Кинетический эллипсоид

ТО ПОЛЮС Q принадлежит, кроме эллипсоида инерции, еще и кинетическому эллипсоиду (упражнение 3) [c.174]

К пучку поверхностей второго порядка, определяемому эллипсоидом инерции и кинетическим эллипсоидом, принадлежит (единственный) конус, уравнение которого есть [c.174]

Кинетический эллипсоид 173 Кинетостатика неизменяемой среды 9, 62 [c.547]

Система уравнений (47.65) и (47.66) и изображает полодию. Как видим, полодия представляет собой пересечение двух соосных эллипсоидов эллипсоида инерции (47.65) и так Называемого кинетического эллипсоида (47.66). Последнее название оправдывается тем, что уравнение (47.66) выражает постоянство кинетического момента. [c.536]

Теорема 6.6.1. Вектор К кинетического момента перпендикулярен к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке С пересечения эллипсоида с лучом, выходящим из неподвижной точки О параллельно вектору угловой скорости из. [c.465]

Доказательство. По теореме 6.6,1 вектор кинетического момента задает нормаль к эллипсоиду инерции, взятую в апексе. Расстояние от точки О до касательной плоскости есть [c.467]

Доказательство. Плоскость V имеет фиксированное расстояние до неподвижной точки О, а ее ориентация, определяемая вектором кинетического момента, остается постоянной во все время движения. Точка касания принадлежит оси угловой скорости, и, значит, скорость точки эллипсоида, совпадающей с апексом, равна нулю.О [c.468]

Для тела с таким распределением массы, при котором эллипсоид инерции для неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. при у X = у у, выражение кинетической энергии принимает вид [c.451]

Кинетический момент тела может быть коллинеарным с угловой скоростью в те моменты времени, когда мгновенная ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции тела для неподвижной точки. Приведем соотношение, применяемое при рассмотрении движений вокруг неподвижной точки тел, эллипсоиды инерции которых для этой точки представляют собой эллипсоиды вращения [c.451]

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции можно представить как результат качения без скольжения эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, по неподвижной плоскости, перпендикулярной к кинетическому моменту. [c.417]

Таким образом, приходим к следующей, полученной Пуансо, геометрической интерпретации движения твердого тела в случае Эйлера эллипсоид инерции для неподвижной точки катится без скольжения по плоскости, неподвижной в пространстве-, эта плоскость перпендикулярна кинетическому моменту угловая скорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора точки касания, а по направлению с ним совпадает. [c.162]

Элементы орбиты кеплеровские 204 Эллипсоид инерции 121 Энергия кинетическая 128 [c.414]

В частных случаях, когда эллипсоид инерции тела для точки О будет приводиться к шару J — J = У ) или когда вращение тела происходит вокруг одной из главных осей инерции, например оси г (и> = (Оу = 0), направление векторов кинетического момента Ко и мгновенной угловой скорости (О между собой совпадают, т. е. [c.698]

Теорема III. Расстояние от неподвижной точки до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе, равно квадратному корню из удвоенной кинетической энергии, деленной на главный момент количеств движения. [c.161]

Что касается движения центра тяжести С, то это —движение тяжелой точки по поверхности вращения, параллельной заданному эллипсоиду (п. 276). На основании теоремы кинетической энергии и теоремы моментов относительно оси Oz получим два первых интеграла, определяющих движение (Пен леве, там же, стр. 31). [c.229]

Нормаль к эллипсоиду инерции в мгновенном полюсе параллельна кинетическому моменту ОК. [c.90]

Действительно, направляющими коэффициентами нормали к эллипсоиду (3) в точке х, у, г являются 2Ах, 2Ву, 2Сг в мгновенном полюсе, на основании уравнений (4), эти коэффициенты пропорциональны составляющим Ар, Вд и Сг кинетического момента. [c.90]

Эта лоскость сохраняет постоянную ориентацию в пространстве, тан как она перпендикулярна к кинетическому моменту в силу свойства 1°, а кинетический момент не изменяется на основании теоремы моментов. Остается показать, что эта плоскость находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О, принятой за начало координат. Уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду (1) в точке /, имеет в текущих координатах т], вид [c.91]

В движении по Пуансо верчение постоянно, оно представляет собой проекцию вектора (О на направление кинетического момента. Итак, мгновенная угловая скорость со (постоянная по величине) имеет постоянные проекции на ось симметрии эллипсоида инерции и на ось кинетического момента. Следовательно, мгновенная ось вращения составляет постоянные уг.т с осью симметрии эллипсоида инерции и с осью кинетического момента, неподвижной в пространстве. Она описывает, таким образом, в теле конус вращения вокруг оси 02 и в [c.104]

Гироскопы, которые мы будем рассматривать далее, чаще всего в действительности представляют собой тела вращения, и потому мы будем предполагать, что все они обладают этим свойством. Тем не менее предыдущее замечание применяется ко многим другим телам, которые можно рассматривать как гироскопы. Соответствующая ось симметрии центрального эллипсоида инерции таких тел (называемая иначе осью кинетической симметрии) в динамическом отношении эквивалентна оси тел вращения. Мы не будем далее возвращаться к этому вопросу. [c.161]

Следовательно, вектор и будет изменяться таким образом, что соответствующая нормаль к эллипсоиду инерции будет параллельна вектору кинетического момента. Но в том частном случае, который мы здесь рассматриваем, направление вектора L остается неизменным, и поэтому эллипсоид инерции (жестко связанный с телом) должен двигаться в пространстве таким образом, чтобы сохранялась эта связь между < и L (рис. 54). [c.182]

Рассмотренную только что форму движения симметричного волчка можно было бы описать короче (хотя, быть может, менее наглядно). Для этого через конец вектора N момента импульса проводим перпендикулярно к нему неизменяемую плоскость i (ср. стр. 99) и строим эллипсоид кинетической энергии с центром в начале вектора N, подобный эллипсоиду инерции и касающийся плоскости Е. Точка касания является концом вектора угловой скорости вращения и). Мгновенное движение волчка состоит во вращении этого эллипсоида вокруг и). При этом эллипсоид катится без скольжения по плоскости . Если эллипсоид обладает симметрией вращения, то кривая качения будет окружностью, описанной вокруг вектора N поэтому конус, описанный вектором о , равно как и конус, описанный осью фигуры, будет круговым конусом. Таким образом, мы снова пришли к регулярной прецессии симметричного волчка. [c.181]

Случай кинетической симметрии. Раньше, чем исследовать обш,ий случай, мы рассмотрим очень важный случай, когда два из главных моментов инерции, относящихся к центру вращения О, равны, например, А = В эллипсоид инерции в таком случае является эллипсоидом вращения. Конусы полодии и герполодии в этом случае круглые и угловая скорость <о постоянна. Движение поэтому относится к типу, называемому прецессионным ( 29). [c.113]

Поэтому можно сказать, что кинетический момент К всегда перпендикулярен к диаметральной плоскости эллипсоида инерции, сопряженной с направлением угловой скорости w. [c.244]

Упражнение 1. Пусть известен эллипсоид инерции тела для неподвижной точки О и задана мгновенная угловая скорость v. Найти направление и модуль кинетического момента Ко тела относительно точки О. [c.155]

Сильвестр заметил, что если бы эллипсоид (13.14.1) представлял собой однородное твердое тело, свободно закрепленное в точке G, и катился бы по плоскости (О без воздействия на него сил (кроме реакций в точках G ж Р), то это качение происходило бы точно так же, как происходит качение эллипсоида, связанного со свободно движущимся телом (если, конечно, в обоих случаях одна и та же начальная угловая скорость). Система имеет только одну степень свободы, и нам остается показать, что когда твердый эллипсоид, закрепленный в центре, катится по шероховатой плоскости, со пропорционально г. Если массу эллипсоида обозначить через М, а полуоси его — через а. Ъ. с, то кинетическая энергия будет иметь следующее выражение [c.240]

Действительно, это — эллипсоид вследствие положительной определенности кинетической энергии.) Если в ОДС рассматривается одна частица, движущаяся в пространстве, то является поверхностью вращения, а Su — сферой. [c.234]

Наконец, если все три главных центральных момента инерции тела равны между собой, т. е. центральным эллипсоидом инерции служит шар, тогда кинетическая энергия содержит лишь две постоянных и имеет вид [c.496]

Ввиду произвольности расположения конца вектора й р на поверхности эллипсоида (46.10), полученное выражение может считаться дифференциальным уравнением касательной плоскости, проведённой к эллипсоиду в точке его встречи с мгновенною осью. Как видим, эта плоскость действительно перпендикулярна к кинетическому моменту. [c.510]

В 259 было установлено, что касательная плоскость, проведённая к эллипсоиду в точке перпендикулярна к кинетическому моменту О и отстоит от точки опоры О на расстоянии [c.525]

Направим оси OS и On по осям эллипса, который. получается от пересечения эллипсоида инерции плоскостью, проходящей через неподвижную точку О и перпендикулярной к оси ОС, тогда кинетическая энергия Т тела представится так [c.594]

Гироскопический момент L совпадает с гироскопическим моментом, полученным по приближенной теории. Гироскопический MOMejn L" является поправкой к гироскопическому моменту L в случае точного вычисления кинетического момента при регулярной прецессии. Момент L" равен пулю, если Л = Л ( эллипсоид инерции является шаром), и при 0 = 90, т. е. когда ось гироскопа перпендикулярна оси прецессии. [c.520]

При сравнении выражений (126.21) п (126.32) видно, что os а. и os 02 равАЫ, если Л = С--=В. Это соответствует случаю, когда эллипсоид инерции в точке О вырождается в сферу. В этом случае вектор кинетического момента Ко направлен вдоль вектора мгновенной угловой скорости. Если отсутствует прецессия (г зо = 0), то, как следует из формул (126.31), вектор Ко направлен вдоль вектора угловой скорости О) и определяется формулой [c.192]

Если кинетическая энергия абсолютно твердого тела сохраняет постоянную величину, то конец вектора мгновенной угловой скорости с началом в неподвижной точке движется по поверхности эллипсоида, определенного уравнением (I. 106Ь). Этот эллин- [c.90]

Основная формула nijso Koniiii. Твердое тело, движущееся вокруг фиксированной в нем точки, для которой эллипсоид инерции тела является эллипсоидом вращения, называют гироскопом. В н. 100 мы видели, что если момент внешних сил относительно неподвижной точки О равен нулю, то гироскоп совершает регулярную нрецессню вокруг неизменного кинетического момента Ко. [c.172]

Но кинетическая энергия Т и кинетический момент L являются некоторыми константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная плоскость будет отстоять от центра эллипсоида инерции на постоянном расстоянии. Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль L и, следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является неподвижной. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвижной плоскости центр эллипсоида инерции находится при этом в фиксированной точке прострайства. Это качение происходит без скольжения, так как точка касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором р, который направлен по мгновенной оси вращения, т. е. по той пря- [c.182]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Если А = В=С, то эллипсоид инерции есть шар. Все проходящие через О оси являются тогда главными, а момент инерции один и тот же для всех этих осей. Система, как говорят, кинетически симметрична" относительно точки О. [c.66]

Если два главных момента равны, например А = В, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения околб оси Oz говорят, что система имеет кинетическую симметрию около этой оси. Все перпендикулярные к оси диаметры являются главными осями ). [c.66]

Прежде всего заметим, что кинетическое условие того, что отношение 77<о не должно зависеть от величины угловой скорости и направления мгновенной оси тела, означает, что эллипсоид инерции относительно точки О сводится к шару. Таким образом, мы прямо переходим к вопросу чистой геометрии масс. Для того чтобы существовала такая точка, необходимо и достаточно, чтобы центральный эллипсоид инерции был сплюснутым эллипсоидом вращения. В этом случае существуют две точки О, обе лежа цие на оси симметрии эллипсоида на расстоянии с от центра тяжести, связанном с полйой массой тис главными моментами инерции (экваториальным и полярным) Л и С соотношением [c.251]

Посмотрим теперь, каково взаимное расположение кинетического момента тела относительно его. неподвижной точки О и эллипсоида инерции, построенного для этой точки. Покажем, что кинетический момент 0 nepfieHAH-кулярен к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке Я, его встречи с мгновенной осью вращения (фиг. 138). Согласно формуле (26.9) на стр. 275 радиус-вектор р точки по модулю равен / [c.510]

Условия, при которых весомое твёрдое тело совершает гессово движение. Положим, что все три момента инерции твёрдого тела для точки опоры не равны между собой, а центр масс тёла лежит на перпендикуляре, восставленном из точки опоры к одному из круговых сечений гирационного эллипсоида. Тогда, если, кроме того, начальный кинетический момент тела лежит в плоскости выше названного кру-гового сечения, то рассматриваемое весомое твёрдое тело будет совершать движение, указанное Гессом ). [c.576]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...