Ньютона-Рафсона

Для оценки температурных полей в геометрически сложных областях в последнее время часто применяется метод конечных элементов /1-5/. Можно отметить два подхода к решению нелинейной задачи теплопроводности. Первый из них заключается в предварительной линеаризации нелинейного уравнения теплопроводности с помощью метода оптимальной линеаризации /57 или метода Ньютона - Рафсона,я к линейному уравнению применяется процедура метода конечных элементов (МКЭ). Второй подход заключается в построении решения с использованием МКЭ дня нелинейной задачи в случае "слабой" нелинейности /зу или использовании итераций дня учета нелинейности /5,4/. [c.133]

В последнем варианте используется последовательное уточнение некоторого начального приближения и задача сводится к решению бесконечной последовательности линейных уравнений типа итерационной формулы Ньютона, формулы Ньютона— Рафсона и др. Математические основы таких вычислений подробно рассматриваются в руководствах по численным методам и математическому программированию (см., например, [19]). [c.187]

Использование метода Ньютона—Рафсона для решения нелинейных задач Коши требует, разумеется, большего объема вычислений и, следовательно, больших затрат машинного времени, чем предьщущий метод шаговой линеаризации. Выбор любого из этих подходов должен определяться в каждом конкретном случае в зависимости от исследуемых процессов теплообмена, требуемой точности решения, возможностей используемой ЭВМ. [c.174]

Решение нелинейного матричного уравнения проводится итерационными методами, основанными на методе Ньютона-Рафсона. Нелинейный анализ занимает гораздо больше времени, чем линейный, по двум причинам. Во-первых, каждая итерация включает в себя, как минимум, решение линеаризованной системы вида (1.2). Во-вторых, проблемы сходимости, которые возникают при решении нелинейных задач, могут приводить к большому числу итераций. [c.32]

Рис. 7.10. Схема метода Ньютона-Рафсона

В работе (2] дается обзор разнообразных методик численного решения задач геометрически нелинейной теории упругости. Они включают методы последовательных приближений, метод Ньютона — Рафсона, метод возмущений и метод начальных значений. Там же обсуждаются основные особенности методов и даются рекомендации по их оптимальному использованию. В этой же работе указывается, что трактовка задачи нелинейной теории упругости как задачи с начальными данными открывает путь к огромному числу новых процедур численного решения. С деталями этих методов и их приложениями к МКЭ читатель может ознакомиться по работам [1—4]. [c.368]

Выше в общих чертах изложена инкрементальная теория, развитая в работе [5]. В указанной работе установлено, что если поведение конструкции сильно нелинейно, то даже указанная процедура не может гарантировать, что переменные будут вычислены с допустимой точностью. Для этого класса задач предлагается также использовать итерационные процедуры метода Ньютона — Рафсона для снижения невязок в уравнениях равновесия узловых точек до допустимых величин. Читатель адресуется к работам [3—7], где изложены детали формулировок инкрементальных теорий и другие методики, а также их практические приложения к геометрически и физически нелинейным задачам. [c.394]

Это позволяет процесс реализации неявной схемы (В-1.13) сформулировать в виде итерационного процесса метода Ньютона - Рафсона (В.1.7). Возможны, конечно, и другие итерационные процессы, обеспечивающие вычисления по неявной схеме (В.1.13). [c.16]

Обобщенные формы построены как для непрерывного, так и для дискретного продолжения. Последний случай ограничен итерационными процессами типа Ньютона - Рафсона. Рассмотрены примеры применения различных форм метода продолжения. [c.24]

Если F- т-мерная вектор-функция, а X — вектор в линейном нормированном пространстве, то метод Ньютона — Рафсона обобщается и требует на каждом шаге итерационного процесса решения следующей системы F [c.35]

Итерационный процесс метода Ньютона - Рафсона для системы (1.2.13) имеет вид [c.38]

Заметим, что все рассмотренные здесь алгоритмы допускают обычную дня метода Ньютона. — Рафсона модификацию с заменой матрицы [c.39]

Алгоритм метода Ньютона — Рафсона для такой системы уравнений имеет вид [c.40]

Неявные схемы интегрирования задачи Коши по параметру (дискретное продолжение решения) реализованы в нескольких формах. Одна из них реализует шаговый процесс по параметру с итерационным уточнением решения по методу Ньютона—Рафсона, т.е. шаговый процесс Лазя [526, 322-326, 210, 174, 175, 46, 47, 78, 93-95, 285, 216-219, 439, 150, 221, 313,320,103,25,171,220,367,192,195,249] и др. [c.186]

Комбинация явной схемы Рунге —Кутта для продолжения решения с периодическим итерационным уточнением решения методом Ньютона— Рафсона использовалась в [159,396]. [c.189]

В [393] схема Рунге-Кутта чередуется с периодическим уточнением решения по методу Ньютона - Рафсона. [c.193]

В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих решений) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, чго наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода Ньютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона. [c.195]

Для решения этой системы, как правило, используется интерационный метод Ньютона—Рафсона, основанньг на сочетании неявных методов интегрирования с методами обработки разреженных матриц. Это позволило разработать простые и эффективные алгоритмы форми ювания математических моделей электронных схем ни основании метода узловых потенциалов. [c.162]

Для отыскания оценок t их используется один из методов спуска 2-го порядка, например метод Ньютона—Рафсона или метод Девидона (метод переменной метрики), которые при наименьшем числе шагов приводят к точкам, достаточно близким к точкам минимума. Следует отметить, что при реализации методов минимизации на III этапе целесообразно использовать априорную информацию о границах возможных изменений параметров состояния, т. е. применять оптимизацию с ограничениями. [c.135]

В [л. 77] на простейшем примере одиночной ГЭС лроверялась возможность использования метода Ньютон а—Р а ф с о н а для оптимизации длительных режимов ГЭС. Если записать в конечных -разностях дифференциальные уравнения (2-13),. то получим систему нелинейных алгебраических уравнений. Одним из наиболее эффективных путей численного решения этой системы уравнений является метод Ньютона— Рафсона. [c.42]

Будем решать уравнение (3.24) итеращюнным способом дополнительной нагрузки, что равносильно применению модифицированного метода Ньютона-Рафсона. При этом [c.96]

Математическим аналогом метода касательных модулей является метод Ньютона—Рафсона—Канторовича. Для опномер-ного случая итерационный процесс (3.22) допускает гепметриче скую интерпретацию (рис. 3.4). На п+1 итерации I (1= 2,. .., L) уравнение метода конечных элементов будет иметь вил [c.77]

На наш взгляд, основное в работе М. Лаэя то, что он дал пример построения шагового процесса по параметру, в котором реализуется главный для метода продолжения решения пртнцип ншоль вать на каждом шаге информацию о решении, полученную на предыдущем шаге (предыдущих шагах). С зтой точки зрения несущественным становится использование для итерационного уточнения решения именно метода Ньютона - Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением [c.15]

А зтот процесс в точности совпадает с итерационным процессом метода Ньютона—Рафсона для уравнения Н(Х) =0 при начальном приб]Ь1жении [c.17]

Напомним снаша метод Ньютона — Рафсона для решения уравнения с одним неизвестным [c.34]

Простейшей фо1 1ой представления этой зависимости было бы отыскание решений =- ( ) для некоторого множества значений параметра Ро метода Ньютона - Рафсона можно экономично организовать процесс 1фодолжения решения по параметру. Его предложение, по существу, свелось к использованию решения для предыдущего значения параметра задачи Р в качестве начального приближения для текущего значения параметра. Этот 1фоцесс можно записать в виде [c.35]

На рис. 1.5 показана геометрия процесса (1.2.9) для уравнения с одним неизвестным при переходе от к Pi(. Искомым множествсм решений уравнения F(A, Р) =0 является кривая К, по которой поверхность F( P) пересекается с плоскостью ЛГ, Р. Итерационный процесс Ньютона — Рафсона проходит в ГО10СК0СТИ P=Pj с начальным приближением i). [c.36]

Истолкование рассмотренных выше итерационных процессов как процессов совместного решения основной оютемы уравнений с дополнительным уравнением позволяет рассматривать их с обшей точки зрения на метод Ньютона — Рафсона, которая подробно развивается во многих монографиях ([366,35,481,212] и др.). В них детально об< ждены вопросы сходимости ь№тода. Мы только отметим, что для сходимости итерационного процесса метода Ньютона — Рафсона начальное прибдижение обычно не должно слишком сильно отличаться от искомого решения. В построенных выше итерационных алгоритмах по самому смыслу метода продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно малых величинах шага t по параметру продолжения X. [c.40]

Как уже отмечалось, успех пртменения метода Ньютона — Рафсона во многом зависит от начального приближения. В процессе продолжения [c.42]

Применение алгоритмов дискретного продолжения в 1.2 при продолжении решения с тем же хшгом АХ = 2 дало практически точное значение координат точек лемнискаты. Пртпем затраты мщинного времени ЭВМ в этом случае были даже несколько меньшими, чем при интегрировании задачи Коши методом Рунге — Кутта, так как количество необходимых итераций метода Ньютона — Рафсона обычно не превышало трех, в то время как шаг метода Рунге — Кутта по трудоемкости равносилен четырем итерациям. [c.45]

На рис. 1.16 представлены результаты расчета того же п шмера с помощью неявных схем дискретного продолжения ( 1.2). При этом использовался алгоритм метода Ньютона — Рафсона с дополнительными условиями (1.2.19), (1.2.21), (1.2.23) соответствующими итерационным процессам, геометрия которых показана на рис. 1.6 — L8. При шаге АХ = = 0,1 вблизи точки Вз отмечен перескок на соседнюю вётвь возмущенного решения. При уменьшении шага вдвое (ДХ = 0,05), а так е при использовании переменного шага с учетом условия (1.2.42) таких перескоков не происходило. Расход машинного времени ЭВМ при шаге АЛ = 0,05 составил 24 с, а при переменном шаге — 16 с. Расчеты проводились на ЭВМ БЭСМ-6. [c.53]

М. Л й предложил при продвижении по последовательному ряду значений па яметра Р < Л строить решения уравнения (1.1.1) для каждого значения Р/ методом Ньютона—Рафсона, используя решение дня предьвдущего значения Pi i в качестве начального приближения. Позже в статье [448] он обобщил этот подход на системы уравнений. [c.177]

Более эффективный в смысле сходимости итерационный процесс метод Ньютона Рафсона (1.5.12) использовался в работах [475—478,408, 394, 506, 390, 414, 515, 269, 439, 431, 406, 480]. Однако этот метод требует корректировки касательнш матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопрово ается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итераций модификации метода Ньютона (1.5.13), так как при зтом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. Такой подход к организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру применялся в работах [420,318,517, 515 476,518,1,397, 535,191,134,303, 536]. [c.192]

Метод переменных параметре упругости, когда для итераций используются параметры упругости (в том же смысле, что и касательные модули упругости), достигнутые на предыдущем шаге по пч>аметру, по смыслу близок к модифицированноьу методу Ньютона и применялся совместно с ним в неявной схеме интегрирования по параметру для решения однсюре-менно физически и геометрически нелинейнкк задач [534, 340, 302,175, 463, 197, 6]. Неявная схема продолжения с использованием для итераций метода Ньютона — Рафсона реализована в статье [423] для уточнения решения после нескольких шагов по параметру по явной схеме типа метода Эйлера. Итерация по Ньютону - Рафсону на каждом шаге интегрирования проводилась в работах [515,1,324]. [c.194]

По-ввдимому, первой из работ такого рода, касающихся метода продолжения, было исследование Поскитта [489], который сравнил простейшую явную схему типа Эйлера для продолжения по параметру с другими методами решения нелинейных задач, как-то методом Ньютона - Рафсона, итераций и др. В качестве тестовой задачи бьша использована трехшаркир-ная арка Мизеса. Было установлено, что число шагов шагового метода значительно меньше зависит от величины конечного перемещения, чем у всех остальных методе . [c.194]

В работе [533] та же схема продолжения сравнивается с методом Ньютона — Рафсона и методом возмущений (малого параметра), на примере больших изгибов балки. Нелинейная система алгебраических уравнений построена методом Рэлея — Ритца. Подробно исследовано влияние шага по параметру нагрузки. Маркол [455] сравнивает две неявные схемы продол- [c.194]

В работе Као [429] явная схема продолжения типа Эйлера сравнивается с неявными, использующими для итерации метод Ньютона — Рафсона и модифицированный метод Ньютона, а также с явной схемой самокорректирующегося метода первого псфядка [515]. Показано, чго схема Эйлера дает при вдвое меньшем шаге по параметру ту же точность, что и самокорректирующийся метод. Сравнение проведено на примере пологой сферы и круговой пластины. [c.195]

Работа [160] посвящена обсуждению скорости сходимости различных неявных схем продолжения, использующих для оргаиизшош итераций на каждом шаге нагружения метод последовательных приближений, модифицированный метод Ньютона и метод Ньютона — Рафсона. Исследование скорости сходимости проведено на примерах сферического купола с отверстием, усеченного конуса, консольной плиты. Эти же Схемы обсуждаются и в [479]. [c.195]

Явная схема с однократной коррекцией по методу Ньютона — Рафсона сравнивается с самокорректирующейся схемой [515] и неявной схемой типа последсюательных приближений в работе [225]. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...