Синус эллиптический

Функция sn и (синус-амплитуда и) представляет собой так назы-ваемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (27), н = / Л то, переходя в равенстве (30) от а к ф [c.412]

Так как sin ф и os ф имеют период 2я по ф, то согласно (13) и (14), эллиптические синус и косинус имеют по и период, рав-пый АК к). [c.153]

Из (9) найдем w =p l—w ) l—k w). Решением этого уравнения является эллиптический синус w t)=sn pt k), следовательно. [c.227]

Надо отметить, что окончательные расчетные зависимости, полученные Н. Н. Павловским методом математической теории фильтрации, оказались настолько сложными, что пользоваться ими в практической обстановке, как правило, не представляется возможным (в эти з висимости входят различные специальные функции эллиптические интегралы, эллиптические синусы и т. п.). Громадное большинство практически важных задач вообще не может быть решено до конца методами математической гидромеханики, в связи со слишком большими трудностями, встречающимися при таком решении. [c.590]

Входящие в (1.26) - (1.28) выражения для dGi/d/Vj, Gj и G3 в случае трехмерного, плоскопараллельного или осесимметричного распределения потенциала на плоской поверхности приведены в табл. 1.11, где Е и К полные эллиптические интегралы первого и второго рода si и i - интегральные синус и косинус, а индексами 1 и 2 обозначены координаты точек Ml и Л 2. [c.35]

Если предположить, что первоначальная орбита была круговой, а орбита, измененная под действием взрыва, стала эллиптической, но мало отличающейся от круга и слабо наклоненной к плоскости первоначальной орбиты, и если принять в расчет лишь первые степени эксцентриситета Е и синуса наклонения 7, то мы будем иметь [c.87]

Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]

Функции 2 = sn u, к) эллиптический синус) и z = сп и, к) (эллиптический косинус) определяются так [c.185]

Мы имеем прежде всего тригонометрические, показательные и гиперболические функции. Это — функции, к которым мы обраш,аемся повседневно. Далее идут такн<е широко применяемые в механике функции Бесселя и их различные модификации Ьег х, bei х, кег х, kei х и др. При решении некоторых задач приходится иметь дело с таблицами эллиптических интегралов, таблицами эллиптических функций, сферических функций, с таблицами интегрального синуса и т. д. [c.152]

Постоянная С4 найдена из условия при г=а величина 5 = 0. Обращая эллиптический интеграл, выразим sin 9 через эллиптический синус [c.67]

Классический случай Лагранжа движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки имеет место, когда восстанавливающий момент Ма пропорционален синусу пространственного угла атаки (углу нутации). Общее решение для угла нутации известно и выражается через эллиптические функции Якоби [38]. Для висячего волчка Лагранжа это решение представлено в [2. [c.53]

Перейдем теперь к анализу возмущения. В рассматриваемой задаче функция g — это координата х, представленная как функция (р с помощью соотношения (2.2). Для системы Дуффинга обращение интеграла (2.2) приводит к выводу, что X — это эллиптический синус Якоби с точностью до несущественного постоянного множителя. Воспользуемся классической формулой [c.240]

Для того чтобы представить интеграл в терминах эллиптического синуса, произведем в (1) замену переменных х = х- — (жх — Х2) и -Тогда имеем [c.32]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения х = /(ж) с начальным условием ж(0) = 0. Вводя фазовое ж, р-пространство и гамильтониан Н = р /(ж), мы получим возможность использовать методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби ж = 8п ( , к) — эллиптический синус. [c.450]

В главе XI было показано, что в этом случае коордииаты и составляющие скорости (а также любые другие переменные величины эллиптического движения) разложимы в тригонометрические ряды, расположенные по синусам и косинусам кратных средней аномалии М , абсолютно сходящиеся для всякого момента времени, если е,<ё = 0,6627.. . и не абсолютно (или условно) сходящиеся, если < 1. [c.658]

Уточним теперь зависимость величин М ] от времени 1, для чего нужно опять обратиться к формулам (13.3 ), определяющим величины Так как мы предполагаем, что движение каждой из точек принадлежит к эллиптическому типу, то координаты каждой из этих точек являются периодическими функциями от своей средней аномалии и могут быть представлены в виде рядов Фурье, расположенных по синусам и косинусам кратных М . Следовательно, величина Яз] есть периодическая функция от двух средних аномалий и а поэтому может быть разложена в двойной ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам аргумента [c.664]

Исходными являются эмпирические значения многолетнего среднего движения Луны п, коэффициента главного эллиптического члена в долготе V , коэффициента главного члена в широте Pf. а также постоянного члена (sin/7x,)o в представлении синуса параллакса Луны. Эти значения определяются при анализе данных многолетних наблюдений. [c.456]

Здесь к — модуль эллиптического синуса. Величины Г[ ж к параметризую г две независимые константы нормированного гамильтониана XFZ-модели. Если записать его в виде [c.224]

Так как sin p и os< имеют период 2тг по ср, то согласно (13) и (15), эллиптические синус и косинус имеют по и период, равный 4К к). Функция дельта амплитуды z = dn(i/, к) определяется так [c.185]

Пользуясь специальными таблицами эллиптических интегралов, можно при различных значениях ас анализировать скорость пращения дебалансов как функцию от ф. Эллиптический интеграл можно приближенно представить в виде ряда. Считаясь с тем, что ас представляет собой величину значительно меньшую единицы, при исследовании можно ограничиться лишь несколькими первыми членами ряда, получая достаточно точные результаты. Раскладывая подинтегральное выражение в степенной ряд, мы получаем вместо степеней синуса синусы кратных углов. Если ограничиться числом членов ряда с наивысшеи [c.138]

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — отдельные классы функций, возникающих во многих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дпффоренц. ур-ний. В физике чаще всего встречаются гамма-функция (см. Эйлера интегралы), ортогональные полиномы, сферические функции, цилиндрические функции, гипергеометрические функции и вырожденные гипергеометрические функции, параболического цилиндра функции, интегральные синус и косинус, интеграл вероятности (см. Интегральные функции), Матъё функции, эллиптические функции и др. Все перечисленные ф-ции, за исключением гамма-функции, ф-ций Матьё и эллип-тич. ф-ций, являются решениями обыкновенного диф-ференц. ур-ния 2-го порядка [c.630]

Эллиптический синус — sn ( /а, k) конформно преобразует внешность указанной двоякопериодической системы разрезов плоскости на бесконечнолистную риманову поверхность w, разрезанную вдоль отрезка w , w ) действительной оси на всех листах [c.62]

Формула (13) показьшает нам, что момент сил, вращающих пластинку в стоячей звуковой волне, пропорционален квадрату наибольшей скорости колеблющегося воздуха, синусу двойного угла, образованного направлением колебания с малой осью эллиптического сечения пластинки, и квадрату фокусного расстояния этого сечения. Последнее обстоятельство приводит нас к любопытному заключению, что звуковая волна действует на все софокусные эллиптические пластинки одинаково. [c.711]

Обращение интеграла (11) является эллиптическим синусом Якоби с модулем к, т.е. ( = 8п и ,к). Возвращаясь к исходной переменной (с учётом тождества для функций Якоби и к) + спЦи к) = 1), имеем [c.201]

Уравнение (7.20) нелинейное, ибо неизвестная функция ф входит в него не линейно, а под знаком синуса его нельзя проинтегрировать до конца в элементарных функциях — его точное решение (приведенное в 165 учебника) выражается так называемыми эллиптическими функциями времени ). Ограничиваясь случаем малых колебаний, полагаем приближенна 81пф Ф и приходим к линейному уравнению ф + ф = 0. Такой метод, называемый методом линеаризации, позволяет заменить нелинейное дифференциальное уравнение линейным хотя при такой замене мы получаем не точное решение задачи, а приближенное, справедливое лишь при некоторых ограничениях, тем не менее этот метод весьма широко применяется в физике и в технике. В рассматриваемом случае нет особого смысла находить точное решение математической задачи — оно все равно не будет точным с физической точки зрения, ибо при составлении уравнения (7.20) мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и сопротивлением в подвесе маятника. [c.163]

Обратим теперь втгмание на следующее обстоятельство. Как показано, координаты эллиптического движеиия могут быть представлены Б виде рядов Фурье (т. е. рядов, расположенных ио синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии М), коэффициенты которых суть ряды с числовыми коэффициентами, расположенные по целым возрастаюи1,им степеням эксцентриситета орбиты е. [c.564]

Предположим сначала, что возмущающая сила не зависит явно от времени t и содержит простейшим образом (т. е. в виде множителя) некоторый малый параметр о. Тогда составляющие возмущающего ускорения будут функциями только от координат и составляющих скорости движущейся точки, имея множителем малый параметр о. Но координаты и составляющие скорости иевозмущенного эллиптического движения разложимы, как показано в гл. П, в ряды Фурье, расположенные по синусам и косинусам средней аномалии М. Поэтому таким же характером будут обладать и функции -Р, и уравнения (12.102) могут быть написаны для рассматриваемого случая в следующем общем виде [c.646]

Эти коэффициенты А и В в свою очередь могут быть разло-л<ены в степенные ряды, расположенные по целым положительным степеням эксцентриситетов и наклонностей. Действительно, из результатов гл. II прямо следует, что коэффициенты рядов Фурье, представляющих величины эллиптического движения, суть ряды, расположенные по степеням эксцентриситета эллиптической орбиты. Кроме того, координаты эллиптического движения содержат либо косинус, либо синус наклонности, а поэтому упомянутые координаты разлагаются в ряды по степеням наклонности. Таким образом, функция Rsj может быть разложена в четырехкратный ряд, расположенный по степеням эксцентриси тетов и наклонностей двух орбит точек М и Му Следовательно, и всякая из величин s ] также разложима в ряд такого же характера, а значит, коэффициенты Л и в формуле [c.665]

Будем рассматривать, как основные переменные, элементы Пуанкаре (13.60) и предположим для простоты, что возмущающая функция / не зависит от времени. Тогда, если движение рассматриваемой точки принадлежит к эллиптическому типу, то Я, как это уже неоднократно отмечалось, будет периодической функцией от средней аномалии I, или от средней долготы X, 1 может быть разложена в ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии. Коэффициенты этого разложения будут некоторыми функциями от остальных элементов Пуанкаре, т. е. от Л, эксцентрических элементов т] и облических элементов р, д. Мы покажем те перь, что эти коэффициенты разложимы по целым, положительным степеням величин [c.697]

Рассмотрим теперь выражения для координат эллиптического движения, представленные рядами, расположенными по целым положительным степенял эксцентриситета ), и коэффициенты которых суть тригонометрические функции (конечные ряды синусов и косинусов) от средней аномалии, обозначаемой в этой главе буквой I. [c.701]

Здесь величина о(Л 1(0) + ТУзСО)"" равна в соответствии с граничными условиями четверти периода эллиптического синуса [19] [c.137]

Введение. Методы, изложенные в гл. I, достаточны для вычисления координат планеты в эллиптической орбите для любого момента времени по элементам этой орбиты. Для различных приложений в небесной механике необходимо иметь в распоряжении методы, которые позволят разложить координаты и функции от координат в эллиптической орбите в периодические ряды. При движении по эллипсу все конечные и непрерывные функции от координат после полного обращения тела возвращаются к исходным значениям. Поэтому такие функции разложимы в периодические ряды по любой непрерыно возрастающей угловой переменной, которая за время полного обращения тела увеличивается на 2л. Угловыми переменными, представляющими в этой связи особый интерес, являются средняя аномалия I, эксцентрическая аномалия и и истинная аномалия /. Они не являются единственными аргументами, которые могут быть рассмотрены в некоторых приложениях используются другие аргументы. Функциями, которые представляются наиболее естественными для этой цели, являются пли четные, или нечетные периодическпе функции от этпх переменных, порождающие либо ряды косинусов, либо ряды синусов. Поскольку обычно удобнее оперировать степенными рядами, чем тригонометрическими разложениями, то полезно познакомиться с разложениями в экспоненциальной форме. [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...