Интегралы от произведений функци

Способ вычисления интегралов от произведения функций, из которых одна линейна, иногда называют способом перемножения эпюр. Его предложил в 1925 г. студент Московского института инженеров транспорта А. Верещагин. Этот способ получил широкое распространение и известен сейчас каждому инженеру, изучившему курс сопротивления материалов. [c.101]

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ ф, И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПО ПЕРЕМЕННОЙ I [c.382]

Чтобы найти коэффициенты ряда, умножим обе части (3.8) на одну из функций (3.6) и проинтегрируем в пределах от — а до а по д и от — й до 6 по у. В этом случае, используя (3.7) и учитывая, что все другие двойные интегралы от произведений функций (3.6) обращаются в нуль, находим [c.181]

Входящие в это выражение определенные интегралы от произведения функций Бесселя и Хевисайда запишем следующим образом [c.370]

При вычислении интеграла от произведения функций в знаменателе (52.27) видим, что интегралы от первых двух членов (52.29) равны друг другу. Если функции Ч (1) и Ч 2) нормированы на 1, то сумма этих двух членов равна 2. Интегралы от функций, стоящих в квадратных скоб- [c.277]

Если считать, что сечение каждого из стержней вдоль его оси не меняется, то под интегралами, входящими в формулы (15.86), (15.87), имеем произведения двух функций например, первый интеграл берется от произведения функций М / и /И -р [c.506]

Соотношения ортогональности для нормальных волн. При исследовании статики и динамики полосы многие авторы отмечали, что нормальные волны не ортогональны в обычном смысле. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегралы от —Н до Н от произведения функций, описывающих смещения и поворот полосы но поперечной координате для различных нормальных волн, рассмотренных выше, не равняются нулю. Даже в шарнирно опертой полосе нормальные волны не образуют ортогональной системы, так как волны с номерами 2и и 2 — 1 имеют одинаковое распределение смещений по поперечному сечению полосы (см. (6,56) и (6.58)). Это обстоятельство не дает возможности прямо вычислять коэффициенты разложения в ряды но нормальным волнам и затрудняет решение задач на вынужденные колебания. [c.201]

ДЛЯ линейной и поверхностной областей интегрирования соответственно. Детальное описание подобных квадратурных формул можно найти в приложении В. Ясно, что перед их использованием для вычисления интегралов от произведений ядер на базисные функции соответствующие граничные элементы необходимо преобразовать в канонические с единичными пределами интегрирования. [c.417]

В силу того, что интегралы от произведения рассматриваемых тригонометрических функций отличны от нуля только при квадратичных членах, имеем [c.54]

Мы можем на данной стадии исследования с полным правом утверждать, что любой интеграл произведения двух функций исчезает поэтому вычисления, проведенные в следующем параграфе, есть не более, как проверка этого положения. Однако это вычисление необходимо для определения значения интегралов от квадратов функций. [c.283]

Точно так же, как и для сосредоточенных сил, этот метод может быть использован в случае распределенных нагрузок, однако с практической точки зрения так поступать не особенно удобно. Определение возможной работы, совершаемой распределенной нагрузкой [см. выражение (у)], приводит к необходимости вычислять интегралы от произведения интенсивности нагрузки на каждую нормальную функцию по длине стержня. Эти интегралы с функцией нагрузки аналогичны тем интегралам с функцией перемещения, для которых выше указывалось на нежелательность интегрирования. Однако в большинстве случаев более просто вычислить интеграл с функцией нагрузки, чем с функцией перемещения. [c.386]

Используя формулу (19), легко вычислить нормировку обобщенных сферических функций и другие интегралы от их произведения [c.227]

Допустим, что жесткости стержней на отдельных прямолинейных участках постоянны. Тогда при вычислении интеграла Мора жесткость (на растяжение, кручение — все равно...) выходит за знак интеграла, а под интегралом остается произведение двух функций. Например, функции изгибающего момента от заданных сил и функции изгибающего момента от единичного воздействия. Первая из этих функций в общем случае может быть любой, а вот что касается второй, то на прямолинейных участках стержня она остается линейной. Таким образом получается, что на участке аЬ (рис. 80) нам необходимо [c.99]

Функция I аВ) характеризует поле излучения на дефекте, а I (Вс) — поле приема (по А я С интегрирование уже выполнено). Интеграл от произведения этих двух функций определяет суммарное экранирование поля всей площадью дефекта Sf,. Если дефект находится посредине между излучателем и приемником, то I (аВ) = I (Вс) и интеграл в (2.15) идентичен (но с обратным знаком) интегралу,получаемому при вычислении амплитуды эхо-сигнала от дефекта при контроле совмещенным преобразователем. Таким образом, возмущение поля позади экрана р" равно возмущению поля перед экраном, т. е. отраженной волне р. Это положение называется принципом Бабине. Однако было бы неправильно понимать его так, что общее значение поля перед экраном и позади него совершенно одинаковы. Отраженная волна ни с чем не интерферирует, и амплитуда сигнала равна Р, а возмущение позади экрана интерферирует с падающей волной, что вызывает существенные различия и Р. Абсолютное значение разности ] Рд — р" I нельзя считать равным разности Рс I — р" I- Для общего случая можно записать [c.114]

Принимая во внимание, что и г) , а также и являются определенными функциями от у и 2 и не зависят от tp, почему вариации интегралов от их произведений будут равны нулю, получим [c.396]

Для построения аналитического решения задачи необходимо предварительно вычислить несколько интегралов. Неопределенный интеграл от произведения этой функции на гиперболический косинус приводится к виду [c.156]

Тензор напряжений можно записать в более простой форме, если нас интересуют не сами по себе динамические переменные, а интегралы от их произведений на функции, мало меняющиеся на расстояниях порядка эффективного радиуса взаимодействия. Предполагая, что в дальнейшем выражение (8.2.11) будет использоваться именно таким образом, можно в дельта-функции положить 5 = 0, после чего получаем [c.164]

Исходя из свойств интеграла Фурье, тем же путем можно показать, что существует и взаимная теорема интеграл Фурье от произведения двух функций есть свертка интегралов Фурье каждой из них [c.32]

Режимы рассеяния. Одним из начальных условий процесса рассеяния является амплитуда вероятности /(ж) поперечной координаты атома. Согласно (19.23), амплитуды вероятности и Зп обнаружить импульс р являются преобразованиями Фурье произведения начальной пространственной амплитуды /(ж) и тригонометрических функций от модовой функции 8ш кх) электромагнитного поля. Поэтому следует различать два характерных случая для этих интегралов Фурье 1) начальное пространственное распределение f x) атомов является широким по сравнению с периодом стоячей волны, либо 2) пространственное распределение узкое. [c.622]

Это соотношение известно как теорема свертки для преобразования Фурье от произведения двух функций. Следует иметь в виду, что между интегралом свертки и конечным корреляционным интегралом имеется различие [3]. В интеграле свертки одна из функций свернута и затем смещена. Для временных фильтров, например, где должно быть выполнено условие физической осуществимости, это весьма существенное обстоятельство. Но в оптике во многих случаях функции оказываются симметричными, и поэтому указанное различие не играет роли. [c.234]

V (а) для функций V от одной переменной. Пользуясь этой формулой, можно доказать ряд других формул Грина, которые в сущности, выражают определённые линейные комбинации интегралов по О через комбинации поверхностных интегралов по дQ. Так например, заменяя в основной формуле Грина функцию-и произведением функций и и V, получаем другую хорошо известную формулу [c.70]

Иной способ определения этих перемещений заключается в использовании табл 11.1, где приведены значения интегралов от произведения функций. Эпюра изгибающих моме1 тов для нагрузки д представляет собой квадратичную параболу на участке длиной а (рис. 11.6, й). Для того же самого участка балки эпюра изгибающих моментов, создаваемых единичными нагрузками, представляет собой соответственно трапецию и прямоугольник (рис. И.6,е и 11.5,/), Взяв из табл. 11.1 данные для параболы и трапеции, получиь следующее значение интеграла от произаедения двух функций [c.436]

Результаты предыдущей главы имеют много физических применений. Очевидно, что классификация собственных векторов по симметрии является полезной сама по себе. Затем свойства симметрии собственных векторов можно использовать в разного рода тензорных вычислениях аналогично более известному квантовомеханическому случаю, который будет обсуждаться ниже в гл. 11, где нужно вычислить матричные элементы, являющиеся интегралами от произведений функций. В классической динамике решетки реализуется похожая ситуация. В ней при определении свертки оператора с собственными векторами возникают величины, напоминающие матричные элементы. Такая свертка похожа на скалярное произведение, и получаются соотношения, напоминающие формулу Вигнера — Экарта. Такое рассмотрение допускает максимальное использование симметрии, в частности если имеются в распоряжении соответствующие коэффициенты Клебша — Гордана. Как следует из 18, 60 и т. 2, 16, коэффициенты Клебша — Гордана для пространственных групп стали публиковаться только в последнее время, но можно надеяться, что они будут вычислены в большом количестве в ближайшем будущем,- Использование тензорного анализа упрощает расчеты такого рода и показывает, что рассматриваемые метричные элементы можно представить в виде произведений приведенных матричных элементов на множители, полностью определяемые симметрией. [c.298]

Образуя вакуумное среднее от (2.64) и суммируя в ее правой части по полным наборам промежуточных in-состояний, мы получим выражение для функции через интегралы от произведений функций г. Предполагая, что для функции 7справедливо свойство В теоремы 2.1, с помощью полученного выражения можно установить, что функция также обладает свойством В. [c.36]

Рассеянное иоле (в приближепии однократного рассеяния, которое мы здесь рассматриваем) яв. яется интегралом от произведения детерминированной функции и случайной функции б1 (г ). Размеры рассеивающего объема значительно превосходят радиус корреляции флуктуаций ех. В этом случае закон распределения рассеянного поля близок к нормальному в силу предельной теоремы теории вероятностей ). Более того, можно считать, что случайное ноле Е,(г) является гауссовским. [c.189]

Легко показать, что автокорреляционная функция мнимой части также определяется выражением (13.72). Применение и Rr ограничено интегралом от произведения этих функций и огибающей узкополосного сигнала. Следовательно, характер функции sine в уравнении (13.72) приблизительно соответствует импульсу, и можно выразить в виде [c.356]

Пусть эти системы образуют произведение (см. рис. 24). Так как преобразование Фурье от произведения двух функций равно интегралу свертки Фурьеобразов этих функций, то с пектр сигнала на выходе такой системы [c.104]

В каждый из интегралов Мора (5.8) входит произведение функций MxpMxi, Му рМ х и т.д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр проводится одинаково, независимо от того, построены эти эпюры для изгибающих и крутящих моментов и нормальных и поперечных сил. Разница заключается лишь в том, что результат перемножения делится не на жесткость EJ, как при изгибе, а на жесткость iJJ, если речь идет о кручении, или на EF или GF - при растяжении и сдвиге. [c.245]

Таким образом, дополнительный перепад давления равен интегралу по контуру от произведения интегрального возмугцения поверхности на контурную функцию, определяемую геометрией [c.380]

Безразмерная избыточная температура представляет собой частное от деления временного интеграла ва соответствующий безразмерный импульс. В подынтегральные выражения входят либо произведения функций, либо произведения функций и геомет- шческих интегралов, причем оба соивохителя зависят от безразмерного времени. В общем случае подынтегральные выражения описываются выражениями (4.у0У) - (4,/7/), а временные интегралы, т выражениями k./z ) - [c.356]

Соотношение (8.9) представляет собой сумму интегралов Фурье от произведения двух функций — комплексной амплитуды света в плоскости входного зрачка и функции пропускания входюго зрачка, причем смещенное поле в плоскости зрачка имеет поперечный сдвиг по отношению к исходному. [c.191]

Вьшося постоянные множители и учитывая, гго пределы являются постоянными, а подынтегральная функция представляет собой сумму двух произведений функций, зависящих только от одной из переменных, можем записать тройной интеграл в виде суммы произведения интегралов [c.183]

Ясно, что понятия работы и тепла относятся к процессу передачи движения. До нревраш,ения энергии системы (Е) в другие виды движения в ней не было никакой работы и никакого тепла. Когда (Е) совершила работу, ее движение частью превратилось во внешнее механическое движение, а каким ее движение было до этого — никакого значения не имеет. Аналогично, если (Е) передала наружу тепло, то ее движение отчасти превратилось в скрытое движение внешних систем. Поэтому, хотя мы и пишем dA и dQ никаких величин Л ш Q не суш,ествует и обозначения dA и dQ, в суш,ности, неправильны. Интегралы от этих дифференциалов зависят от процесса, при котором движение системы нревраш,ается во внешнее движение. Когда идет определенный процесс, можно говорить о работе и тепле, произведенных с начала процесса до момента времени t, т. е. можно говорить о функциях времени A t) и Q t). Но для этого нужно знать, как менялось состояние всех участвуюш,их в процессе систем с течением времени. Знание состояния системы (Е) в момент t ничего не говорит о виде функций A t) и Q t). [c.22]

От ЛИШНИХ стационарных точек можно избавиться, прибавляя к функционалу интегралы от квадратов (или перекрестных произведений, если граничные условия парные) левых частей граничных условий, естественных для функционала. Исключение составляет случай, когда допустимые функции удовлетворяют уравнению во всем объеме V. В этом случае свойством достаточности обладают функционалы, представляющие собой просто сумму интегралов (с произвольными весовыми коэффициентами) от квадратов левых частей всех граничных условий, которым допустимые функции не удовлетворяют. Для самосопряженных задач эти же функционалы возникают в методе наименьших квадратов. Применение метода Ритца к таким функционалам приводит к матрицам с попарно близкими (сливающимися в пределе) собственными значениями. [c.183]

Сначала во втором интеграле представим произведение двух роторов от модовых функций в виде [c.304]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...