Уравнение динамики относительного в обобщенных координатах

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Для получения уравнения замкнутой системы управления нужно продифференцировать уравнение динамики (5.38) и подставить в полученное выражение (5.42). В результате получим нелинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно вектора обобщенных координат q = (Qi,. .., qmV Анализ этого уравнения показывает, что подбором постоянной времени ТГ, передаточного числа редуктора и коэффициентов передачи основных элементов системы управления, изображенной на рис. 5,14, можно обеспечить лишь устойчивость ПД qp (() в малом, т. е, при достаточно малых начальных возмущениях. Такая система программного управления весьма чувствительна к сколько-нибудь значительным параметрическим возмущениям, что отрицательно сказывается на характере переходных процессов (ухудшаются точность и быстродействие). Другим существенным недостатком этой системы является взаимное влияние каналов локального сервоуправления ввиду того, что все приводы работают на общую нагрузку. [c.164]

Вместо сочетания некоторых общих теорем и уравнений динамики, выбор которых представляет значительные трудности, применение уравнений Лагранжа является обшим приемом, который приводит к составлению дифференциальных уравнений движения. Удачный выбор обобщенных координат обеспечивает относительную простоту составления этих уравнений. Удобно и то, что в составленные дифференциальные уравнения движения не входят реакции идеальных связей, определение которых обычно связано с большими трудностями (реакции связей при движении системы являются функциями от времени, положения, скоростей и ускорений точек системы).. [c.581]

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Теперь исходную задачу 2.1 естественно решать как обратную задачу динамики. Принципиальная схема решения следующая. Результатами исследования вспомогательной задачи 2.2 являются соотношения для определения оптимальных обобщенных импульсов цилиндра, т. е. его угловой скорости вращения и и линейной скорости перемещения точки захвата V в терминах обобщенных координат. Эти соотношения, во-первых, позволяют найти оптимальные программы изменения обобщенных координат цилиндра ср, поскольку они есть ни что иное, как дифференциальные уравнения относительно текущих координат (р, С Во-вторых, дифференцирование обсуждаемых соотношений по времени приводит к формулам для обобщенных ускорений цилиндра а , V также в терминах координат ср, С Таким образом, ситуация уникальна — нет необходимости в применении некорректной операции численного дифференцирования, столь [c.120]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Наглядным примером движения, к теоретическому изучению которого мы приступаем, может служить монета, пущенная по столу, или круглый обруч, катящийся по горизонтальной площадке. Опыт говорит о том, что пока монета или обруч быстро катятся, они обнаруживают удивительную устойчивость, совсем не свойственную им в спокойном состоянии. Поэтому одной из задач теоретического исследования является изучение устойчивости качения диска и зависимости этой устойчивости от параметров. Таким образом, задача сводится к изучению динамики качения диска по плоскости. Для того чтобы при написании уравнений движения диска сразу же исключить из рассмотрения реакции связей опорной плоскости, воспользуемся законом изменения момента количеств движения диска относительно его точки опоры. Диск имеет три степени свободы, поэтому вышеупомянутый закон вместе с уравнениями кинематических связей даст полную систему динамических уравнений. Положение диска на плоскости можно определить, как и в 1 гл. I, пятью обобщенными координатами х, у, ф, ф, Э. [c.58]

В механике систем с конечным числом степеней свободы, равным N, метод Гамильтона состоит в замене уравнений Лагранжа второго рода, которые являются системой N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными обобщенными координатами, системой 2Л обыкновенных уравнений первого порядка с неизвестными обобщенными координатами и обобщенными импульсами [40]. Метод составления этих уравнений позволяет разрешить их относительно производных искомых функций, в связи с чем они получили название канонических уравнений динамики. [c.90]

Данное пособие состоит из двух глав и приложения. В первой главе изложены методики, приведены примеры и программы получения с помощью системы аналитических вычислений REDU E, а также численных методов основных уравнений аналитической динамики (уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др.). Рассмотрена задача вывода уравнений Эйлера - Лагранжа с использованием общих теорем динамики, а также уравнений относительного движения в обобщенных координатах. [c.3]

Но для нахождения обобщенных координат с ,- системы необходимо иметь дифференциальные уравнения движения относительно о.. В аналитической динамике выводятся правила составления таких дифференциальных уравнений, если известны силы, действующие на точки системы. Следует учитывать, что каищой совокупности зиа- [c.323]

В некоторых практических задачах в механизме с двумя степенями свободы бывает известен закон изменения одной из обобщенных координат и потому он не зависит от динамики рассматриваемой системы. Бывает и так, что одну из обобщенных координат с достаточной для практики точностью можно принять изменяющейся с течением времени по линейному закону. Хотя положение такой системы и определяется двумя обобщенными координатами, тем не менее уравнений динамики будет только одно, потому что вторая обобщенная координата имеет уже предписанный закон изменения и уравнение относительно этой координаты будет следствием первого уравнения системы. Дифференциальное уравнение такой системы можно получить из уравнений (174). Предполагая, что Ш4 = onst, получим [c.157]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...