УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЕГО

Уравнение гармонических колебаний. Общее решение [c.119]

Как известно, уравнение (17,12) является уравнением простейших вынужденных гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид [c.308]

Уравнение (15) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид [c.409]

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний его общее решение имеет вид ф С, sin ( /)- -+ С, соз(Л ), Отсюда ц> = k os, (kt) — кС s n kt. [c.344]

Мы пришли к дифференциальному уравнению гармонических колебаний (и. 1.1 гл. XIV), общее решение которого дается формулой (14.4) [c.299]

Это уравнение гармонических колебаний с постоянной правой частью имеет общее решение вида [c.52]

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний его общее решение имеет вид ф = С,51п( /) + + os kt). Отсюда (p = k os kt) — k s mkt. [c.344]

Уравнение (3) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Его общее решение, как известно, имеет вид [c.360]

Общее решение этой системь уравнений описывает гармонические колебания [c.121]

Рассмотри.м уравнение (11.232). Это уравнение при е = 0 превращается в линейное дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний и имеет общее решение [c.284]

Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармонические колебания [c.242]

Задаваясь гармоническим законам изменения возмущающей силы, что соответствует наиболее неблагоприятному случаю периодически повторяющихся внешних воздействий, раскачивающих автомобиль, и считая, что колебания передних и задних точек кузова независимы (р = аЬ), можно найти общие решения уравнений (132). [c.29]

Книга посвящена подробному анализу математических основ теории упругости. На современном уровне математической строгости впервые с одинаковой полнотой рассмотрены трехмерные задачи статики, гармонических колебаний и общей динамики линейной теории упругости, термоупругости и моментной упругости. Методом многомерных сингулярных интегральных уравнений и сингулярных потенциалов, развитым в книге, исследованы общие вопросы теории и получены представления решений в рядах и квадратурах, допускающие эффективную реализацию на ЭВМ. [c.2]

Как известно, решение системы (6.66) слагается из общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. Решение однородной системы было рассмотрено в предыдущих параграфах. Поэтому рассмотрим только частное решение системы (6.66), которое и будет описывать вынужденные колебания. Сначала исследуем систему с одной степенью свободы, на которую действует вынуждающая сила, гармонически зависящая от времени. В этом случае уравнение движения имеет вид [c.301]

Мы рассмотрели лишь случай гармонического продольного колебания по закону (4.13) однако в упругом теле возможны колебания самого разнообразного вида. Действительно, самое общее решение уравнения (4.8) будет [c.99]

Исходное дифференциальное уравнение или система уравнений, составленные исходя из самых общих законов природы, является математической моделью класса физических процессов или класса явлений (например, класс теплопроводности, класс гармонических колебаний и т. д.). Интегрирование исходного дифференциального уравнения в общем виде дает бесчисленное количество решений, пригодных для данного класса явлений. Например, решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье дает решение, пригодное в общем случае для описания класса теплопроводности, а именно для теплопроводности при нагреве кузнечных заготовок, в стене здания, при нагреве штампов от горячих заготовок и т. д. [c.144]

Такого рода линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, описывающие вынужденные квази-гармонические колебания, в общем виде не решаются. Численное решение получено на аналоговой вычислительной машине МН-7. [c.51]

Общее решение уравнения (7) представляет собой гармоническое колебание [c.21]

Общее решение уравнения (10) опять представляет собой гармоническое колебание г1 =Л os (со +ф). Заметим, что из уравнения (11) следует со =сила на единицу смещения и на единицу массы, так как возвращающая сила для смещения oj) равна 2К . [c.23]

Переходный режим вынужденных колебаний. Мы хотим найти общее решение дифференциального уравнения для затухающего гармонического осциллятора, находящегося под действием внешней гармонической силы, при заданных произвольных начальных условиях л (0) и х(0). Общее решение является суперпозицией частного решения для установившегося состояния х 1) и общего решения A i t) однородного уравнения движения (уравнения свободных колебаний) [c.113]

Нормальные моды колебаний. —Пока мы отвлекались от граничных условий, можно было забыть, чго частота v может принимать любое значение. Если потребовать, чтобы было = О при ж = 0, то решение в общей форме (9.4) уже не годится любое гармоническое колебание уже не будет удовлетворять решению. Выражением для у, которым ну кно теперь пользоваться, будет уравнение стоячей волны вида (9.5) с углом Q, выбранным так, чтобы узловая точка совпадала с точкой опоры ж = 0, а именно [c.103]

Таким образом решением уравнения движения (36.2) является гармоническое колебание с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы (множитель sin(iy/ f р), в который они входят, в процессе подстановки сократился), но с вполне определенной круговой частотой, определяемой формулой (36.4). Наличие в решении (36.3) двух произвольных постоянных А н (р гарантирует, что это решение - общее и других решений [c.114]

Каждое из этах -равнений представляет собой дифференциальное уравнение гармонического осциллятора и имеет общее решение в форме гармонического колебания [c.121]

Таким образом, доказано, что решением уравнения движения (38.3) действительно является гармоническое колебание, описываемое формулой (38.4), в которой амплитуда А и начальная фаза (р определяются формулами (38.7) и (38.8) - это колебание называют вынужденным колебанием. В формуле (38.4) отсутствуют произвольные постоянные, и, следовательно, вынужденное колебание представляет собой не общее, а частное решение дифференциального уравнения (38.3). Можно показать, что [c.126]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

Для учета взаимодействия колебания и вращения в многоатомной молекуле с точки зрения квантовой механики необходимо применить волновое уравнение (2,275) с оператором Гамильтона в его наиболее общем виде (2,276). Уровни энергии получаются путем решения задачи о возмущении, причем в качестве возмущающей функции берется разность между оператором Гамильтона вида (2,276) и оператором Гамильтона для гармонического осциллятора и жесткого ротатора, [c.403]

Это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой настотой к его общее решение имеет вид [c.569]

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных А , А , i, г, определяемых по начальным условиям, да10т общее решение уравнений (145) и определяют закон мальа колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами Aj и и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если -42=0) и колебание будет гармоническим. [c.395]

Теперь мы можем построить общее решение линейного уравнения движения. В случае гармонических колебаний движение атомов в цепочке, в силу линейности уравнения движения, можно предстз Вить в виде суперпозиции бегущих волн типа (5.21), каждая из которых характеризуется волновым числом k, частотой со и амплитудой А . Тогда смещение мы можем записать в виде [c.149]

Решение уравнения (15) — это гармоническое колебание х= ==Лсо5(со -1-ф). Заметим, что на амплитуду А не наложено никаких ограничений. Она может быть очень большой, но возвращающая сила будет оставаться линейной. Заметим также, что частота поперечных колебаний, определяемая уравнением (16), совпадает с частотой продольных колебаний, определяемых уравнением (11). В общем случае это не так. Частоты совпадают лишь для приближения пружины , где предполагается ао=0. [c.25]

Простое гармоническое ДЕИжение, — В общем случае движение двух связанных осцилляторов не происходит по гармоническому закону. Зададимся вопросом, нельзя ли привести систему в движение таким способом, чтобы получить чисто гармонические колебания Ясно, что если двия ение осцилляторов гармоническое, то оба они должны совершать колебания с одной и той же частотой. Поэтому попытаемся найти решение уравнений (7.1) в виде X = , у = Для того чтобы уравнения (7.1) удовлетворялись, между коэффициентами А ж В должны иметь место зависимости (у — у )А = (у — )В = [c.72]

Решение в виде тригонометрического ряда. Перемещение и, за-висящее от координаты х и времени i, должно быть такой функцией X и которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (88). Частное решение этого уравнения легко найти, приняв во внимание 1) что в общем случае любые колебания системы можж> ралложить по собственным формам колебаний и 2) когда система совершает колебания одной из собственных форм, все точки совершают простые гармонические колебания и движутся в общем темпе, одновременно проходя через положения равновесия. Допустим теперь, что стержень совершает колебания одной из собствсппых форм, частота которых равна р/2л тогда решение уравнения (88) следует взять в виде [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...