Уравнения траектории точки в координатной

Требуется найти уравнение траектории точки в координатной форме, скорость и ускорение точки в зависимости от ее положения, уравнение годографа скорости точки. [c.111]

Возводя os kt и sin kt в квадрат и складывая их, получаем уравнение траектории точки в координатной форме [c.222]

Если из этих уравнений исключить время (, то получим уравнение траектории точки в координатной форме (рис. 197) [c.224]

Решение. Найдем уравнение траектории точки в координатной форме, исключая время из уравнений движения [c.231]

Определение траектории точки. Рассматривая в уравнениях движения точки (1) или (2) время 1 как параметр, мы замечаем, что эти уравнения будут являться уравнениями траектории точки в параметрической форме. Исключая время i из уравнений (1) или (2), мы получим уравнение траектории точки в координатной форме, т. е. в виде зависимости только между координатами точки. [c.230]

Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить ее траекторию [c.159]

Е. М. Никитин, 56). Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определить радиус [c.225]

Задача № 36. По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории [c.132]

Уравнения (1.2) представляют собой параметрические уравнения траектории точки в которых роль параметра играет время t. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, надо из них исключить параметр t. [c.15]

Е. М. Никитин, 59). Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу [c.194]

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки. Если движение точки задано координатным способом (1, 59), то для перехода к естественному способу необходимо определить 1) уравнение траектории точки, 2) положение точки в начальный момент времени (координаты х , у , г точки А) и 3) закон движения точки по ее траектории. Как определить уравнение траектории точки по заданным уравнениям (1, 59), нам уже известно. Для [c.251]

Решение. Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время i из уравнений движения. [c.76]

Написанные уравнения называются конечными уравнениями движения точки, или законом движения точки в координатной форме задание этих уравнений вполне определяет движение точки в данной среде. Геометрическое место точек среды, с которыми движущаяся точка, совпадает в различные моменты времени, носит название траектории, описываемой точкой в среде. Уравнения движения (5.14) представляют собой в то же время уравнения траектории в параметрической форме. Чтобы написать уравнения траектории в форме, содержащей в качестве переменных лишь координаты тачек, т. е. не параметрические уравнения траектории, нужно исключить время t из уравнений движения (5.14) тогда мы получим [c.49]

Уравнения (6 ) определяют абсолютную траекторию точки в параметрическом виде, так как координаты, Уо , о и Xi, з, , Zj, так же как и направляющие косинусы а/, (3,, являются функциями независимого параметра — времени. Для определения абсолютной траектории точки М в координатной форме надо исключить из уравнений (6 ) время. [c.444]

Укороченную эпициклоиду MFE (рис. 1, б) можно представить также в плоском движении как траекторию точки М, принадлежащей неподвижной окружности 2, на подвижную плоскость окружности у, обкатывающейся без скольжения по окружности 2. Обкатывание окружности 1 таким способом можно уподобить движению сателлита с центроидой Г1 в планетарном механизме, у которого радиус водила Гз раве.н расстоянию между центрами окружностей Oj и О2. Для написания уравнения траектории точки М в этом случае свяжем оси Xi и г/l прямоугольной системы координат с центроидой 1, при этом центроиду 2 будем рассматривать в неподвижной координатной системе осей Х2, Проходящей через точку М и г/г. Начала координат совместим с центром сателлита Oi и центральной осью планетарного механизма О2. В начальном положении центроиды 1 и 2 касаются в точке С после поворота водила на угол ij)3— Ф1 касание окружностей происходит в точке Д. Из рис. 1, б ясно, что [c.82]

Для определения траектории точки, движение которой задано в координатной форме, применяют два метода. По одному из них в уравнениях движения дают аргументу t различные частные значения и вычисляют соответствующие значения функций (координат). Затем отмечают положения точки по ее координатам. Следовательно, кинематические уравнения движения точки можно рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время t как независимый переменный параметр. [c.22]

Иногда при движении точки, заданном в координатной форме, требуется определить не только траекторию точки, но и уравнение движения точки по траектории. Для этого надо продифференцировать уравнения движения точки (5) в прямоугольных координатах, т. е. надо определить dx, йу, dz и подставить их в известную из курса математики формулу , определяющую длину элемента дуги, [c.22]

Найдем теперь область достижимости в координатном пространстве при фиксированном значении скорости V (все точки координатного пространства, через которые можно провести траекторию из заданной начальной точки с заданной начальной скоростью). С этой целью воспользуемся уравнением траектории, зафиксируем значение х и найдем максимум функции J/(tgl ). Он имеет место при [c.173]

Если исключить из уравнений движения время I, то получим уравнение траектории в координатной форме [c.230]

Траектория точки Л4д/И в координатной форме выражается уравнением и двумя неравенствами [c.103]

Конечно, существует непосредственная связь между векторным и координатным способами определения движения точки в пространстве. Легко заметить, что траектория движения точки есть годограф радиуса-вектора точки ). Уравнение (И.2) является уравнением годографа г=г (/) в параметрической форме. [c.73]

Рассмотрим теперь связь между естественным способом определения движения точки в пространстве и первыми двумя способами. Достаточно рассмотреть связь между естественным и координатным способами. Предположим, что заданы уравнения движения точки (II.2). Как уже было указано выше, эти уравнения вполне определяют форму траектории точки М и ее положение в пространстве. Остается найти уравнение (П.9), определяющее закон движения точки по траектории. Выберем некоторый начальный момент времени 4. Этому моменту времени соответствует опреде- [c.74]

Уравнения (20 ) определяют траекторию движения точки в параметрической форме, причем роль параметра играет время t. Для того чтобы определить траекторию в координатной форме, нужно исключить из уравнений (20 ) время t. Для определения закона движения a = f t) воспользуемся известным выражением для дифференциала дуги [c.313]

Решение. Точка движется по пространственной кривой, так что ее траектория в координатной форме задается пересечением двух поверхностей. Исключая время из первого и второго, а затем из первого и третьего уравнений (1), получаем [c.317]

Наконец, при прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет описываться одним уравнением (2), полученным выше (координатный и естественный способы задания движения в этом случае совпадают). [c.142]

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения. Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если ее движение задано уравнениями (3) или (4). Вопрос об определении траектории в этом случае был уже рассмотрен в 59. [c.149]

Уравнения (9.1) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время Если требуется определить уравнение траектории в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время [c.147]

Заменив в координатной кривой S2 = h все векторы V векторами второй степени V = V , мы получим траекторию точки Q, по которой построим конус вертикальной линии. Но будет гораздо проще получить уравнение этого конуса сразу, воспользовавшись теоремой 6 [c.104]

Так как траекторией точки будет в этом случае плоская кривая, то, предполагая, что плоскость, в которой расположена траектория, есть координатная плоскость хОу, мы получим из (27) проектированием на оси Ох и Оу следующие два уравнения [c.83]

Уравнения (13 ) задают траекторию точки в параметрической форме, параметром является время t. Для того чтобы определить траекторию в координатной форме, надо исключить из уравнений (13 ) время t. Для определения закона движения точки по траектории р = p(t) воспользуем- [c.326]

В результате описанных действий нам удалось найти из уравнений движения зависимость скорости от углового положения тела на траектории. Если зависимость г(<р) представляет собой полярное уравнение траектории тела на координатной плоскости х, у , то аналогичная зависимость для скорости у(<р) представляет полярное уравнение так называемого годографа скорости на плоскости и , иу . Немного поразмышляв, нетрудно сообразить, что геометрически формула (12) представляет собой окружность радиусом Но е/2 с центром на вертикальной оси в точке еуио(1-е/2) (рис.1). При движении тела по траектории радиус-вектор его положения поворачивается из начальной точки на угол <р. Вектор, изображающий скорость тела, поворачивается при этом из начального положения на вертикальной оси в положение ОУ и представляет собой векторную сумму постоянного вектора ОС, направленного вдоль вертикальной оси, и вектора СУ, направленного вдоль радиуса из центра окружности С. Самое важное в том, что это второе слагаемое в векторе скорости поворачивается вместе с радиусом-вектором положения тела и всегда ему перпендикулярно, опережая радиус-вектор на п12. [c.108]

По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на риоулке направление движения. [c.91]

Однако при движении точки по заданной плоской линии удобнее проектировать векторы уравнения (23.2) не на оси декартовых координат, а на естестве[[ные координатные оси, т. е. на направления касательной и нормали траектории, лежащих в плоскости кривой хОу. При этом касательную направляют в сторону возрастания другой координаты s = OiM, отсчитанной от произвольно выб-ран-ного начала отсчета Оь а нормаль направляют к центру кривизны траектории. [c.69]

От координатного способа задания движения точки нетрудно перейти к естественному способу. Из 1.26 известно, что, исключив время из уравнений движения x=/j(/), /=/2(0 получаем уравнение траектории Ф(х, г/)=0. Уравнение движения s =/( ) по этой траектории получаем следующим образом. Так как v=dsiai, то ds=ud/ подставив сюда значение v = vl- -vl, полученное из уравнений движения в осях координат, и проинтегрировав [c.97]

Пример I. Материальная точка массой т (рис. 12) движется в плоскости под дейс7 вием силы притяжения Р к неподвижной точке О. Сила изменяется по закону р = — mfeV (сила упругости), где г — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из точки О, и к — постоянный коэффициент. В начальный момент ( = О, X = I, у = О, Пж==0, Уу = Со. если начало координат выбрано в неподвижной точке О. Определить уравнения движения точки и уравнение ее траектории в координатной форме. [c.240]

Условия прямолинейности движения В предыдущей главе мы рассмотрели дифференциальные уравнения движения материальной частицы под действием заданных сил, когда движение этой частицы ничем не стеснено, не ограничено никаким заранее данным условием, или, как говорят, когда частица свободна. Теперь мы займёмся расЛютрением простейшего случая движения свободной материальной частицы, а именно того, когда эта частица движется прямолинейно. Если одну из координатных осей, например Oj , направим параллельно рассматриваемой траектории, то уравнения этой траектории будут [c.142]

Третий способ, получивший название координатного , состоит в следующем. Положение точки Л в пространстве определяется в прямоугольной системе координат заданием трех координат X, у, Z (рис. 1.3). При движении точки ее координаты изменяются во времени х — x t), у — y t), z z t). Эти функции, если они известны, определяют положение точки в пространстве в любой момент времени. Координатные уравнения лвижеиия можно рассматривать и как запись траектории движения. [c.10]

Решение задач. Как уже указывалось, для решения задач кинематики надо внать закон движения точки. Если движение задано естественным способом (дана траектория и закон движения вдоль траектории), то все характеристики движения (скорость, касательное, нормальное и полное ускорения) определяются по формулам, полученным в 66—68. Касательное и нормальное ускорения точки можно найти и в случае, когда движение задано координатным способом, т. е. уравнениями (3) или (4). Для этого по формулам (15)—(18) вычисляем v и w. Беря производную по времени от [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...