Разложение в прямой интеграл

РАЗЛОЖЕНИЕ В прямой ИНТЕГРАЛ [c.45]

Одна из формулировок спектральной теоремы дается в терминах разложений в прямой интеграл. Именно, для любого самосопряженного оператора Н в И существует разложение (1), в котором оператор ТНТ действует как умножение на А. При этом FE X) сводится к умножению на индикатор хх множества X, так что в согласии с (2) [c.46]

Рассмотрим теперь вопрос о представлении ограниченных операторов Л в виде интегральных операторов в разложении в прямой интеграл. Точнее, в связи с применениями в теории рассеяния будем говорить о ядрах операторов в раз- [c.48]

Как и в самосопряженном случае, коммутирующий с (7 ограниченный оператор А в разложении в прямой интеграл действует как умножение на а(//), причем для любых / дЕН [c.82]

Будем исходить из теоремы 5.5.3. Пусть оператор T z) задается формулой (2.8.4) . Как и в 3, предположим вначале, что V = HJ — JHq G 6i. Тогда в силу теоремы 6.1.9 и следствия 6.1.11 для любой факторизации V = G Gо на сомножители класса 02 выполняются условия теоремы 5.5.3. Тем самым равенством вида (5.4.6) в разложении в прямой интеграл [c.305]

Рассмотрим теперь диагонализирующее оператор разложение подпространства в прямой интеграл [c.107]

ДЛЯ матрицы рассеяния 5(Л). Пусть Н разложено в прямой интеграл (4.2), так что /о 1о Х). Поскольку оператор коммутирует с Но и аннулируется на Н о , в этом разложении ему отвечает семейство ограниченных операторов и (Х) [ о(А) — f o(A). Поэтому [c.124]

В приложениях иногда удобно формулировать достаточные условия Я-гладкости в терминах диагонального для Я разложения 7 в прямой интеграл. В связи с этим вводится понятие усиленной Н-гладкости. Предположим, что на компактном интервале Л = [а, 6] спектр оператора Я абсолютно непрерывен и имеет постоянную (возможно, бесконечную) кратность к. Рассмотрим (см. 1.5) унитарное отображение [c.173]

Обсудим условия того, что какой-либо оператор А является интегральным в диагональном для самосопряженного оператора Я разложении гильбертова пространства в прямой интеграл. Точнее, в связи с применениями в теории рассеяния вместо А в разложении (1.5.6) рассматривается оператор РАР, [c.212]

Здесь мы обсудим реализацию ядерных операторов в виде интегральных в разложении гильбертова пространства в прямой интеграл. Излагаемые сведения понадобятся в следующем параграфе при изучении МР для ядерных возмущений. [c.299]

Пусть Я—произвольный самосопряженный оператор, а (1.5.6)—разложение его абсолютно непрерывного подпространства в прямой интеграл. Для ядерного оператора А в И будем строить ядро оператора РАР. Как и любой оператор Гильберта—Шмидта, ядерный оператор РАР является интегральным (см. п. 5 1.6), причем для его ядра величина (1.6.16) конечна. Сейчас, однако, важно приписать ядру а( /,г/) значения на прямом произведении ЛхЛ, где Л—какое-либо множество полной меры в а. [c.299]

Оно имеет период 2тг, если а и 6 выбраны постоянными, и тогда решение (8) является тривиальным разложением но степеням функций и при А = г. С другой стороны, теорема существования 14 дает прямое разложение в ряд решения но степеням е и е с а = А +..., причем А есть чисто мнимое собственное значение. Очевидно, что решению (8) могут соответствовать собственные значения г. Впрочем, фактически у пас г являются даже многократными корнями, в связи с тем, что в решении (8) а и 6 могут быть линейными функциями времени но это замечание нока еще нельзя доказать, так как в 14 шла речь только о простых собственных значениях. Существование собственного значения А = О также имеет свою причину мы йотом покажем, что это следует из интеграла площадей. [c.156]

Вычисление средних от экспонент (8.2), (8.2а) в общем случае нетривиально. Прямой метод состоит в разложении экспоненты в ряд Тейлора по степеням моментов (2) , где Е — стоящий в экспоненте интеграл. Переписывая (Е) через многократные интегралы, получаем, например, в случае (8.2) при (o(i) = = —ua(t), где и — детерминированная функция i. [c.118]

Такое разложение Н в прямой интеграл будем называть диагональным для Н или его спектральным представлением. Отметим, что в диагональном для оператора Я разложении (1) мера т должна иметь спектральный тип Я. Лля операторов Я с простым спектром dimf)(A) = 1. В этом случае Я можно реализовать как умножение на А в пространстве L2(M im) (см. пример в 3). [c.46]

Диагонализующее С/ разложение Н в прямой интеграл строится (ср. с (5.1)) по отношению к мере, заданной на Т. В частности, на абсолютно непрерывном подпространстве роль (5.3) играет равенство [c.82]

Подстановка этого разложения в исходное уравнение движения (3.58) приводит к системе несвязанных модальных уравнений, решение которых может быть получено прямыми методами интегрирования, рассматриваемыми ниже, или с использованием интеграла Дюгамеля. [c.113]

Ядро в выражении для смещений можно вычислить или при помощи разложения в ряд (6.8), или прямым численным методом [17, 18], но обе эти п]роцедуры неудовлетворительны для обычного численного расчета. В [16] приведено эффективное и изящное вычисление контурного интеграла в (6.8). Для этого вводится функция [c.164]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

Этот момент соответствует переходу от докритического к сверхкритическому течению или наоборот. Например, при обтекании тонкой нехолодной пластины с гладкой формой передней кромки разложения в ряды решения в окрестности передней кромки содержат произвольную функцию, так как течение докритическое. (Это прямое обобщение результатов работы [Нейланд В.Я., 1970, в] на случай пространственного течения.) Однако при сходе пограничного слоя с задней кромки крыла скорости в следе растут и на некоторой звуковой поверхности (линии на плоскости С) происходит переход к закритическому течению. Выбор произвольной функции должен осуществляться из условия одновременного выполнения (7.32) (для максимального значения интеграла) и (7.33). Таким образом, область влияния замкнута. [c.320]

Иногда удобно сведение прямого интеграла (6) к сумме векторных пространств типа 2- Именно, пусть борелевское множество ак, Аг = 1, 2,..., оо, состоит из тех точек Л, для которых с11т[ (А) = к, т.е. кратность спектра Я в точке А равна к. Отождествляя ( (А) при А Е гJb с одним и те м же пространством вместо (6) получим разложение [c.48]

Если в однородном и изотропиом случайном поле выделить какую-либо прямую линию и значения поля рассматривать лишь на этой прямой, то в результате получим случайную функцию одного переменного х. К ней можно применить все результаты, относяш,иеся к стационарным случайным функциям. В частности, можно записать разложение корреляционной функции в интеграл Фурье [c.37]

Прямой аналитический подход был использован Артманом (1950). Исходя из эвристических соображений, сходных с приведенными в разд. 17.21, он дает полное решение задачи о рассеянии идеально проводящим круговым цилиндром. Если пе считать разницы в обозначениях, это решение тождественно решению, приведенному в разд. 15.33. Для больших расстояний и малых углов дифракции сделаны приближения, а суммирование по п за1менено интегрированием. Из этого интеграла выделена часть, дающая обычную дифракцию, и часть, дающая краевую волну. Главная трудность заключается в оценке последней части интеграла с помопхью асимптотических разложений функций Ханкеля для больших кЯ и для значений кЯ — п , которые [c.411]

Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Зто- газ из частиц, взаимодействующих по закону / = а/г ). Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц (определенное по классической механике) обратно пропорционально их относительной скорости Уотн, а потому фигурирующее в интеграле столкновений произведение оказывается зависящим только от угла рассеяния 6, но не от Уотн- В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров постоянной а, массы частиц т и скорости Уотн- Из этих величин нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комбинацию с размерностью площади Уо (сс/т) / ей и должно быть пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопроводности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми членами разложений (10,7) и (10,13) ). [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...