Производная векторной величины

Таким образом, скорость точки в данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от радиуса-вектора точки [c.63]

Таким образом, ускорение точки в данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. [c.68]

При изучении курса физики установлены основные понятия кинематики точки и твердых тел. При движении точки по траектории скорость и ускорение точки рассматриваются как векторные величины. При этом вектор скорости V направлен по касательной к траектории, и его модуль (числовое значение) равен первой производной от пути по времени v = ds вектора скорости по времени а = с1 и/с1/. Он может быть разложен на две составляющие вектор касательного ускорения а , направленный по касательной к траектории и равный по модулю а = dv di и вектор нормального ускорения направленный по главной нормали к траектории в данной точке в сторону вогнутости кривой и имеющий модуль а, == у-/р, где р — радиус кривизны траектории. Модуль вектора ускорения а = ] а + я- [c.28]

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной [c.147]

Продифференцируем по времени обе части этого равенства, учитывая изменения векторных величин относительно неподвижной системы координат (полные производные). Получаем [c.146]

Итак, скорость — векторная величина, равная первой производной от вектора перемещения по времени. [c.15]

Заметим, что индивидуальная производная по времени может быть взята не только от скорости или других векторных величин, но и от скалярных величин, таких, как температура, плотность, концентрация и др. Тогда в общем случае индивидуальную производную можно представить в виде [c.38]

Производная температуры по нормали к изотермической поверхности называется температурным градиентом. градиент—векторная величина, направленная по нормали к изотерме в сторону увеличения температуры. [c.150]

Переходя к векторным величинам и повторяя те же рассуждения, находим выражение для- частной производной [c.109]

Количеством движения массы, как известно из общей механики, называется произведение массы на скорость (количество движения есть векторная величина и имеет, как и всякий вектор, три составляющих). Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения во времени, т. е. его производная по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе. Согласно теореме о моменте количества движения производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к массе. Применяя эти теоремы к системе материальных точек, необходимо иметь в виду ( 2 гл. I), что внутренние силы, действующие внутри механической системы, при суммировании по всем массам системы на основании закона о равенстве действия и противодействия взаимно уничтожаются и что остаются только силы, обусловленные массами, не принадлежащими к системе, т.е. внешние силы. [c.113]

Ковариантное дифференцирование. Если некоторое соотношение, содержащее тензорные величины, справедливо в какой-нибудь одной координатной карте, то оно справедливо во всех координатных картах. Рассмотрим производную векторного поля = дА /д( . Поскольку А д) = дд /дд° )А (д), то [c.131]

Очевидно, приведенные соображения справедливы для исчисления производной по времени от любой механической или физической переменной, характеризующей текущую среду, например, от плотности, давления, концентрации растворенного или взвешенного вещества, скорости, количества движения и т. п. Нужно только иметь в виду, что если субстанциальная производная берется от векторной величины, описываемой в проекциях на некоторые оси координат, то ее надлежит исчислять для каждой проекции в отдельности. [c.66]

Покажем, что установленное нами в конце 81 понятие скорости движущейся точки как векторной величины самым тесным образом связано с понятием векторной производной. [c.157]

Примеры производных от векторных величин см. А1.2, А1.3, А2.2,03.7. [c.273]

Аналогично формуле (1.5) можно написать формулы для определения полной производной по времени проекций любой векторной величины, заданной в переменных Эйлера. Например, ускорение частицы сплошной среды в проекциях на оси декартовой системы координат имеет вид [c.7]

В произвольной криволинейной системе координат векторы базиса Ri переменны. Поэтому выражение для частной производной для векторной величины и имеет вид [c.16]

Здесь проекции вектора мгновенных скоростей, как и признаки существования компонентов, не обязательно должны быть непрерывными функциями пространственных координат и времени. Дифференциальное уравнение переноса массы можно получить из интегрального равенства (63). При этом для обеспечения непрерывности входящих в равенство скалярных и векторных величин и их производных по пространственным координатам и времени произведем операцию осреднения, а затем совершим переход к бесконечно малому объему. [c.410]

По формуле (3) вычисляют полные, или субстанциальные, производные по времени в переменных Эйлера от любых векторных или скалярных величин, характеризующих сплошную среду. Пусть, например, известно скалярное поле плотностей р х, у, г, t) сплошной среды. Рассуждения, аналогичные приведенным при выводе формулы для ускорения, приведут к полной производной от р по времени t [c.211]

Найдем прежде всего т. По определению векторной производной вектор г1<1а направлен по касательной к годографу вектора г в сторону возрастающих о. С другой стороны, численная величина производной равна [c.185]

Для определения единичных векторов координатных осей вспомним, что координатная ось [< ,] направлена по касательной к координатной линии ( ,), соответствующей возрастанию координаты q . На основании известного свойства векторной производной можно утверждать, что единичный вектор fe, имеет направление вектора dr/dq . Если эту производную разделить на ее численную величину [c.197]

Так как в методе Эйлера векторные и скалярные величины зависят от текущих координат частицы, то полная производная по времени, например скорости v, равна [c.232]

Введем обозначения производных от векторных величин при рассмотрении их изменения от1юсительно различных систем огсчега, движущихся друг относительно друга. Для любого вектора h t) его производную по времени по отношению к не1юдвижной системе отсчета называют полной (или абсолютной) производной и обозначают d6/df. Производную по времени при учете изменения вектора Ь относительно подвижной системы отсчета называют относительной (или локальной) производной и обозначают db/d/ или (Ahjdt) . [c.195]

Если определено поле скалярной или векторной величины в эйлеровом пространстве, т. е. = (л , t), то частная производная дФ" (х, t) дt даст скорость изменения в фиксированной геометрической точке пространства х. Скорость же изменения для физической частицы, в момент I находящейся в точке лс, определяется субстанциональной (полной) производной по времени [c.66]

Г. Переходим к рассмотрению вопроса об определении угловых скоростей и ускорений звеньев механизма (рис. 8.17). При определении этих векторных величин считается известным движение каждого звена к по отношению к предыдущему к— 1. В рассматриваемой нами цепи (рис. 8.17) эти движения определяют производные относительных угловых скоростей и ускорений ф, и Ф. 4-1 к= 1, 2,. .., 6) (это производные по времени от обобщенных координат = = й-1 цепи, и поэтому их можно называть еще обобщенньши скоростями и ускорениями, или их аналогами). [c.191]

УСКОРЕНИЕ — векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости точки но его численному значению и ио нанраилонию. Вектор У. ю равен первой производной от вектора скорости г но времени ю = оп направлен в сторону вогнутости траектории точки и ле-.кит в со-нрикасающе11ся плоскости. [c.271]

Для производных от векторных величин и их комбинаций выполняются ставдартвые правила дифференцирования [c.273]

Если определено поле скалярной или векторной величины 13 эйлеровом. пространстве, т. г. = х, 1), то частная производная [c.59]

Величина, стоящая в последнем выражении в скобках, обозначается V/Ш и называется ковариашпной производной контравариантных компонентов векторного поля а (х) [c.322]

Но выражения для потоков могут содержать в себе также и члены с производными скорости. С помощью производных первого порядка, dvildxk, можно образовать лишь тензорные величины это — вязкий тензор напряжений, входящий в состав тензора плотности потока импульса. Величины же векторного характера можно составить из производных второго порядка. Так, в векторе плотности диффузионного потока появятся члены [c.328]

Формулы (8.6) и (8.10) определяют алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения. Можно доказать, что угловая скорость и- угловое ускорение являются величинами векторными (рис. 1.104). Вращательное движение твердого тела в данный момент времени определяется вектором угловой скорости (й и вектором углового ускорения е. Вектор о направлен по оси вращения таким обррзом, что с его конца направление вращения наблюдается против движения часовой стрелки. Модуль этого вектора равен модулю производной угла поворота по времени 1 фМ I. Вектор углового ускорения е, так же как и ш, направлен по оси вращения. Если вращение ускоренное, то направления 0) и е совпадают, если замедленное — противоположны. Модуль вектора е равен модулю производной от угловой скорости по времени или модулю второй производной от угла поворота [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...