Фурье Геометрия

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Рис. 5.50. (а) Геометрия отрезков фокусировки (б) функция нелинейного преобразования Ф[С] (в) квадраты модулей коэффициентов Фурье для функции ехр [ ]) [c.363]

Рис. 5.52. Геометрия отрезков фокусировки (а) бинарная функция [ ] нелинейного преобразования (б) квадраты модулей коэффициентов Фурье для функции ехр(гФ[ ])(в)

Однако это интегральное уравнение есть не более чем приближение, учитывающее слагаемые второго порядка, входящие в ряд теории возмущений типа (10.39). Фактически в нем приняты во внимание только эффекты интерференции волн, рассеянных парами атомов жидкости. Статистическое распределение атомных центров учитывается в уравнении (10.48) только через структурный фактор 5 (ч), представляющий собой фурье-образ (4.9) парной корреляционной функции (1, 2). Желая учесть эффекты многократного рассеяния электронов атомами, мы должны явно ввести в рассмотрение высшие корреляционные функции 3, и т. д., определенные в 2.6. Эффекты, связанные с локальной геометрией расположения атомов, невозможно полностью отразить в теории без учета соответствующих членов ряда теории возмущений [16]. [c.480]

Последний шаг при вычислении аппроксимации метода конечных элементов — решение линейной системы КО = Р. Мы собираемся обсудить здесь только прямые методы исключения, так как в подавляющем большинстве программ по методу конечных элементов они предпочтительнее итерационных методов. (Было бы интересно обсудить возникновение и упадок итерационных методов за последние десятилетия. Очень много сложных и математически интересных работ было посвящено методам верхней релаксации и переменных направлений они составляли основную тему численного анализа. Теперь они вытеснены методом исключений и методами типа быстрого преобразования Фурье. Методы типа метода Фурье, безусловно, эффективнее, если геометрия области, и уравнения подходящие, а методы исключения особенно хороши, когда нужно решать одну систему с многими правыми частями, как в задачах проектирования.) [c.47]

Геометрия различных стационарных волновых движений была найдена в гл. 12. Изменения амплитуды вдоль каждой групповой линии можно определить, основываясь на общих концепциях групповой скорости. Однако, как указывалось выше, исходное распределение амплитуды вдоль различных групповых линий можно получить только из более полного решения. Теперь мы изучим полученное при помощи преобразования Фурье решение для случая однородного потока, покажем, как простое кинематическое описание связывается с полным решением и определим амплитуды. Мы будем рассматривать источник возмущений не как заданное исходное смещение, а как стационарное внешнее давление, приложенное к поверхности потока, поскольку это точнее описывает влияние плавающего тела. [c.430]

Это, по-видимому, наиболее важная схема голографического процесса (см. гл. 4). С точки зрения геометрии такая схема представляет собой частный случай безлинзовой голограммы Фурье (г/о=г/г), хотя обычно здесь запись осуществляется, когда объект[1ый и опорный пучки расположены в передней фокальной плоскости линзы [23]. Соотношение сопряжения для голограмм Фурье можно получить, если заменить 1/tg 0 на xjy . Если восстанавливающий пучок коллимирован, то в изображении полностью отсутствуют аберрации при любом угле падения восстанавливающего пучка это объясняется тем, что для любой точки объекта такая голограмма должна менять падающую плоскую волну на другую плоскую волну такое изменение может происходить без внесения аберраций. Практически это означает, что для точного определения угловых и линейных координат голограммы не требуется избавляться от Эберраций. [c.273]

На рис. 13 показана схема системы, используемой одним из авторов в установке голографической корреляции. При проведении конкретных исследований эту геометрию можно изменить в некоторых рамках. В процессе испытаний волновой фронт h x, у), рассеянный участком поверхности находящегося под нагрузкой испытуемого объекта, проходит через линзу, выполняющую преобразование Фурье, и на выходе этой линзы мы имеем фурье-образ F h x, у) . Затем объектный волновой фронт проходит через согласованный фильтр Вандер Люгта [59], на выходе которого образуется произведение F h(x, y) F s x, у) , где s(x, у) — волновой фронт, рассеянный ненагруженным исследуемым объектом. Ниже мы обсудим устройство фильтра Вандер Люгта. На это произведение затем [c.342]

Широкое распространение в технике получили детали, представляющие собой тела вращения со сложной геометрией меридионального сечения, нагруженные неосесимметрично. Для определения НДС такого класса объектов необходимо решение пространственной задачи механики сплошной среды. Применение МКЭ с трехмерной дискретизацией в декартовой системе координат не очень удобно в отношении аплроксимации геометрии в окружном направлении и решения, которое значительно сложнее, чем в цилиндрической системе координат. При использовании удобной для этих целей цилиндрической системы координат возникают проблемы, связанные с описанием смещений как твердого целого в направлении, перпендикулярном к оси вращения, при полиномиальной аппроксимации перемещений в МКЭ в окружном направлении. При этом необходимо применять специальные меры [70, 134], чтобы избежать фиктивных напряжений в конструкции. Эти проблемы не возникают при решении задачи с использованием так называемого ПМКЭ [62], в котором решение в окружном направлении описывается отрезком ряда Фурье, а в меридиональном направлении производится дискретизация конечными элементами. Для точного учета смещений как твердого целого в этом случае достаточно нулевой и первой гармоники. [c.156]

Метод конечных элементов применен для расчета конструктивно-ортотропных оболочек вращения с произвольной формой меридиана и произвольным законом из.менения жесткости вдоль меридиана. В основу положен осесимметричный элемент, максимально приближенный к геометрии исходной оболочки. Решение строится в виде ряда Фурье. Подробно описаны процедура формирования матрицы жесгкости элемента и ансамбля элементов, а также построение вектора эквивалентных нагрузок, обсуждаются особенности реализации алго-рит.ма расчета. Ил. 3, список лит. 12 назв. [c.328]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Более прямой способ измерения параметров поглощения основан на регистрации формы волны в разных точках, расположенных по направлению распространения волны. Свойства пород в естественном залегании могут быть определены на основе изучения объемных волн от землетрясений и от взрывов. Частотная зависимость обы.чно оценивается с помошью Фурье-анализа сейсмограмм. Аналогичные измерения проводятся и на образцах, когда спектр импульсов лежит в ультразвуковом диапазоне частот. В случае малых образцов, используемых прн моделировании условий естественного залегания, иа различных расстояниях от датчика регистрируются волновые пакеты, состоящие из нескольких периодов синусоиды в мегагерцевом диапазоне. Амплитуда пакета служит индикатором поглощения иа видимой частоте. Хотя большинство способов применяются в течение нескольких десятилетий, усовершенствование аппаратуры позволяет получить более точные результаты. Накопленный опыт дает возможность с большей точностью вносить коррекцию за геометрию расстановки и характеристики приемников и, что самое важное, построить аппаратуру, позволяющую приблизить флюидонасышение, давление и температуру в образце к условиям естественного залегания осадочных отложений. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...