ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Разложение в прямой интеграл из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Вектор-функцию /(Л) = (JT/)(A) будем называть представителем элемента f 7i в разложении (1). [c.46] Такое разложение Н в прямой интеграл будем называть диагональным для Н или его спектральным представлением. Отметим, что в диагональном для оператора Я разложении (1) мера т должна иметь спектральный тип Я. Лля операторов Я с простым спектром dimf)(A) = 1. В этом случае Я можно реализовать как умножение на А в пространстве L2(M im) (см. пример в 3). [c.46] Здесь предполагается, что подынтегральная функция в (11) измерима по двумерной мере Лебега на (Т х o, а сам повторный интеграл сходится. Оператор-функцию a(/i,i/) будем называть ядром оператора РАР. Иногда, допуская некоторую неточность, мы и сам оператор А называем интегральным. [c.48] Пусть для (Л/,д) выполняется представление вида (И), но с переставленным порядком интегрирований. Тогда в соответствии с принятым определением интегральным оказывается оператор Л (или, точнее, РЛ Р), причем его ядро равно а (г/,/1). В частности, если справедливо (11) и повторный интеграл не зависит от порядка интегрирований, то оба оператора А и Л будут интегральными. [c.49] Лемма 3. Если ядро а(/1,г/) оператора РАР существует, то оно определяется однозначно с точностью до множества нулевой меры в квадрате аха. [c.49] Мы не обсуждаем здесь условия, при которых оператор является интегральным. Достаточные условия, обеспечивающие сразу и некоторые специальные свойства его ядра, будут указаны в 5.4. [c.50] Отметим, что операторы Д(г) V — Л при г 6 р Н) и (5(А, ) V - 1) при О ограничены. Поэтому для ограниченного оператора А V V произведение К г)АЕ г), г Е / (Я), будет ограниченным оператором в И, Аналогичным образом для ограниченного оператора А произведение Е(Х)АЕ У) будет ограниченным оператором в 7 , если ограничены множества X и У. [c.51] Многие соотношения 3,4 автоматически распространяются на элементы из V или даже . Так, соотношения (3.10), (3.12) и (3.13) верны для любых элементов /,д Е , а соотношение (4.11)—для любых /,д Е V. [c.51] Вернуться к основной статье