Общее решение уравнения колебаний

Если р О, осциллятор находится под действием внешней периодической силы, и общее решение уравнения колебаний в этом случае складывается из общего решения однородного уравнения (т.е. при р = 0), что нами уже найдено, и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Необходимое решение будем строить следующим образом. В силу принципа суперпозиции интересующее нас частное решение будет представлять собой вещественную часть соответствующего частного решения следующего уравнения [c.172]

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 99 [c.99]

Общее решение уравнения колебаний [c.99]

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e" . Полагая в уравнении (67) л =e" получим для определения п характеристическое уравнение n - -k =0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми ( 1,2= = ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид [c.233]

Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Его общее решение, как известно, имеет вид х х +х , где Xi — общее решение уравнения без правой части, т. е. уравнения (76) [при k>b это решение дается равенством (81)], а х — какое-нибудь частное решение полного уравнения (91). Будем искать решение х в виде [c.244]

Каждое из уравнений системы (91) можно интегрировать независимо от другого уравнения. Общие решения этих уравнений, согласно теории дифференциальных уравнений, являются суммой общих решений уравнений без правых частей (собственные колебания) и частных решений уравнений с правыми частями (вынужденные колебания) [c.443]

Общее решение уравнения вынужденных колебаний [c.527]

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 529 [c.529]

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ 533 [c.533]

Случай, когда частота возмущающей силы не совпадает с частотой собственных колебаний, т. е. рфк. Общее решение уравнения (2) согласно теории линейных дифференциальных уравнений находится как [c.530]

Очень часто в реальных задачах большой практический интерес представляет переходный режим колебаний от момента приложения нагрузки до выхода системы на установившийся режим (стационарный режим, если он возможен) или до определенного момента времени. Например, если на стержень действует внезапно приложенная случайная по направлению и модулю сила и требуется выяснить, как будет двигаться стержень после ее приложения, то считать движение (колебания) стержня стационарными нельзя даже в том случае, если сила является стационарной случайной функцией. В общем случае случайные силы, действующие на стержень, могут быть любыми, в том числе и нестационарными, случайными функциями, у которых вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае вероятностные характеристики решений уравнений колебаний стержня (в том числе и уравнений с постоянными коэффициентами) также зависят от времени, т. е. являются нестационарными. Это существенно осложняет решение, так как воспользоваться спектральной теорией нельзя. [c.158]

Затухающие колебания. При п общее решение уравнения (9.2) имеет следующий вид [c.36]

При свободных колебаниях (х=0) характеристическое уравнение r + 2yr + % — Qi имеет пару сопряженных комплексных корней Г1,2=—y i]A)J —Y - Общее решение уравнения (13.2) согласно (i0.11) и (10.12) имеет вид [c.104]

Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармонические колебания [c.242]

Естественно, что после того, как получено общее решение уравнений малых колебаний в норма.тьных координатах в виде [c.371]

Таким образом, общее решение уравнений малых колебаний двойного маятника будет таким [c.506]

Если Z = О, то общее решение уравнения затухающих колебаний (33.1) в комплексной форме имеет вид [c.98]

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний призматической балки. Общее решение уравнения (17.221) представляем как бесконечную линейную комбинацию частных решений, имеющих вид [c.177]

Для случая, когда начало координат расположено у источника колебаний расхода, общее решение уравнений (2) для р и V может быть записано в виде [c.16]

Задаваясь гармоническим законам изменения возмущающей силы, что соответствует наиболее неблагоприятному случаю периодически повторяющихся внешних воздействий, раскачивающих автомобиль, и считая, что колебания передних и задних точек кузова независимы (р = аЬ), можно найти общие решения уравнений (132). [c.29]

Общее решение уравнений (570) и (571) получится сложением двух частных решений, представляющих главные формы колебаний. Таким образом, получим [c.245]

Общее решение уравнения (638) неизвестно, но на основании его и известных положений о квазигармонических колебаниях можем написать условия, при которых будет иметь место неуста-новившееся движение, связанное со значительными колебаниями и значительными динамическими нагрузками (параметрический резонанс). Параметрический резонанс будет иметь место при следующих отношениях средней частоты собственных колебаний ро к частоте изменения периодического члена в уравнении 2 [29] [c.275]

Для определения частоты колебаний единичной лопатки переменного профиля воспользуемся энергетическим методом, который хотя и является приближенным, но дает более простое решение задачи, чем интегрирование общего дифференциального уравнения колебаний. [c.121]

Как частный случай, решение (3.17) описывает свободные колебания системы с постоянными размерами / = О, /2 = /д. При этом общее решение уравнения фаз (3.21) имеет вид [c.96]

Общее решение уравнения без правой части мы уже получили это выражение (11.52). Оно соответствует собственным затухающим колебаниям системы. За достаточно большой промежуток времени собственные колебания практически затухнут и в (11.61) останется второе слагаемое. [c.345]

Так как в этом уравнении,— писал Лагранж, говоря о решении Д. Бернулли,— каждый член соответствует, так сказать, движению каждой точки струны, то следовало бы сначала дать общее решение проблемы колебаний струны, предполагая, что струна нагружена неопределенно большим числом тел,.. [c.269]

При выводе уравнения частот собственных колебаний изгиба четырехопорной балки с равными крайними пролетами можно вследствие симметрии рассматривать половину длины балки. Начало координат выберем, как показано на фиг. 2.31. Воспользуемся методом непосредственного составления уравнения частот. Общее решение уравнения (2. 49) запишем отдельно для участков [c.65]

Уравнение (80) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет х = Хх- -где x — общее решение уравнения без правой части, т. е. решение уравнения (62), даваемое равенством (64), а — какое-нибудь частное решение полного уравнения (80). [c.309]

Каждой паре комплексно сопряженных корней отвечает свое главное затухающее колебание. Поэтому общее решение уравнений (20.98) имеет при этих условиях такой вид [c.499]

Для свободных колебаний Р равно нулю и общим решением уравнения (5.1) в этом случае является [c.98]

Решение уравнения (5.1) представляется теперь в виде суммы двух членов частного решения этого уравнения и общего решения уравнения свободных колебаний. Последнее дается формулой (5.3) и [c.99]

Мы рассмотрели лишь случай гармонического продольного колебания по закону (4.13) однако в упругом теле возможны колебания самого разнообразного вида. Действительно, самое общее решение уравнения (4.8) будет [c.99]

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных А , А , i, г, определяемых по начальным условиям, да10т общее решение уравнений (145) и определяют закон мальа колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами Aj и и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если -42=0) и колебание будет гармоническим. [c.395]

Формула (IV.32), полученная для общего решения уравнения (IV.28), удобна для исследования. Сперва обратим внимание на общий характер движения точки М. Как видно из формулы (IV.32), отклонение х точки М. от положения статического равновесия с течением времени t уменьшается и стремится к нулю благодаря наличию множителя е . Поэтому колебания точки в этом случае называются затухаюш ими. Движение точки М в этом случае имеет периодический характер, но полностью периодическим его назвать нельзя, так как х, как видно из формулы (IV.32), не является периодической функцией времени. Поэтому мы лишь условно введем понятие периода такого движения. [c.337]

Это уравнение называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний. Решение его, как доказывается в курсе высшей. математики, состоит из суммы X](t) — общего решения уравнения (46.2) и X2 t) — частного репшния уравнения (47.2), т. е. [c.186]

VIh формуя (45) и (46) вытекают выводы, справедливые и при других условиях закрепления стержня. Система с непрерывным распределением масс имеет бесчисленное количество частот и фо[), колебаний. Каждой собственной частоте /> соответствует своя форма колебани11 у. Спектр собственных частот упругой системы — диск-peTHbrii, как ото следует из равенства (46). Разберем общее решение уравнения (4. i), которое запишем в виде [c.400]

Расчет по методу начальных параметров [6, 7]. Уравнение (57) имеет собственные значения pj, р , представляющие собой квадраты (круговых) частот колебаний диска. Общее решение уравнения (57) содержит четыре линейно независимых частных решения, причем собственные значения находятся из краевых условий. При однородных краевых условиях в начальном сечении г = Ra дотаточно сохранить два частных решения, удовлетворяющих этим условиям, [c.279]

Общее решение уравнений Ламе для установившихся не-осесимметрических колебаний по-лубесконечного цилиндра О [c.269]

Из 8ТИХ соображений мы также пропустили исследования вопроса в существовании общего решения уравнений теории упругости и об однозначности этого решения. Оставили без рассмотрения также общие методы интегрирования уравнений теории упругости и ограничились лшпт. подробным изложением ряда частных решений, могущих иметь непосредственное практическое приложение. По тем же соображениям нами пропущены исследования вопросов о строении упругих тел, о зависимости между упругими деформациями и сопровождаюлрши их тепловыми и электрическими явлениями, а также о распространении колебаний в упругой среде. [c.10]

В действительности, невозможно на практике изменить только величину а. Иначе говоря, если мы изменим (например с помощью передвижения контрольного стержня) величину з, мы тем самым будем также изменять Т , и тг)/. Однако изменения То и 7)/, как это видно из (17.49а) (17.495), обычно не являются существенными и, если это необходимо, мо1 ут быть учтены тем ке самым способом, что и изменение г (г). Для того чтобы упростить формулы, будем и дальнейшем предполагать, что То и 7)/ не изменяются со временем. Для произвольной зависимости г от времени не существует общего решения уравнений (7.49а) и (7.496). Однако приближенное решение задачи может быть найдено в том случае, когда плотиость нейтронов не изменяется слишком сильно, т. е. когда кмеют место малые колебания. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...