Степени синуса и косинуса

Положим, наконец, что сила Р равна нулю и имеется только нагрузка q. Мы уже знаем, что упругая линия балки постоянной жесткости при равномерно распределенной нагрузке описывается функцией четвертой степени. Здесь же — только вторая степень, синус и косинус, и пока не видно, каким образом здесь может появиться четвертая степень г, при Р О. [c.162]

Легко выразить через синусы и косинусы кратных дуг любые степени, а также произведения степеней синуса и косинуса, если воспользоваться формулами Эйлера [c.96]

Следовательно, при ориентационном усреднении приходится вычислять интегралы от различных степеней синусов и косинусов. [c.189]

Степени синуса и косинуса [c.72]

Можно сказать, что это — приближенное выражение общего интеграла уравнений (9.38), так как здесь две произвольные постоянные С и о (заметим, что С=0 соответствует предельному циклу и С=оо —состоянию равновесия).Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство выражение (9.37), принятое нами для характеристики, содержало квадратичный член, который, однако, совершенно не входит в выражение нулевого приближения общего решения (его влияние будет сказываться только в следующих приближениях). Это — весьма общее положение, относящееся не только к квадратичному, но и к любым четным членам характеристики. Если мы аппроксимируем характеристику в виде любого многочлена, четные члены не оказывают никакого влияния на нулевое приближение. Происходит это вследствие того, что разложение четных степеней синусов и косинусов содержит только синусы и косинусы четных кратных углов, и поэтому Б их разложении не содержится основной (резонансной) частоты. [c.680]

Переходя к третьему уравнению и выражая произведения и степени синуса и косинуса через функции кратных аргументов, имеем [c.117]

Из-за громоздкости системы уравнений (2.57) чаще используются их аппроксимации рядом Тэйлора по синусам и косинусам углов падения с отбрасыванием членов ряда с высокими степенями синусов и косинусов. Поэтому все такие аппроксимации пригодны только для небольших углов падения 0 = 0 < 30 - 40 , далеких от критического угла. Одной из наиболее популярных аппроксимаций коэффициента отражения 7 (0) = Ррр( ) продольных волн является уравнение Аки-Ричардса (1984) [c.44]

Здесь остается лишь выполнить указанные дифференцирования однако, для того чтобы получить возможно более простые выражения, представляется целесообразным предварительно выразить степени синуса через синусы и. косинусы углов, кратных угла и. [c.32]

В качестве граничных условий при решении задачи была взята жесткая заделка, т. е. перемещения на контуре считались равными нулю. Практически такой случай не встречается, поэтому конечные результаты дадут только некоторое приближение. Однако можно брать и такие граничные условия, которые в большей степени соответствуют поведению линзы, закрепленной в оправе. Решение в любом случае остается одинаковым, нужно лишь подбирать такие функции = /1,2 ( > 2)> чтобы они удовлетворяли граничным условиям. При более сложных, чем в рассмотренной задаче, граничных условиях обычно пользуются гармоническими рядами, включающими в себя обычные или гиперболические синусы и косинусы. [c.169]

Примечание 2. Все рассмотренные в этой главе резуль таты, касающиеся доказательства сходимости рядов Ляпунова относятся к рядам, расположенным по степеням параметра т коэффициентами которых являются тригонометрические много члены относительно синусов и косинусов целых кратностей т [c.303]

Каждое из этих периодических решений представится в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням некоторой произвольной постоянной, коэффициентами которых являются конечные ряды синусов и косинусов некоторой переменной, пропорциональной времени. [c.317]

Функциональный характер коэффициентов рядов (12.112) мы уточнять здесь не будем и заметим только, что долготы узла и перицентра входят в эти коэффициенты только под знаками синусов и косинусов, а относительно е и i эти коэффициенты можно представить в виде степенных рядов, расположенных по целым положительным степеням этих величин. [c.646]

Таким образом, мы убеждаемся, что каждая из координат движущейся точки х, у, г разложима в ряд, расположенный по целым положительным степеням элементов Лагранжа г, s и, V, коэффициенты которого суть тригонометрические много члены относительно синусов и косинусов целых кратностей Я, [c.703]

Это разложение функции 11 можно также рассматривать как п-кратный ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам аргументов вида (13.88 ), коэффициенты которого представляются целыми рядами, расположенными по степеням величин (13.88), коэффициентами, в свою очередь зависящими от Л . [c.711]

Оба метода дадут нам приближенные аналитические выражения для канонических элементов в виде рядов, члены которых являются или чисто периодическими функциями — конечными суммами синусов и косинусов, или чисто вековыми, т. е. целыми положительными степенями t, или смешанными членами. [c.715]

Таким образом, возмущающая функция разложима по степеням I и т]. Коэффициенты разложения зависят от L и А, и, очевидно, должны быть периодическими функциями средних долгот Я. Следовательно, они могут быть разложены в тригонометрические ряды по синусам и косинусам кратных А. и, следовательно, мы можем написать [c.95]

Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (13) предыдущей главы. Поступая аналогичным образом, получим для й разложение по степеням т и по синусам и косинусам кратных ю. [c.147]

Но Ж разложимы по степеням ц, т и по синусам и косинусам кратных IV. Следовательно, они имеют вид функции [c.149]

I и т] заменены их членами нулевого ранга. Действительно, это приводится к разложению неизвестных по синусам и косинусам кратных W и по степеням и [iT = т и затем к подстановке в них ц, = О, по при этом т считается конечным и отличным от нуля. Интегралы площадей, имеющие место для всех значений ц., очевидно, будут существовать и при ц. = 0. [c.211]

Величины bL, 6к, б , разлагаются по степеням ц, т, y i и по синусам и косинусам кратных ш, т. е. они могут быть представлены в виде [c.228]

Обе части равенств (5) разложены по степеням i и по синусам и косинусам кратных n jt и y t. Следовательно, обе части имеют вид функций, рассмотренных в лемме 107, из чего следует, что эта лемма может быть применена. Другими словами, эти равенства не могут иметь места, если подобные члены в обеих частях не уничтожаются. [c.266]

Вид возмущающей функции. Как известно, функция F разложима по степеням е os Z, е sin I, i os (I + g), i sin I + g), e os t — ), e sin (t — ) и no синусам и косинусам кратных разности средних долгот Я,, а коэффициенты этого разложения зависят от больших полуосей, т. е. от L. Но легко видеть (см. 65 и след.), что е os I = е os [s + (и + 1) Я,], е sin I, [c.305]

Разложим функцию Z по степеням а, с одной стороны, и по синусам и косинусам кратных аномалиям, или, что то же самое, по положительным и отрицательным степеням 2 и с другой стороны. Следовательно, будем искать коэффициент при [c.368]

Простейшими периодическими функциями, с какими знакомы математики, являются круговые функции, выражаемые с помощью синуса и косинуса в самом деле, других функций, которые приближались бы к ним по своей простоте, нет. Они могут обладать любым периодом и, не допуская никакого другого изменения (за исключением величины), представляются вполне подходящими, чтобы образовывать простые тоны. Кроме того, Фурье доказал, что наиболее общая однозначная периодическая функция может быть разложена в ряд по круговым функциям, периоды которых целое число раз содержатся в периоде данной функции. Таким образом, следствием общей теории колебаний является то, что только тот частный их тип, который мы склонны теперь рассматривать как соответствующий простым тонам, способен сохранять свою целостность среди превратностей, каким он может подвергаться. Всякий другой вид колебаний, поскольку одна его часть затрагивается в иной степени, чем другая, доступен какому-либо физическому анализу. Если бы анализ внутри уха происходил по принципу, отличному от того, который имеет место в согласии с законами неживой материи вне уха, следствием этого было бы то, что звук, первоначально простой, мог бы превратиться в сложный на своем пути к наблюдателю. Однако нет никаких оснований полагать, что в действительности происходит что-либо подобное. Если принять, что в согласии с теми представлениями, какие мы можем создать об интересующем нас предмете, анализ звука внутри уха должен осуществляться физическим механизмом, подчиняющимся тем же законам, какие господствуют и снаружи, то все говорит за то, что и тоны следует считать обязанными колебаниям, выражаемым круговыми функциями Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным этим. В главе о колебаниях струн мы увидим, что теория во многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания, совершаемого струной, и, в частности, о том, является ли его компонентой какое-нибудь определенное простое колебание или нет. Здесь мы уже располагаем решающим критерием. Экспериментальным путем установлено, что всякий раз, когда согласно теории имеет место какое-либо простое колебание, можно слышать соответствующий тон, всякий же раз, когда такое колебание отсутствует, тона слышать нельзя. Мы вправе поэтому принять, что простые тоны и колебания кругового типа неразрывно связаны друг с другом. Этот закон был открыт Омом. [c.39]

См. разложения степеней синуса и косинуса ио таким же функциям кратных дуг, например, в справочнике И М. Р ы ж и к и И. С. Г р а flui т е й н, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений , Физматгиз, 1963. [c.156]

Для упрощения системы уравнений (1.26) синус и косинус пространственного угла атаки заменим на их приближения sina OLn, os Kn 1, а нечётные и чётные коэффициенты аэродинамических сил и моментов — первыми членами соответствующих степенных рядов [c.38]

Приведекпе предыдущих формул к синусам и косинусам первой степени [c.25]

Отсюда видно существенное различие метода Адамса от метода Эйлера. Эйлер пишет общий вид разложения координат Луны по степеням некоторых известных постоянных параметров и ищет вид той функщги времени на которую данная постоянная или ее степень, или вообще произведение целых степеней этих данных постоянных, умножается, составляет дифференциальные уравнения для этих функций и ищет их решения в виде разложении по синусам и косинусам аргументов, линейно зависящих от времени. [c.133]

При применении методы разложения решений дифференциальных уравнений в ряды, расположенные по степеням малых параметров, которою пользуется Эйлер, возникает то затруднение, что могут появиться так называемые вековые члены, т. е. содержащие время вне знаков синуса и косинуса чтобы от них избавиться, Эйлер указывает, что есть возможность составить некоторое уравнение, заменяющее собою обыкновенное характеристическое для уравнений с постоянными коэффициентами это уравнение и доставляет измененное присутствием нелинейных членов значение частоты основных колебании системы введение этой частоты избавляет от вековых членов в разложениях. Этого уравнения по его сложности Эйлер, как он говорит, составлять не отваживается (поп sumus ausi), а определяет нужную ему величину на основании астрономических наблюдений или, как он выражается, берет ее с неба (ех oelo). [c.215]

В самом деле, сферические функции, игреки Лапласа , получаются из гармонических многочленов путем замены прямоугольных координат через полярные сферические, по формулам (5.3), что позволяет выразить 2л+ 1 независимых коэффициентов гармонического многочлена п-й степени через 2п+ коэффициентов сферической функции /г-го порядка. Наоборот, заменяя синусы и косинусы сферических кординат в общем выражении для К (0,/.) их значениями в функции х,у,г, мы перейдем от сферической функции к гармоническому многочлену, что опять позволит написать соотношения между коэффициентами обеих функцнй. [c.226]

Обратим теперь втгмание на следующее обстоятельство. Как показано, координаты эллиптического движеиия могут быть представлены Б виде рядов Фурье (т. е. рядов, расположенных ио синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии М), коэффициенты которых суть ряды с числовыми коэффициентами, расположенные по целым возрастаюи1,им степеням эксцентриситета орбиты е. [c.564]

В то же время в 1 было показано, что эти координаты могут быть представлены в виде рядов, расположенных по целым возрастающим степеня.м эксцентриситета, коэффициенты которых суть тригонометрические многочлены относительно синусов и косинусов целых кратностей е. [c.564]

Будем рассматривать, как основные переменные, элементы Пуанкаре (13.60) и предположим для простоты, что возмущающая функция / не зависит от времени. Тогда, если движение рассматриваемой точки принадлежит к эллиптическому типу, то Я, как это уже неоднократно отмечалось, будет периодической функцией от средней аномалии I, или от средней долготы X, 1 может быть разложена в ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии. Коэффициенты этого разложения будут некоторыми функциями от остальных элементов Пуанкаре, т. е. от Л, эксцентрических элементов т] и облических элементов р, д. Мы покажем те перь, что эти коэффициенты разложимы по целым, положительным степеням величин [c.697]

Рассмотрим теперь выражения для координат эллиптического движения, представленные рядами, расположенными по целым положительным степенял эксцентриситета ), и коэффициенты которых суть тригонометрические функции (конечные ряды синусов и косинусов) от средней аномалии, обозначаемой в этой главе буквой I. [c.701]

Наоборот, каждый член нечетной степени относительно всех величин (13.88) в разложении и будет содерл> ать в свое.м коэффицпенте только такие синусы и косинусы, для которых 1 11 + 1 21+ .. +1 1 есть нечетное число, откуда следует, что члены нечетной степени заведомо не содержат в своих коэффициентах вековых членов. [c.713]

I и Т1, как эксцентрические, так и облические. Это уравнение должно будет выполняться тождественно при замене неизвестных L, I, Т1 их разложениями по степеням ц,т и по косинусам и синусам кратных w или еще, полагая, как и в 140, [гт = т, мы заменим неизвестные их разложениями по степеням ц и т и по синусам и косинусам кратных w. [c.182]

Заметим прежде всего, что правые части уравнений (4) могут быть разложены по степеням ц, E os т, ftsin oh и по синусам и косинусам кратных <Лх- При этом они являются голоморфными функциями от W. [c.251]

Гелиоцентрические координаты. Прямоугольные гелиоцентрические координаты планет, их радиусы-векторы, синусы и косинусы их долгот и широт и их взаимные расстояния суть однозначные функции канонических элементов L, Я, , т). Так как Lh, Яй —Ш)(, а, 11а jTTb периодические функции аргументов w, w", то такими же будут и гелиоцентрические координаты, взаимные расстояния и т. д., так что эти величины будут расположены по синусам и косинусам кратных w и w". Более того, так же как канонические элементы, они расположены по степеням Ek osw h, Eh sin w h. Таким образом, разложения гелиоцентрических координат, взаимных расстояний и др., будут иметь вид [c.277]

Отсюда заключим, что/" разложима по степеням х, у, г, е osi , е sin V и по синусам и косинусам кратных Я,. Коэффициенты разлонхения зависят от L = U — nS — пТ, поэтому они могут быть (с помощью формулы Тэйлора) разложены по возрастающим степеням величины п (S + Т), т. е. [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...