Ньютона — Рафсона модифицированный

В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих решений) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, чго наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода Ньютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона. [c.195]

Модифицированный метод Ньютона — Рафсона [c.188]

Графическая иллюстрация применения итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона для задачи с одной степенью свободы приведена на рис. 6.3. [c.189]

Такой процесс, изображенный на фиг. 18.2, б, обычно сходится медленнее. Ясно, что эти же идеи легко обобщить на нелинейные уравнения со многими переменными. В этом случае процесс известен как метод Ньютона-Рафсона, который в свою очередь может быть модифицирован аналогично тому, как это сделано выше. Очевидно, что методы переменной и постоянной жесткости, рассмотренные с общих позиций в разд. 18.2, относятся к этим двум категориям. [c.400]

Отметим, что в соответствии с (17.56) на каждом шаге итерационного процесса нужно обращать матрицу Якоби У размера п X п. Этого можно избежать, применяя модифицированный метод Ньютона — Рафсона, в котором используется лишь матрица Якоби из первого шага. В этом методе вместо (17.56) применяется рекуррентная формула [c.313]

Ясно, что модифицированный метод Ньютона — Рафсона является частным случаем упомянутого в п. 17.2 метода хорд, соответствующим выбору Jo в качестве матрицы А из (17.21). Хотя необходимое для достижения требуемой точности число итераций при использовании модифицированного метода, как правило, гораздо больше, общий объем вычислений и затраты времени могут быть [c.313]

Рис. 17.3. Стандартный и модифицированный методы Ньютона — Рафсона.

Будем решать уравнение (3.24) итеращюнным способом дополнительной нагрузки, что равносильно применению модифицированного метода Ньютона-Рафсона. При этом [c.96]

В работе Као [429] явная схема продолжения типа Эйлера сравнивается с неявными, использующими для итерации метод Ньютона — Рафсона и модифицированный метод Ньютона, а также с явной схемой самокорректирующегося метода первого псфядка [515]. Показано, чго схема Эйлера дает при вдвое меньшем шаге по параметру ту же точность, что и самокорректирующийся метод. Сравнение проведено на примере пологой сферы и круговой пластины. [c.195]

Работа [160] посвящена обсуждению скорости сходимости различных неявных схем продолжения, использующих для оргаиизшош итераций на каждом шаге нагружения метод последовательных приближений, модифицированный метод Ньютона и метод Ньютона — Рафсона. Исследование скорости сходимости проведено на примерах сферического купола с отверстием, усеченного конуса, консольной плиты. Эти же Схемы обсуждаются и в [479]. [c.195]

Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу t+At (i-i) проводить ее факторизгщию. В модифицированном методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитывается на каждой итерации. Вместо этого в уравнениях вида (6.9) на каждой итерации используется одна и та же матрица К (т обозначает некоторый момент времени на предыдущих шагах, например т = t или г = 0). Недостатками итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода Ньютона — Рафсона. [c.188]

Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона — Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона — Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде. [c.189]

Метод Ньютона — Рафсона и его модифицированный вариант успешно применялись на практике для решения больших систем нелинейных уравнений. Важная роль этих итерационных методов связана и с их теоретической ценностью, поскольку для них существует ряд теорем, позволяющих ответить на вопросы о существовании и единственности решения, сходимости и скорости сходимости итерационного процесса на основе сведений о начальной точке Хо и о значениях и д fllдXj . Кроме [c.314]

При теоретическом исследовании используется численный подход [3, 4], позволяющий моделировать отрывные течения на основе нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса. Аппроксимирующая система уравнений Навье-Стокса получается на основе неявной конечно-разностной схемы при этом для аппроксимации конвективных и диффузионных членов дифференциальных уравнений в полуцелых узлах используются TVD-схема второго порядка точности и схема центральных разностей соответственно. Для решения нелинейных разностных уравнений применяется модифицированный метод Ньютона-Рафсона с пересчетом матрицы Якоби на усеченном шаблоне. На итерации по нелинейности используется итерационный GMRES-метод для решения системы линейных алгебраических уравнений. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...