ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неподвижные точки периодических движений из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Чтобы лучше понять структуру зон, расположенных между кривыми Г , рассмотрим неподвижные точки отображения и его итераций. Эти точки соответствуют периодическим движениям качелей. [c.86] Исключая в окрестности неподвижной точки все члены, начиная со второго порядка, получим его линейную часть, то есть дифференциал. Дифференциал канонического отображения есть каноническое линейное отображение. Линейные канонические отображения рассмотрены в приложении 27. Если это линейное отображение гиперболично (соответственно, гиперболично с отражением, эллиптично), то говорят, что неподвижная точка называется гиперболической (соответственно, гиперболической с отражением, эллиптической). Несложно показать, что гиперболические неподвижные точки неустойчивы не только для линейной части отображения, но и для всего нелинейного отображения (Адамар). Проблема устойчивости эллиптических точек известна как проблема Биркгофа . В общем случае эллиптические точки двумерных систем являются устойчивыми (см. приложение 28). [c.87] Несложные вычисления показывают, что при этих значениях (называемых значениями параметрического резонанса , см. приложение 29) отображение действительно гиперболично в точке р = д = ). Иначе говоря, положение свободного равновесия качелей становится неустойчивым (а качели начинают колебаться), если приседать во время целого числа полупериодов собственных колебаний. Этот вывод эмпирически хорошо известен . [c.87] Рассмотрим теперь характер этих неподвижных точек выясним, являются ли они эллиптическими или гиперболическими. При = О все эти неподвижные точки параболические и соответствуют собственным значениям Л12 = 1. Следовательно, при достаточно малом е выполняется Л12 1 и гиперболический случай с отражением невозможен. [c.90] В неподвижных точках отображения функция имеет нули. [c.90] В общем случае эти нули простые (А = (1А/(1(р ф 0). Таким образом, нули, в которых Ы О, чередуются с другими нулями, в которых Ы 0. Следовательно, число неподвижных точек четно. [c.90] Следовательно, одна половина неподвижных точек имеет индекс +1, а другая — индекс —1. Это означает, что одну половину составляют эллиптические неподвижные точки, а другую — гиперболические неподвижные точки (индекс эллиптической точки равен +1, индекс гиперболической точки равен —1). Эллиптические и гиперболические неподвижные точки иллюстрируются на рис. 20.7. [c.90] Рассмотрим теперь эллиптическую неподвижную точку Т х — х. Траектория этой точки состоит из точек ж, Т х,. .., Т х. [c.90] Таким образом, все эти точки являются неподвижными точками отображения Т х и эллиптичны (все они имеют те же собственные значения, что и точка х). Это означает, что множество всех эллиптических неподвижных точек разделяется на орбиты, каждая из которых состоит из п точек. Пусть к — число таких орбит тогда число эллиптических точек равно кп а общее число неподвижных точек, как и было отмечено в 20.5, равно 2кп. [c.90] Рассмотрим теперь окрестности найденных выше эллиптических и гиперболических точек. Следуя В.И. Арнольду [7], каждая эллиптическая точка общего типа (см. также приложение 28) окружена замкнутыми кривыми, инвариантными относительно Т , Эти кривые образуют островки (см. рис . 20.10). Каждый островок в миниатюре воспроизводит всю структуру в целом — с кривыми Г, островками внутри этих кривых и т.д. [c.91] Неизвестно, обладают ли движения в зонах неустойчивости эргодичес-кими свойствами. Возможно, что среди эргодических составляющих встречаются системы с сингулярным спектром, а также Г-системы. [c.92] Замечание 20.11. Заметим, что существование бесконечного числа эллиптических островков при заданном 1 не следует из наших рассуждений. В силу последней геометрической теоремы Пуанкаре , в кольце, расположенном между инвариантными кривыми Г , существует бесконечное число неподвижных точек отображения Т (п оо) с индексом +1 (см. теорему 19.10). Однако может случиться так, что некоторые из этих точек будут не эллиптическими, а гиперболическими с отражением. Численные эксперименты , по-видимому, свидетельствуют в пользу такого вывода. [c.92] Следующие иллюстрации (рис. 20.12-20.14) заимствованы из работы Хе-нона и Хейлеса [1] на них изображены орбиты отображения типа Те, вычисленные с помощью компьютера. Все точки, расположенные не на кривых, принадлежат одной-единственной траектории. [c.92] Вернуться к основной статье