Максимум п минимум функций

Равенства (4) являются необходимым (но не достаточным) условием экстремума (максимума или минимума) функции П. Отсюда мы приходим к следующему заключению если в данном положении консервативной системы ее потенциальная энергия достигает экстремального [c.773]

Допустим, наконец, что в положении Му три уравнения (2) удовлетворяются, но что соответствующее значение i/ не является ни максимумом, ни минимумом функции и. Тогда в окрестности точки Му существуют две области А п В (рис. 63, в) такие, что в одной из них, например в А, функция и принимает значения, меньшие чем 1/у, а во второй В — значения, большие чем i/ . Эти две области разделяются поверхностью уровня Е, на которой [c.114]

Сопоставим теперь с проектированием по методу кратного интерполирования проектирование механизмов по мертвым положениям или максимуму и минимуму функции положения. Каждому максимуму функции положения соответствует два условия (одно — по координатам, и другое — по условию горизонтального расположения касательной), поэтому, хотя механизм проектируется по двум точкам функции положения ввиду специального расположения в них касательных, это проектирование должно приводить к множественности решений в виде семейства механизмов, что, как знаем, на самом деле и имело место (см. гл. IV, п. 11). [c.256]

Необходимые условия максимума или минимума функции Ф дают систему п + k уравнений с неизвестными х, у, t, Я, [c.214]

Как видно из рис. 118, особые точки типа центра и седла чередуются на оси абсцисс. Это чередование является простым следствием чередования максимумов и минимумов функции П(х). Далее, внутри замкнутой фазовой траектории всегда находится нечетное число особых точек, причем число центров на единицу больше числа седел. Пусть, например, на фазовой плоскости имеется одна замкнутая траектория, пересекающая ось Ох в точках а и р. В этих точках функция Л - П(х) обращается в нуль. Следовательно, между аир лежит по крайней мере одна точка (или нечетное число таких точек), в которой обращается в нуль П (х). Из геометрических соображений очевидно, что если внутри замкнутой кривой такая точка одна, то она обязательно будет центром, соответствующим изолированному минимуму потенциальной энергии. [c.481]

Исследование положений равновесия на устойчивость. Исследуем на устойчивость положения равновесия в интервале О < ф < п. Для этого определим вид экстремума функции П (ф) (максимум или минимум) в положениях равновесия. Составим вторую производную от П по ф [c.310]

Таким образом, положения равновесия голономной системы могут быть только при тех значениях обобщенных координат д, д ,. .., при которых и силовая функция V, и потенциальная энергия П имеют стационарные значения, в частности, экстремальные — максимум или минимум. Причем, если 11 достигает максимума, то П достигает минимума, и наоборот. [c.337]

Еслн X = X.J, является точкой локального минимума функции П(з ), то точка (а , 0) на фазовой плоскости будет особой точкой типа центр д.ия системы (10). Если же г = — точка локального максимума, то 0) — особая точка тина седло. [c.151]

Отсюда и из (4.57) заключаем, что соотношение (4.60) имеет место. Наличие седловой точки , р позволяет переставить местами максимум и минимум в (4.55). Значит, оптимальная функция Р определяется из условия максимизации по х скалярной функции Уг (Рж, х) аргумента х сЕ [0, 1]. Отметим, что по существу именно такой способ рассуждений и был реализован в п. 5, где вначале построен профиль 5о, минимизирующий прогиб в точке 1/2, а затем установлено, что пара (1/2, Sq) является седловой точкой посредством обоснования неравенства (4.31), являющегося аналогом общего условия (4.57). [c.213]

Тогда для случая равновесия мы имеем уравнение с П = О, которое показывает, что система должна занимать такое положение, чтобы функция П была, вообще говоря, максимумом или минимумом [ ]. [c.95]

Таким образом данная проблема механики ) сводится к простой задаче на максимумы и минимумы, разрешение которой зависит только от вариации одной переменной z, являющейся согласно допущению функцией X VI у п. 35). [c.146]

Мы уже знаем, что если функция U( q) при частных значениях q координат q, т. е. при заданной конфигурации системы, дог пускает стационарное значение (в частности, максимум или минимум), так что исчезают лагранжевы составляющие Q действующих сил, то С" будет для системы конфигурацией равновесия (т. I, гл. XV, п. 28). [c.355]

На рис. 11.13, г показана одна из возможных реализаций случайной функции (11.205). Как видно из рисунка, образующая цилиндра детали в этом случае изменяется по косинусоидальному закону. На длине L вала погрешность профиля продольного сечения будет иметь п минимумов и п максимумов. [c.433]

Как известно, для выполнения соотношения (21) необходимо, чтобы обобщенные изменения кривизны и кручения, относительное удлинение и сдвиги Уу, а также функции депланации f (s) и Ф (л , у) удовлетворяли системе уравнений Эйлера—Остроградского. Действительно, если необходимо найти систему п функции г/i, (xi, 2,. . ., х,п) Уп ( 1. х ,. . л ) от т независимых переменных Xi, Х2,. . ., х,п, реализующих максимум или минимум кратного интеграла [c.81]

Относительно устойчивое (метастабиль-ное) состояние системы (например, переохлажденный пар, перегретая жидкость и т. п.) представляет собой состояние системы с относительным максимумом или минимумом соответствующей функции, характеризующей равновесие в данных условиях. [c.203]

Таким образом, при некотором Я. точка Хд есть решение уравнения (4.11). Отсюда вытекает правило множителя Лагранжа. А именно, рассматривается функция Лагранжа Z,(x, Х) = /(х) + Яф(х) переменных X, X и ищутся стационарные точки этой функции в пространстве п + 1 переменного х, X, т.е. ищутся рещения уравнения (4.11) при условии Ф (х) = 0. Для выяснения вопроса, какие из полученных точек являются точками максимума и минимума условного экстремума, используются дополнительные соображения геометрического, физического и тому подобного характера. [c.97]

Точка максимума п соответствует точке минимума функции S и отыскивается из решения уравнения [c.92]

Преимущество применения вариационного принципа 6/1 = О с функционалом (12.29) заключается в том, что 1[ содержит лишь функции координат, относительно которых проще делать предварительные предположения, нежели относительно /г кроме того, для некоторых задач с той или иной симметрией этот принцип сводится к принципу истинного максимума или минимума [49, 50, 52]. Наконец, часто удается связать значение, достигаемое 1 при й = и, с суммарными величинами, представляющими основной интерес (сопротивление, расход, поток тепла, вращающий момент и т. д.). Это вытекает из того факта, что РКи = Р/(/г, Аи = иКН, и( ) = П[/ о, где — источник в уравнении (10.1), а П — проектор на подпространство с базисом (а = 0, 1,. .., /V) (для простоты мы принимаем Но = 0). Таким образом, для 1г = Н имеем [c.257]

Если функция П независимых переменных q , q ,. .., при некотором положении системы, т. е. при некоторых определенных значениях этих переменных, достигает максимума или минимума, то ее частные производные по этим переменным будут равны нулю, и, следовательно, условия равновесия (207) будут выполнены. Отсюда приходим к заключению [c.559]

Найти неотрицательные значения п переменных Х , обращающие в максимум или минимум целевую функцию [c.108]

Как показал анализ, характер зависимости й) = ш(а) на одном периоде во всех просчитанных вариантах остается неизменным максимум 0) соответствует минимуму первой передаточной функции П/, а минимум со — максимуму П/. Функцию (й = (о(а) на [c.116]

Правила нахождения максимума и минимума для функции многих переменных, когда аргументы связаны условиями. Если дана функция г=/(х, у, () я поставлены условия ф(л , у, 0=0 и Х х, у, t)=0, то говорят об условном максимуме или минимуме (рис. П. 1.2). Для нахождения максимума или минимума составляют уравнения [c.191]

Это и является необходимым условием наличия экстремума. Но этого мало, и для существования относительного экстремума в точке х должно быть еще и д о-статочное условие, состоящее в том,- что если функция / (х) имеет п последовательных производных, причем (п —1) из них равны нулю, а п-я не равна нулю, то должен быть экстремум (максимум или минимум), смотря по тому, отрицательна или положительна эта п-я производная. [c.238]

Можно вьщелить 2 типа задач оптимизации - безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума функции (5.10) от п действительных переменных и определении соответствуюш,их значений аргументов на некотором множестве G -мерного пространства. Обьино рассматриваются задачи минимизации к ешм легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации — это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве G. Здесь рассмотрим только безусловные задачи оптимизации. [c.277]

Если же рассматривать спектральную плотность в шкале частот, то ее максимум соответствует минимуму функции и(л )=л (е —1), где х=Пы/ кТ)=кс/ ккТ) имеет прежний смысл. Положение минимума находится из трансцендентного уравнения д =3(1 — е "), которое имеет корень д = 2,821. Отсюда Ыт/Т = кХт/П = 2,82 к/Ь. Максимуму функции и, соответствует длина волны К, = 2пс1ыт = кс1 (кТх т)>>-т. Таким образом, максимум спектральной плотности в шкале частот сдвинут в длинноволновую сторону по отношению к максимуму спектральной плотности в шкале длин волн [c.433]

Дополнение 1. Максимум (или минимум) функции П(ж, у), существующий на 81 ) при < , непродолжим по параметру через особую точку О, если в ней он сливается с минимумом (соответственно, максимумом) функции П на 82 )- [c.325]

П)хть, в общем случае, С — кривая, обращающая интеграл в максимум или минимум. Выразим координаты х, у, г точки Л4 этой кривой в функции какого-нибудь параметра который изменяется в пределах от а до Ь, когда точка М описывает дугу АМВ. Обозначим через х, у, г гпопзводпые от х, у, 2 по q и [c.184]

Вторую вариаи.ию функции мы рассмотрим более подробно при обсуждении вопросов малых колебаний вблизи положения равновесия (см. гл. V, п. 10). Там мы найдем более точные критерии для различения максимума и минимума. Здесь следует, однако, отметить, что иногда исследование второй вариации является излишним, потому что наличие, скажем, минимума может быть известно заранее из самого характера задачи. Пусть, например, мы ищем минимум функции, состоящей только из положительных членов. Тогда заранее ясно, что эта функция должна иметь где-то наименьшее значение. Поэтому если условия существования стационарного значения выполняются лишь в одной точке, то эта точка и будет точкой минимума (см. гл. IV, п. 8). [c.64]

С другой стороны, уже в статике отмечалось (т. I, гл. IX, п. 19), что во всяком положении равновесия точки три частные произвол-ные от и должны обращаться в нуль, так что для всякого положения равновесия потенциал имеет стационарное значение. В частности, потенциал может иметь в этом положении максимум или минимум, но, как известно из анализа, это условие является только необходимым. Если в точке М для функции I/ имеет место действительный максимум, то справедливо известное предложение (теорема Дирихле), для доказательства которого используется только одно следствие уравнений движения, а именно упомянутый выше интеграл живых сил. Теорема эта следующая [c.134]

На любое из этих решений а распространяется замечание, вытекающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно, что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е. условие, выражаемое посредством одних только соотношений неравенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104) условие, что Н имеет для решения о действительный максимум или минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17) замечание о лагранжевых системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же самой главы, всякая такая лагранжева система определяет каноническую систему с характеристической функцией, не зависящей от t, и обратно. [c.324]

Если X = х является точкой локального минимума функции П(ж), причем dPli/dx > О при х = ж, то точка (ж, 0) на фазовой плоскости будет особой точкой типа центр для системы (10). Если же ж = ж — точка локального максимума и в ней d Ii/dx < О, то (ж, 0) — особая точка типа седло. [c.182]

При численной реализации изопериметрической постановки вариационных задач на ЭВМ могут возникнуть трудности с определением стратегии поиска экстремума вспомогательного функционала (2.1.55), так как характер экстремума (максимум или минимум) последнего не всегда совпадает с типом экстремума целевого функционала Int. В таком случае удобно применять один из проекционных методов, например В.Рища (п. П2.4), и использовать один или несколько коэффициентов разложения экстремалей целевого функционала по координатным функциям для безусловного выполнения ограничений, накладываемых на экстремали целевого функционала. Тогда численная реализация на ЭВМ решаемой задачи сведется к поиску экстремума целевого функционала с учетом всех ограничений. [c.193]

Распределение осевого потенциала двух- или трехэлектродной однопотенциальной линзы имеет типичную форму, показанную на рис. 101, с одним максимумом или минимумом в зависимости от того, выше или ниже потенциал среднего электрода, чем потенциал крайних электродов. (Для простоты рассмотрим только положительный потенциал.) Функция распределения асимптотически стремится к общему потенциалу крайних электродов Уь Отметим, что экстремальный потенциал С/ех1 ( тах или Vт п) не обязательно равен потенциалу Уг среднего электрода. Действительно, всегда имеем /тах<Уг и /тш>У2, а равенство — только для очень длинных средних электродов, которые практически никогда не используются. Распределение имеет две точки перегиба, где осевые компоненты электростатического поля достигают экстремумов. [c.422]

Выражения для компонент электромагнитного поля дифрагированной (рассеянной) волны получаются в виде разложений в бесконечные ряды по электрическим и магнитным мультиполям коэффициентами разложения служат слон<пые функции параметра р = 2лг/А, (г — радиус шара, к — длина волны) и показателей преломления образующего шар вещества п и окружающей среды По- Ряды сходятся очень медленно число членов, к-рые следует учитывать, приблизительно равно 2р, поэтому прп больших р необходимо применение вычислительных машин (опубликовано иеск. таблиц). При р 1 и пр < 1 существен только первый член ряда, т. е. электрич. диполь, что приводит к закону Рэлея, причем поперечные сечения рассеяния с и поглощения а пропорциопальны и соответственно (к — показатель поглощения вещества, образующего шар). Если р 1, но пр не мало, то при пр = кл (к — целое число) ст резко возрастает до о = бяг (резонансы Ми). С увеличением р рост о и а замедляется и сопровождается постеигапю затухающими осцилляциями. При р > 1 коэффициент ослабления а + о 2лг . Индикатриса рассеяния сильно зависит от р и от п. Если размеры шара близки к X, то характерной особенностью индикатрисы является большое количество резко выраженных максимумов и минимумов, имеющих интерференционную природу. При р а 1 индикатриса сильно вытянута вперед (индикатрисный эффект Ми) и при малых углах рассеяния приобретает отчетливо выраженный дифракционный характер. Столь же резкие изменения с ростом р испытывает поляризация рассеянной (дифрагированной) волны. При нек-рых р > 1 и для нек-рых углов рассеяния она оказывается отрицательной (поляризационный эффект Ми), т. е. плоскость поляризации совпадает с плоскостью рассеяния. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...