Балки Изгибающие моменты — Зависимость

Прежде всего заметим, что при вычислении прогибов и углов поворота сечений балки изгибающий момент от единичного усилия М (1) представляет собой функцию, линейную но участкам балки. А Mz P) в зависимости от характера нагрузки может быть нелинейной функцией с угловыми точками и разрывами. Поэтому для балок постоянной жесткости вычисление интегралов Мора сводится к вычислению по участкам балки интегралов вида [c.239]

В предыдущем параграфе было установлено, что при прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях бруса (балки) возникают два внутренних силовых фактора поперечная сила Qy и изгибающий момент М - Зависимости между этими внутренними силовыми факторами и напряжениями в поперечном сечении бруса (см. 1.5) таковы [c.224]

Откладывая в некотором масштабе 1м от этой линии вниз (Мх < 0) под соответствующими сечениями балки найденные значения М , получаем искомую эпюру (рис. ПО, б). Так как зависимость от координаты сечения в данном случае является линейной, то эпюра изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую. Абсолютная величина изгибающего момента достигает наибольшего значения у закрепленного конца балки. [c.160]

При анализе прогибов р (.v) балки под действием заданной распределенной нагрузки Р х) мы будем применять гипотезу Бернулли. В соответствии с этим единственным обобщенным напряжением нужно считать изгибающий момент Q x), а соответствующей обобщенной деформацией — кривизну q x) = = — р" х). В г-м участке изгибающий момент и кривизна связаны зависимостью [c.20]

Заметим, что зависимости (2.36) — (2.42) сохраняют силу и в случае статически неопределимых балок, однако при этом формулы для среднеквадратичных изгибающих моментов будут содержать статически неопределимые величины. Дополнительное уравнение для каждой статически неопределимой величины Xk доставляется условием, что истинная кривизна Q/ должна быть ортогональна к изгибающему моменту Q , вызванному Xh = l, когда все остальные статически неопределимые величины равны нулю и балка не несет нагрузки [c.27]

Для пояснения математического характера задачи оптимизации конструкции часто бывает полезной замена сплошной конструкции ее дискретным аналогом. Рассмотрим, например, свободно опертую упругую балку, представленную на рис. 1. Максимальный прогиб, вызванный заданной нагрузкой 6Р, не должен превышать заданного значения б. Для дискретизации задачи заменим балку некоторой последовательностью жестких стержней, соединенных упругими шарнирами. На рис. 1 введено лишь три шарнира чтобы получить реалистичные результаты, при дискретизации необходимо использовать намного большее число шарниров. Предполагается, что изгибающий момент Mi, действующий в г-м шарнире, связан с углом поворота 0,- зависимостью [c.88]

В обоих случаях поперечная сила взята со знаком минус, потому что эпюра М — нисходящая (при движении слева направо). Следует также обратить внимание на следующую зависимость, вытекающую из формулы (VI.2). На тех участках балки, где изгибающий момент изменяется по параболе (кривая 2-го порядка), поперечная сила изменяется по линейному закону, т. е, эпюра — наклонная прямая (линия 1-го порядка). Там же, где М изменяется по линейному закону, т. е. эпюра М — наклонная прямая, поперечная сила Q постоянна, эпюра — горизонтальная прямая (линия нулевого порядка). Вообще, порядок функции, описывающей закон изменения Q, на единицу ниже порядка функции, выражающей закон изменения М. Это следует непосредственно из формулы (VI.2). [c.141]

Строим эпюру Q. Обращаем внимание, что 0=0 посередине пролета балки, т. е. там, где изгибающий момент максимален, как это и следует из зависимости (VI.2). [c.142]

Из зависимостей (2.54), (2.55) следует, что интенсивность распределенной нагрузки равна второй производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки [c.265]

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени замечательного русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821—1891). Эта теорема формулируется так поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки. [c.237]

Хотя приводимый далее пример не представляет большого практического интереса, но все же он поучителен, так как в затруднительном положении оказался не учащийся, а преподаватель. Ему было предложено построить эпюры <3 и Л1 для балки, нагруженной равномерно распределенными по всей ее длине парами сил (рис. 12.2, а). С этой задачей он справился и получил эпюры, изображенные на рис. 12.2, б, в. Тогда ему был задан вопрос Как же так — поперечная сила постоянна, а изгибающий момент во всех сечениях равен нулю ведь это противоречит дифференциальным зависимостям На этот вопрос ответа не последовало, так как было упущено, при каких условиях выведены, а значит, и справедливы дифферен-циальные зависимости. Конечно, можно их вывести с учетом нагружения балки распределенными парами сил (как иногда говорят, моментной нагрузкой), но вид их будет иным. В техникумах, очевидно, такой вывод не нужен, но полезно указать предпосылки обычного вывода. [c.124]

Полученная дифференциальная зависимость формулируется следующим образом поперечная сила в любом сечении балки может быть найдена как производная от изгибающего момента в этом сечении по абсциссе х. [c.148]

И.З зависимости (12.1.2) видно, что кривизна балки в рассматриваемом сечении прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна ее жесткости. [c.192]

Уравнения для изгибающих моментов составляются при рассмотрении всех участков балки в зависимости от того, где выбрано начало координат слева или справа от сечения. [c.195]

Так как изгибающие моменты находятся в линейной зависимости от нагрузок, то для каждой части балки вместо умножения на коэффициент приведения изгибающих моментов можно умножить на этот коэффициент все нагрузки этой части вместе с внутренними усилиями Q и в торцевых сечениях (рис. 293, в). [c.318]

Формулы (17.8) и (17.9) показывают, что напряжения Ох и Оу изменяются по толщине пластинки по линейному закону в зависимости от 2 и по разные стороны от срединной плоскости имеют разные знаки. Они, как и в балках, связаны с изгибающими моментами следующими интегральными статическими зависимостями л/2 [c.501]

Поперечный изгиб. При поперечном изгибе, кроме нормальных напряжений ст , в балке возникают касательные напряжения т . Соотношение между нормальными и касательными напряжениями зависит от отношения высоты балки к ее длине. Для длинных балок величина касательных напряжений мала по сравнению с нормальными. Поэтому в рассматриваемой задаче касательными напряжениями будем пренебрегать, считая балку достаточно длинной. Тогда решение (12.4), полученное для чистого изгиба, будет пригодно и для поперечного изгиба, только изгибающий момент будет теперь переменной величиной, зависящей от координаты 2. Переменной же величиной вдоль оси стержня будет и высота упругой зоны Из формулы (12.4) для балки прямоугольного сечения находим зависимость высоты упругой зоны от изгибающего момента М [c.275]

Эпюры Q и М можно строить, не составляя выражений для Q и М, а ограничиваясь вычислением значений поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки и используя выводы из дифференциальных зависимостей (7.5) и (7.6), приведенные в 7.4. [c.234]

Для получения уравнения изогнутой оси балки воспользуемся известной зависимостью между кривизной оси балки в каком-либо сечении и величиной изгибающего момента [c.235]

Рассмотрим защемленный стержень (рис. 59). С него мы и начали разговор об упругой линии, а в выражении кривизны ранее пренебрегли величиной у за ее малостью. Теперь, рассматривая поведение стержня в области больших перемещений, мы такого упрощения уже сделать не можем. Но это не все. При малых перемещениях мы имели возможность считать изгибающий момент в каждом сечении независящим от прогибов балки. Теперь же, как это видно из рис. 59, изгибающий момент меняется в зависимости от того, сколь заметно изменилась форма упругой линии, и задача, таким образом, становится явно нелинейной. При ее решении мы уже не можем придерживаться принципа начальных размеров и принципа независимости действия сил. [c.65]

Примеры предыдущего параграфа дают определенную зависимость между очертаниями эпюр поперечных сил и изгибающих моментов и внешней нагрузкой. Для установления этих зависимостей рассмотрим балку (рис. 94, а), нагруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, сосредоточенной силой Р = qa н парой сил т = qa . Для общности выводов все нагрузки мы задали не в численном виде, а в функции интенсивности q равномерно распределенной нагрузки и некоторого расстояния а. [c.103]

Пример. Найдем перемещения точки приложения силы Р на конце балки (рис. 12.20). Балка имеет длину /, изгибную жесткость EJ. Примем начало координат в левой точке балки. Составим функциональную зависимость для изгибающего момента и запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси [c.208]

Стержни, предназначаемые для того, чтобы нести нагрузку в условиях изгиба, обычно называют балками. Их волокна испытывают различное нормальное напряжение в зависимости от расстояния до нейтрали. Крайние волокна напряжены больше, а близкие к нейтрали — меньше. Изгибающий момент уравновешивают главным образом крайние волокна, так как они и больше напряжены, и больше удалены от нейтрали балки. Поэтому для лучшего использования материала балок целесообразно придавать им двутавровое (рис. 5.12, а) сечение, а не прямоугольное или круглое. Согласно (4.15), момент инерции двутаврового сечения [c.130]

Если вместо левой части балки рассматривать правую часть, то изгибающий момент и поперечная сила в сечении тп будут те же,, что и при рассмотрении левой части, но направления их будут противоположны (рис. 111,< ). Таким образом, в одном и том же сечении балки силы упругости имеют различные направления в зависимости от того, к какой части (правой или левой) они приложены. [c.196]

Обозначим через М ( , х) изгибающий момент, а через у ( , х) — прогиб в момент времени i в сечении х. Иногда, чтобы подчеркнуть зависимость прогиба от формы сечения, будем обозначать его также символом уз ( , х). Площадь поперечного сечения 8 [х) балки ограничена сверху величиной 8 , а снизу — величиной 8-1, т. е. [c.195]

Точное и приближенное уравнения. При выводе формулы для нормального напряжения в случае чистого изгиба балки была получена зависимость, связывающая кривизну х =1/р с изгибающим моментом и изгибной жесткостью балки [c.197]

Приведенные зависимости получены для случая, когда балка, имеющая слоистую конструкцию с наполнителем, рассматривается как балка из композита. Когда изгибающий момент по длине является неодинаковым, конструкция балки приближается к составной конструкции. Отношение напряжения в облицовочном материале при отсутствии адгезии между облицовочным материалом и наполнителем к на- [c.46]

Внутренний изгибающий момент и поперечная сила в балке С. П. Тимошенко определяются зависимостями [c.109]

Угол 0 (j ) и прогиб V (х) связаны с изгибающими моментами М (- ) балки зависимостями [c.97]

Величина силы (осевого усилия винта), приложенной в среднем сечении балки, связана с величиной изгибающего момента, возникающего в том же сечении (в рассматриваемом случае с величиной предельного момента) очевид-iioii зависимостью [c.22]

Действие момента F (х—а) противоположно действию момента ТИо, поэтому он взят со знаком минус. Балка на участке II находится в состоянии поперечного изгиба, так как в сечениях этого участка возникают поперечная сила и изгибающий момент. Заметим, что в данном случае значение поперечной силы Qy на участке II не зависит от х, т. е. в любом сечении Qy =—P= onst. Числовое значение изгибающего момента находится в линейной зависимости от х, т. е. изменяется при переходе от одного сечения к другому. [c.202]

Определяя поперечнунэ силу ,, и изгибающий момент М. в различных сечениях балки (рис. 2.б5), мы видим, что их значения изменяются по длине балки в зависимости от вида нагрузок и места их приложения. При расчетах часто бывает важно знать изменение и в сечениях по всей длине балки, а этого можно достичь построением эпюр. [c.203]

Существует несколько способов определения перемещений сечений при изгибе. Один из них основан на дифференцировании уравнения упругой линии. Для вывода этого уравнения используется формула (2.79), выражающая зависимость между кривизной 1/р и изгнбающихм моментом При этом следует иметь в виду, что правило знаков для кривизны изогнутой оси связано с выбранными на-иравлениями осей координат. Если принять, что ось х направлена вправо, а ось у — вниз, как показано иа рис. 2.87, то кривизна оси балки положительна в том случае, когда при изгибе балка обращена вогнутостью вниз, и отрицательна, когда балка обращена вогнутостью вверх, т. е. положительному изгибающему моменту соответствует отрицательная кривизна, а отрицательному—положительная кривизна. В соответствии с этим переиищем формулу (2.79) в следующем виде [c.222]

Положим, что балка изгибается двумя приложенными к ее концам парами сил (рис. 296), действующими в плоскости, проходящей через ее ось. При этом в поперечных сечениях балки возникнут только изгибающие моменты M , численно равные внешним моментам УИ, т. е. М =М. Как известно из предыдущего, такой изгиб называют чистым в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения. Установим зависимость между величинами этих нормальных напряжений и изгибающего момента. Выделим из балки по рис. 296 элемент abed, имеющий весьма малую длину в увеличенном масштабе этот элемент после деформации показан на рис. 297. Под действием приложенных парсил балка изогнется при этом первоначально прямая линия еп, представляющая собой проекцию нейтрального слоя на плоскость чертежа, обратится в некоторую кривую. [c.285]

Предварительно нам нужно несколько уточнить представление о жесткопластическом теле, которое будет лежать в основе дальнейших рассуждений, хотя окончательные результаты применимы и для удруголластического тела. Рассматривая изгиб, например балки из упругопластичеокого материала без упрочнения, мы получаем диаграмму зависимости между изгибающим моментом и кривизной, состоящую из трех участков упругого, лшругопластического криволинейного и горизонтального участка, соответствующего исчерпанию несущей способности (см. рис. 2.5.2). Переход от упругого состояния к полностью пластическому нас интересовать не будет поэтому мы заменим эту диаграмму подобной той, которая изображена на рис. 5.6.1. Это значит, что мы считаем, как будто балка совсем не деформируется, пока изгибающий момент меньше чем и получает возможность неограниченно изгибаться, когда момент достигает этого предельного значения. [c.163]

Составить выражения изгибающего момента в произвольном сечении балки при действии сплошной момеитной нагрузки в вертикальной плоскости. Интенсивность нагрузки изменяется по треугольнику с наибольшей величиной Шй". 1) на правом конце, 2) на левом конце. Построить для указанных случаев эпюры Q и М и проверить дифференциальную зависимость между ними. [c.93]

Из выражений (XIII.12) и (XIII.13) следует, что изгибающие моменты и прогибы линейно зависят от поперечных сил и нелинейно — от сил продольных. Такой вывод можно сделать в любом случае продольно-поперечного изгиба балки. Особенность нелинейной зависимости состоит в том, что при увеличении 5 в определенное число раз изгибающие моменты и прогибы могут увеличиваться в большее число раз. [c.383]

Для определения мест появления пластических шарниров следует построить эпюру предельных изгибающих моментов величина которых определяется в зависимости от размеров сечений по выражению (21.21). Учитывая возможность раскрытия пластических шарршров в разные стороны, эпюру строят на обеих (верхней и нижней) сторонах балки. [c.566]

Е сли на некотором участке балка несет Ьплошную равномерно распределенную нагрузку, то = onst. Тогда зависимость Q от z выразится уравнением первой степени (прямой линии), а зависимость от z —уравнением второй степени (параболы). Следовательно, на участке сплошной равномерной нагрузки поперечная сила Q меняется по закону прямой линии, а изгибающий момент — по закону параболы. [c.192]

После того как установлен закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при чистом изгибе, можно перейти к определению напряжений в зависимости от величины изгибающего момента в этом сечении. Мысленно рассечем балку некоторым поперечным сечением и выделим в нем произвольную элементарную площадку Af на расстоян.ии у от нейтральной оси X (рис. 100). Напряжение по этой площадке, согласно [c.109]

Далее, в том сечении, где интенсивность распределенной нагрузки q = dQldx = Q, поперечная сила Q максимальна или минимальна. Это следует из того, что при <7 = 0 касательная в эпюре поперечных сил параллельна оси абсцисс. На основании зависимости (164) можно по известной эпюре поперечных сил построить эпюру моментов, и наоборот. Однако построение эпюр Q и М делают независимо друг от друга, а зависимостью (164) пользуются только для проверки построенных эпюр. Перейдем к примерам построения эпюр Q и М. Пусть балка, защемленная одним концом, изгибается сосредоточенной силой, приложенной у свободного конца (рис. 115,(2). Построил эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. [c.200]

Построение эпюр моментов, продольных и поперечных сил. Для изгибающих моментов вместо правила знаков устанавливается следующее правило ординаты эпюры откладываются со стороны растянутого волокна изогнутого тержня. В случае необходимости ввести нак момента стержни рамы уподобляются балкам и отмечается нижнее и iepxnee волокно. Положительным считается момент, вызывающий растяжение л нижнем волокне. Продольная сила читается положительной, если она вы- ывает растяжение, отрицательной, — если вызывает сжатие. Поперечная сила считается положительно или отрицательной в зависимости от схемы (фи1. 24,й или соответственно 24, б). Если 1ама имеет свободный конец, то построение эпюр начинается от этого конца. [c.150]

На фиг 4—1о представлены графики зависимости отношения наибольшего изгибающего момента в oiia noM сечении балки уИщах к величине изгибающего момента, при котором начинают возникать пластические деформации iV[j = з-уИ от отношения прогиба в сечении, где [c.273]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...