Кривые второго порядка плоские

Так как все кривые второго порядка — плоские (плоскость, проходящая через три точки кривой, должна содержать всю кривую целиком), то простейшие пространственные алгебраические кривые — третьего порядка. Получить все возможные пространственные кривые третьего порядка можно на основе следующего предложения кривая и-го порядка проектируется из своей обыкновенной точки конусом я—1-го порядка. Действительно, плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечёт его только по образующим, проходящим через точки её пересечения с кривой число же их, не считая вершины конуса, равно п—1. Из этого же рассуждения видно, что если вершину конуса выбрать в особой, двойной точке кривой (узел и изолированная точка являются двойными, см. [1]), то порядок конуса снизится по сравнению с порядком проектируемой кривой на две единицы, так как на счёт вершины конуса придётся относить не одну, а две точки пересечения плоскости с кривой. Если Ж и — две точки кривой третьего порядка, то, проектируя её из этих точек, мы получим её, как пересечение двух конусов второго порядка с вершинами в точках уИ и имеющих общую образующую МЫ. Здесь кривая пересечения конусов распалась на пространственную кривую третьего порядка и на прямую — кривую первого порядка . Характерно то, что сумма порядков частей распавшейся кривой равна порядку полной кривой пересечения двух конусов второго порядка — четырём. Пример кривой третьего порядка мы видели на черт. 10, где два конуса второго порядка пересекались по образующей и кривой третьего порядка. Следующее за кривыми третьего порядка место по простоте занимают биквадратные кривые. [c.266]

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой и-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения в общем случае 2и-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка. [c.172]

Т е о р е м а Ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, представляет собой кривую второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса. [c.215]

Известно, что любая плоская кривая на поверхности второго порядка является кривой второго порядка. [c.258]

Кроме того, линия пересечения четвертого порядка может иногда проецироваться в кривую второго порядка (при этом не следует забывать, что кривые второго порядка могут быть только плоскими и могут распадаться на прямые, как на рис. 66 67). Эти случаи определены четвертой теоремой (см. п. 36.5). [c.76]

I. Плоские кривые. Все точки плоской кривой линии находятся в одной плоскости, определяемой любыми тремя точками плоской кривой, не лежащими на одной прямой. Наиболее часто встречающимися на практике плоскими кривыми являются кривые второго порядка окружность, эллипс, парабола и гипербола, а также различные закономерные кривые, такие, как синусоида, циклоида, архимедова спираль и др. [c.118]

В некоторых случаях линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на плоские кривые второго порядка. Тогда, если заранее известен вид этих кривых, можно избежать трудоемкого построения линии пересечения по точкам, а провести построение этих кривых по их основным элементам. [c.176]

Выясним условия, при которых линия пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на пару плоских кривых второго порядка. [c.195]

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. [c.197]

Рассмотрим, наконец, более сложный пример, в котором плоское движение осуществляется качением кривой второго порядка по кривой четвертого порядка. [c.205]

Первое означает, что кривая четвертого порядка распалась на четыре прямые, являющиеся линиями первого порядка. Это можно видеть на примере пересечения двух цилиндров второго порядка с параллельными осями. Но особенно важно распадение на две кривые второго порядка, на две плоские кривые. Условия, при которых это возможно, выражены в теоремах, приведенных ниже. [c.302]

Заметим, что всякая плоская кривая на поверхности второго порядка есть кривая второго порядка, и тогда справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, в силу которого сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. [c.303]

В данном случае имеем кривую четвертого порядка и известно, что одна ее часть есть кривая второго порядка. Следовательно, и вторая часть тоже будет кривой второго порядка, т. е. плоской кривой. Следствием теоремы 1 может быть следующее предложение если какая-нибудь поверхность второго порядка пересекается со сферой по одной окружности, то она пересечется с нею еще раз по другой окружности. [c.303]

Теорема 3. Если две поверхности второго порядка имеют касание в трех точках, то они касаются вдоль плоской кривой второго порядка), плоскость которой проходит через точки касания. [c.306]

Эту теорему можно использовать для доказательства других теорем. Особенно важным является ее следствие если две поверхности второго порядка касаются по линии, то линия их касания есть плоская кривая второго порядка. [c.306]

На фигурах 74—77 изображены меридиональные селения рассмотренных поверхностей плоскостью yi A M, Стрелками указаны направления, в которых параметры поверхностей уровня возрастают. Силовыми линиями в разобранных примерах будут плоские кривые, лежащие в меридиональных плоскостях, а именно, кривые второго порядка,, софокусные с меридианами поверхностей уровня. [c.174]

Если секущая плоскость пересекает носитель грани, совместное решение дает уравнение линии Li одного из следующих типов прямая, окружность, эллипс, парабола, две ветви гиперболы, пара параллельных прямых, две пересекающиеся прямые. Прямая — результат сечения плоской грани, окружность — сечения сферической грани или нормального сечения цилиндрической и конической граней. Пара параллельных прямых (две ветви гиперболы) появляются при сечении цилиндра (конуса) плоскостью, параллельной оси, эллипс — при наклонном сечении цилиндра или конуса, парабола —при сечении конуса плоскостью, параллельной образующей. Конкретный тип в случае кривой второго порядка распознается с помощью инвариантов уравнения второй степени малого дискриминанта [c.104]

Ребрами машиностроительных деталей в подавляющем большинстве случаев являются дуги окружностей и отрезки прямых, в том числе отрезки, аппроксимирующие пространственные кривые четвертого порядка. В практическом черчении плоские кривые второго порядка встречаются редко. Включение их в математическую модель графического документа усложняет ее структуру и приводит к необходимости разработки ряда дополнительных процедур для анализа видимости линий. Поэтому имеет смысл непосредственно перед проецированием аппроксимировать ломаной наклонные окружности, эллипсы, гиперболы и параболы, тем [c.110]

Включив кривые второго порядка в состав НФ, можно конструировать более сложные по сравнению с рассмотренными выше плоские фигуры. [c.45]

При решении некоторых задач аппроксимации незакономерных поверхностей приходится строить торсы, касающиеся этих поверхностей по заданным линиям. В этом случае заданную кривую можно разбить на участки плоских кривых второго порядка так, чтобы эти кривые сопрягались друг с другом по касательным, однако плоскости кривых окажутся при этом повернутыми друг относительно друга на некоторые углы. Дальнейшее построение сводится к построению торса по двум плоским направляющим кривым, лежащим в параллельных плоскостях, причем одной кривой является аппроксимированная заданная кривая, принадлежащая сложной поверхности, а другая строится как огибающая семейства касательных к ней [25]. [c.94]

Случаи пересечения цилиндра с цилиндром, цилиндра с конусом и конуса с конусом по двум плоским кривым. Эти случаи характеризуются теоремой о двойном прикосновении Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания . Заметим, что шары, [c.224]

Использование захватных органов различного конструктивного оформления значительно расширяет диапазон применения транспортных роторов для передачи деталей сложных форм. Существующие конструкции транспортных роторов позволяют передавать объекты обработки между соседними технологическими роторами по плоской кривой второго порядка, близкой к спирали Архимеда, логарифмической или гиперболической спирали. [c.232]

Метод Роберваля построения касательных к плоским кривым. Рассмотрим способ построения касательных к плоским кривым второго порядка. Каждую такую кривую можно рассматривать как траекторию материальной точки, находящейся в сложном движении. Абсолютная скорость движения точки по такой кривой будет определять направление касательной к кривой. Для определения направления абсолютной скорости движение материальной точки представляют как сумму двух более простых движений, направления которых могут быть известны. [c.61]

Для плоского напряженного состояния поверхность напряжения представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси нулевого напряжения, и направляющей в виде кривой второго порядка. [c.94]

В пересечении кривой поверхности с многогранником получается несколько участков плоских кривых второго порядка, сходящихся между собой в точках, лежащих на ребрах многогранников. [c.101]

Теорема о двойном прикосновении. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. [c.108]

Примером практического применения теоремы Монжа может служить построение линий пересечения воздуховода, выполненного из листового материала (рис. 112, в). Цилиндрическая труба / и две конические трубы II и III описаны около сферы с центром в точке 0 , а трубы IV я V — вокруг сфер с центрами 0 и О. Поэтому каждая пара труб пересекается по двум плоским кривым второго порядка, в данном примере — по эллипсам. [c.109]

Проекции плоских кривых. Важное прикладное значение имеют некоторые кривые второго порядка-эллипс, парабола, гипербола. [c.56]

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка. Эта кривая пересекается плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). Порядок линии пересечения равен произведению порядков пересекающихся поверхностей. Кривая четвертого порядка может распадаться на две плоские кривые второго порядка. [c.104]

Справедлива следующая теорема если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и по второй плоской кривой. Справедливость этого положения вытекает из того, что сумма порядков кривых, на которые распалась линия пересечения поверхностей, должна равняться четырем. Следовательно, должна существовать другая плоская кривая второго порядка, по которой пересекаются данные поверхности. [c.104]

Необходимо отметить следующую закономерность если оси поверхностей вращения пересекаются и параллельны плоскости проекции, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде плоской кривой второго порядка. [c.105]

Аксонометрическая проекция поверхности второго порядка. Очерк поверхности второго порядка 2, изображенной на рис. 532 (наглядное изображение и проекция на плоскость Па), проецируется на плоскость аксонометрических проекций П цилиндрической проецирующей поверхностью 2, в которую вписана заданная поверхность. Проецирующая поверхность является также поверхностью второго порядка (см. /141/) и соприкасается сданной поверхностью по плоской кривой второго порядка а. Эта кривая является очерком поверхности 2 относительно плоскости П , а кривая а — ее проекцией на этой плоскости. Так как кривая а представляет собой линию пересечения цилиндрической поверхности второго порядка (Е) и плоскости (П ), то она оказывается также кривой второго порядка. [c.370]

Поверхности второго порядка. Эти поверхности проецируются на плоскость аксонометрических проекций цилиндрической проецирующей поверхностью, в которую вписана заданная поверхность. Проецирующая поверхность является поверхностью второго порядка (см. /161/) и поэтому соприкасается с данной поверхностью по плоской кривой второго порядка. Эта кривая является контуром изображаемой поверхности относительно плоскости П° ее проекция представляет собой кривую второго порядка того же вида. [c.193]

Пакет программ ФАП-К.Ф также разработан на базе языка ФОРТРАН и относится к программным средствам геометрического моделирования. Он может быть использован в системах автоматизированного конструирования и технологического проектирования, при решении сложных геометрических задач, составлении управляющих программ для станков с ЧПУ, для моделирования движения деталей узлов и механизмов, в задачах раскроя материала и т. д. [5]. В программах пакета используются геометрические переменные и операторы. Так,, все плоские ГО делятся па элементарные ГО (ЭГО), ломаные, лекальные кривые, составные ГО (СГО) и конструктивные ГО (КГО). ЭГО включают точку, прямую, окружность, кривую второго порядка, вектор. Из элементарных ГО, ломаных и лекальных кривых могут быть по.тученЕ.1 СГО. Конструктивный ГО — плоская [c.166]

Теорема 3 (теорема Г. Мовжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. [c.127]

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвертого порядка, т. е. эта кривая пересекается с плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). В частных случаях линия пересечения поверхностей второго порядка может распадаться, причем особый интерес представляет случай ее распадания на пару плоских кривых второго порядка. [c.194]

Таким образом, ймеем двойное прикосновение данных поверхностей и, следовательно, линия их пересечения распадается на пару плоских кривых второго порядка. В рассматриваемом примере линия пересечения распадается на пару эллипсов АВ и D, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых Л2В2 и Сг г- [c.198]

Доказат льст 0. Возьмем произвольную плоскость Г L i (рис. П4). Эта плоскость пересечет прямую I в точке L — t (] Г, которая при вращении вокруг оси i опищет параллель р с центром в точке О, где О — i (] Г. Известно, что порядок алгебраической поверхности определяется порядком ее плоской кривой, и так как в рассматриваемом случае плоской кривой служит кривая второго порядка (параллель), то и порядок полученной поверхности будет равен двум. [c.91]

Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, то эта линия - кривая четвёртого порядка. В ряде случаев кривая распадается на несколько лишш более низких порядков. Для технических задач важно распадение на две кривые второго порядка, на две плоские кривые. Условия, при которых это возможно, выражены в следующих теоремах. [c.102]

При рассмотрении плоских алгебраических кривых важное значение имеет определение порядка кривой. Это определение может быть выражено как алгебраически порядком кривой называется степень ее уравнения, так и геометрически порядком плоской алгебраической кривой называется число точек пересечения кривой с прямой линией. При этом надо иметь в виду, что в число точек пересечения включаются точки сдействительными и мнимыми координатами. Предположим, что имеется кривая второго порядка — эллипс. Уравнение эллипса — второй степени , уравнение прямой линии — первой степени. Система этих уравнений определяет координаты двух общих точек эллипса и прямой линии, причем эти точки могут быть действительными различными (прямая т — секущая), действительными совпадающими (прямая I — касательная) или мнимыми (прямая д расположена вне эллипса) (рис. 207). [c.164]

Коникограф обладает значительно большей универсальностью при вычерчивании кривых второго порядка. Коникографом называют механизм для вычерчивания кривых конических сечений. С его помощью можно вычерчивать эллипсы, параболы и гиперболы. Коникограф, представленный на рис. 2-9, является плоским многозвенным шарнирным механизмом. [c.26]

При взаимном пересечении поверхностей вращения второго порядка получается в некоторых случаях распадение линии пересечения на две плоские кривые второго порядка. Эго бывает в тех случаях, когда обе пересекаюшлеся поверхности вращения (цилиндр и конус, два конуса, эллипсоид и конус и т. п.) описаны вокруг общей для них сферы. В примерах, приведенных на рис. 403, [c.277]

Известно [68], что при 2/ 1 1,8 в инженерных расчетах теплопередачу через цилиндрическую стенку можно считать по формуле плоской стенки. Для дымовых труб всегда d2ldi< l,S, и потому теплопередача в дальнейшем рассматривается на примере расчета многослойной плоской стенки при стационарном тепловом режиме с линейным распределением по толщине конструкции. В отдельных случаях, например для газоотводящих труб маневренных ТЭС, будет наблюдаться нестационарный тепловой режим, распределение температур внутри стенок будет соответствовать кривым второго порядка, а решение задачи теплопередачи в трубе становится более сложным [71]. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...