28 соответствующие уравнения записаны в виде, удобном для численного интегрирования на ЭВМ методами, изложенными в гл. И. [c.233]

Кривая sin f — i по тригонометрическим таблицам перестраивается в кривую tg

графическое интегрирование последней дает изогнутую ось стержня в прямоугольной системе координат уОг (фиг. 8 г). [c.121]

При интегрировании иррациональных функций, не содержащих никаких других радикалов, кроме радикалов вида У х или —х , удобно пользоваться тригонометрическими подстановками. [c.165]

Иногда целесообразной является ликвидация мягких ударов путем корректировки (аппроксимации) динамически оптимального закона движения, полученного интегрированием уравнения Эй. ера, полиномиальными или тригонометрическими функциями, имеющими достаточное число непрерывных производных. [c.22]

С учетом разложения f по угловой координате р в тригонометрические ряды (4.75) выполним следующее интегрирование [c.141]

Рассмотрим последнее слагаемое в уравнении (4.77). Под компонентами вектора реакций будем понимать действующие в узловых сечениях погонные усилия (направления их совпадают с направлениями и, V, w) и погонный изгибающий момент (направленный в сторону положительного направления угла поворота Uj), умноженные на соответствующие радиусы сечений и Гд. Интегрирование по координате р выполним с учетом разложения в тригонометрические ряды. После чего получим [c.143]

Отдельного рассмотрения требует последний интеграл в уравнении (4.120), учитывающий дополнительное дифференциальное условие связи между компонентами вектора обобщенных перемещений X и их первыми производными F . Разложив в тригонометрические ряды по угловой координате р аналогично (4.113) множители Лагранжа fx , выполним интегрирование по Р [c.153]

С учетом соотношений упругости (4.159) и разложения деформаций в тригонометрические ряды (4.152) последовательно выполним интегрирование по координате р и по площади шпангоута Р, после чего получим для п-и гармоники разложения [c.164]

Второе слагаемое в уравнении (4.158) определяет работу внешних погонных нагрузок. С учетом разложения перемещений и нагрузок в тригонометрические ряды по угловой координате р после интегрирования получим [c.165]

Произвольные постоянные интегрирования, входящие в (17.38) и (17.39), находятся из граничных условий на верхней и нижней гранях пластины. Для этого необходимо внешнюю нагрузку q[x) также разложить в тригонометрические ряды по синусам или по косинусам [c.369]

Вычислим коэффициенты разложения нагрузки в тригонометрический ряд по формуле (20.38), в которой интегрирование надо произвести в пределах участка нагружения. В результате получим [c.441]

В заключение отметим, что определять перемещение кругового кольца обычно удобнее с помощью тригонометрических рядов, а не путем аналитического интегрирования уравнений изгиба кольца. Однако внутренние силы, и моменты, как правило, надежнее и удобнее находить одним из методов, изложенных в 4.2. [c.126]

Коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболочек вращения не зависят от q>. Это позволяет в общем случае, т. е. при любом очертании меридиана, искать решение при помощи тригонометрических рядов. Применим этот метод к интегрированию статических безмоментных уравнений. [c.202]

Пусть расчету подлежит замкнутая круговая цилиндрическая оболочка, ограниченная двумя поперечными краями = Si и g = gg- В этом случае при интегрировании дифференциальных уравнений теории круговых цилиндрических оболочек, помимо граничных условий на поперечных краях, надо учитывать условия возврата, т. е. требование, чтобы после обхода контура поперечного Течения некоторые усилия, моменты, перемещения и углы поворота вернулись к прежним значениям. В связи с этим для исследования замкнутых цилиндрических оболочек широко используется метод тригонометрических рядов по переменной 0, так как в нем условия возврата очевидно выполняются в каждом отдельно взятом члене разложения. Схема такого расчета заключается в следующем. [c.346]

Подставляя сюда значения т е и т ф по (196), собирая члены с тригонометрическими функциями угла ф и произведя сначала интегрирование по ф от о до 2я, а затем и по 0 от 0 до я, найдем [c.424]

Здесь приведем результаты интегрирования уравнений теории весьма пологих оболочек методом двойных тригонометрических рядов. [c.110]

Интегрирование системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки в обобщенных смещениях является довольно сложной задачей, так как сводится к решению совместной системы пяти алгебраических уравнений (метод двойных тригонометрических рядов) либо к решению пяти обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых второго порядка (метод одинарных тригонометрических рядов). Естественно поэтому стремление иметь в арсенале разрешающих средств теории цилиндрических оболочек и более простые по структуре уравнения, обеспечивающие одновременно достаточную точность в инженерных расчетах. [c.126]

Воспользовавшись разложением в двойные тригонометрические ряды и выполнив интегрирование (5.67) по переменным х и у, можно обнаружить, что относительно отдельных гармоник [c.252]

Представляя решения системы и действующие внешние нагрузки в виде тригонометрических рядов, после интегрирования и некоторых преобразований с использованием зависимостей между амплитудными значениями нагрузок и радиального перемещения кругового кольца получим разрешающую систему в виде [c.90]

После представления решений этих уравнений и внешних нагрузок в виде тригонометрических рядов и интегрирования систему [c.93]

Алгоритм вычисления Л, а), В, а) с помощью формул типа (42), (43) и интегрирование уравнений (41) могут быть применены на следующих шагах итерационного метода, и таким образом можно вычислить любую из функций преобразования (39) Vs, а также А , 5. Эти выражения весьма громоздки, поэтому их приводить здесь мы пе будем, по отметим, что па любом шаге V, выражаются через тригонометрические фупкции аргументов f , t. [c.70]

Система (67) допускает последовательное интегрирование, и ее решение можно выразить через тригонометрические функции аргументов ifi и f, если собственная частота ш не является целым числом и величины А,[а). В, а) выбраны как средние значения правых частей уравнений (67) по ifi и t. Из этих условий сразу получаем [c.75]

Устойчивость цилиндрических оболочек при неоднородном осевом сжатии, в частности при изгибе моментом, рассматривалась во многих работах см. обзоры [36, 37]). В работе [44] применялся метод Бубнова — Галеркина, причем прогиб аппроксимировался двойным тригонометрическим рядом. В работах [112, 114] был использован излагаемый ниже метод асимптотического интегрирования. [c.93]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

Выбор аппроксимирующих функций — наиболее ответственный этап приближенного решения. Аппроксимирующие функции, с одной стороны, должны удовлетворятьграничным условиям и физическому смыслу задачи, с другой стороны, должны быть удобными для математической обработки. В данной задаче, если считать форму пластины, близкой к квадратной, то учитывая результаты решенной в 21 задачи устойчивости свободно опертой пластины, можно ожидать, что потеря устойчивости защемленной пластины будет происходить с образованием одной вы-пучины (рис. 4.15,6). Тригонометрические функции удобны для операций дифференцирования и интегрирования, поэтому, ограничившись первым членом ряда (4.58), можно принять [c.170]

Изгиб круглых несимметрично нагруженных пластин постоянной толщины рассмотрен в 4 7. Следует отметить, что для круглых неосесимметрично нагруженных пластин переменной толщины эффективньш является численное решение путем интегрирования на ЭВМ обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых после разложения решения в тригонометрический ряд по угловой координате. [c.52]

Путем разложения решения в тригонометрические ряды по угловой координате ф и последующего численного интегрирования полученных для каждого члена ряда обыкновенных дифференциальных уравнений Б. Л. Бухину удалось решить несколько практически важных задач, относящихся к воздействию локальных нагрузок ца пневматическую шину [22]. [c.400]

Эти механизмы получили широкое распространение при выполнении всякого рода вычислительных операций и геометрических построении. Применяются механизмы для суммирования (вычитания) величин, вводимых в механизм эпизодически или непрерывно, для умножения (деления), возведения в степень и извлечения корня, для отсчета показательных функций по заданному аргументу. Применяются также механизмы, позволяющие построить тригонометрические функции по заданному аргументу и, наоборот, по заданной функции построить аргумент, разложить периодическую функцию в ряд Фурье и т. д. Простые механизмы могут войти в состав более сложных, комплексных механизмов, позволяющих производить, сложные математические, операции. Например, в машине для интегрирования дифференциальных уравнений применяются интегрпторы, суммирующие, множительные механизмы и другие, связанные между собой определенным образом. [c.582]

Грина по (П.43) существенно облегчается вследствие обращения в иуль первого и последнего членов этой формулы. При афоо вычисление тригонометрической суммы в выражении (П.43) может быть заменено численным интегрированием по формуле [c.224]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...