Сходимость операторов

Чтобы лучше уяснить различие между сильной и слабой сходимостью операторов, рассмотрим этот вопрос более подробно. Ясно, что из условия Л (/) [c.164]

При рассмотрении пределов произведения операторов нужно проявлять большую осторожность, чем при рассмотрении произведения пределов операторов. Из слабой сходимости операторов Л и В пе следует слабая сходимость оператора АВ чтобы убедиться в этом, достаточно, например, положить Л = - и считать, что А и В не обладают сильной сходимостью. Равным образом, сильная сходимость операторов Л и В не означает сильной сходимости оператора АВ из нее не следует даже слабая сходимость произведения АВ. Однако, используя неравенство Шварца, можно показать, что сильная сходимость операторов Аг и В означает слабую сходимость оператора АВ. [c.164]

Причина, по которой из сходимости двух операторов нельзя сделать вывода о сходимости их произведения, состоит в том, что эти сходимости могут быть неравномерными по отношению к выбору различных векторов в пространстве. Например, сильная сходимость оператора Л (i) означает, что для любых > О и У существует такое число Т, что для всех / >- Т [c.164]

Аналогичным образом определяется сходимость оператора A i) к Л. Говорят, что оператор A t) слабо сходится к Л [c.165]

Слабая сходимость операторов зависит от выбора обоих фиксированных векторов в матричном элементе. Сильная сходимость оператора А t) означает равномерность относительно выбора левого вектора состояния в матричном элементе, а сильная сходимость оператора А (О — равномерность относительно выбора соответствующего правого сомножителя. Сходимость по норме соответствует равномерности относительно выбора обоих сомножителей. [c.165]

Таким же образом можно исследовать сходимость оператора Нз (6.19), согласно (6.27) и (6.23), следует, что [c.167]

Какой является сходимость оператора Q<+> (/) при t оо — сильной или слабой [c.170]

Большая часть пункта 6а была потрачена на доказательство утверждений, аналогичных г-сходимости операторов ( 8)2. Наконец, в [28] доказано, что отсюда вытекает нужная нам л Сходимость Е . Тем самым лемма 6.16 доказана. [c.139]

СИЛЬНАЯ О-СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.77]

Пользуясь результатами о сильной G-сходимости, изложенными в 9 гл. I, установим необходимые и достаточные условия сильной G-сходимости операторов, описывающих слоистые среды, в терминах слабой сходимости комбинаций коэффициентов системы (7.1). [c.188]

Докажем сильную G-сходимость операторов 5 , к S . [c.190]

В 8 ГЛ. П было введено понятие G-сходимости операторов вида if(w)= (—1) D (a g(x) D w), принадлежащих классу [c.292]

Использование конечных элементов класса С позволяет, очевидно, обеспечить непрерывность интерполяций и их первых производных при переходе через границы областей Т как будет показано позже, это условие является одним из достаточных условий, обеспечивающих сходимость метода в задачах для самосопряженных операторов четвертого порядка. [c.175]

Оператор Т называется непрерывным, если из сходимости последовательности к вытекает сходимость последовательности Тхп к элементу Г . Докажем теорему всякий ограниченный оператор является непрерывным. [c.69]

Оператор Т ограничен и, следовательно, непрерывен. Это означает, что из факта сходимости к (перенумерация членов последовательности не меняет ее предела) вытекает сходимость последовательности к Т . Но с другой стороны, по (2.8) TXn-i = Х , причем последовательность л сходится к . Так как у последовательности Хп может быть только один предел, то = Т , т- е. [c.70]

В заключение подчеркнем, что требование сжимаемости оператора Т является только достаточным условием для сходимости метода итераций и существования неподвижной точки оператора Т и не является необходимым. [c.73]

По определению этот ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости г. Функция ) К ) оператора Вольтерра определяется следующим образам [c.585]

Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова [И]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию [c.585]

Применение оператора В к последовательно получаемым функциям u)j. t), k=i, 2. . . имеет смысл, так как все они непрерывны и удовлетворяют неравенству О t) й, т. е. принадлежат тому же функциональному пространству С —со, -foo). В силу принципа сжимающих отображений последовательность [t) сходится к неподвижной точке оператора В, т. е. к предельной угловой скорости u)=u)o (г) движения ротора. Нетрудно убедиться в том, что эта сходимость является равномерной на всей числовой прямой. В самом деле [c.233]

Весьма существенным является вопрос о сходимости такого итерационного процесса, которая, очевидно, будет зависеть от операторов А и В, определяемых характером задачи (пространственная или плоская) и типом неоднородности. Хотя численная проверка показала хорошие результаты, вопрос о сходимости метода в целом остается открытым. [c.45]

Рассмотрим решение двумерной задачи о сжатии двух цилиндров. Краевая задача на каждой итерации решалась вариационно-разностным методом. Зона возможного контакта не превышает 1/5 Л и при выбранной дискретизации содержит 21 узел. При решении предлагаемым методом рассмотрен диапазон нагрузок, при которых в контакте находится от 3 до 19 узлов. Для пробной площадки контакта на первой итерации принималось от 1 до 21 узла (с учетом симметрии от 1 до 11). Во всем диапазоне нагрузок и при любом начальном выборе площадки контакта для сходимости потребовалось не более четырех итераций. На рис. 4.11 для одного варианта нагрузки приведена итерационная последовательность количества опорных узлов п для всех вариантов начальной площадки. Например, при 5 = Гк число опорных узлов составило по итерациям 11—8—7—6. Применение операторов ортогонального проектирования в дискретной задаче ускоряет сходимость по сравнению с последовательным перебором возможных площадок контакта [20]. [c.146]

Для обоснования сходимости итерационного процесса с обменными граничными условиями (4.8) используется существование линейных операторов G,-, устанавливающих для каждого из упругих тел соответствие между векторами перемещений и напряжений на фиксированной площадке взаимного контакта S [c.147]

При численном решении контактных задач итерационный процесс (4.10) соответствует попеременному решению краевых задач для тел 1 и 2 с граничными условиями (4.8), и в этом случае вычисление матриц податливости и жесткости, являющихся дискретными аналогами соответственно операторов Gj и, не нужно. Что касается проверки достаточного условия сходимости итерационного процесса 1И <1, или Л<, <1, то в этом также нет необходимости, так как расходимость обнаруживается в течение первых итераций, после чего надо изменить направление процесса. Итерационный процесс заканчивают, если выполнено, например, условие тзх. upi 0 - заданная величина относи- [c.148]

Дискретные алгоритмы адаптации вида (3.15) помимо требования конечности времени адаптации должны удовлетворять еще ряду условий. С практической точки зрения весьма важно, чтобы эти алгоритмы были оптимальными в смысле подходящего критерия качества и обладали наибольшей скоростью сходимости, т. е. наименьшим числом коррекций. Большое значение имеет также простота алгоритма адаптации. Это значит, что вычисление оператора адаптации А в алгоритме (3.15) должно требовать, по возможности, минимального числа операций и памяти. [c.81]

Рекомендации по численному решению задач свободной конвекции в емкостях приведены в [14, 34, 71, 94]. Решения получены до значений чисел Релея 10 . Возможность получения решений при больших числах Релея была показана в (34 ) путем введения автоматической коррекции разностного оператора. Установлено, что при больших числах Релея, когда схемные коэффициенты переноса превосходят молекулярные, для сохранения устойчивости решений и равномерной сходимости следует опустить в уравнениях диффузионные члены. Подход к численному решению уравнений в замкнутой области можно проиллюстрировать па примере свободной конвекции жидкости в горизонтальной трубе. Математическая модель задачи описывается системой уравнений движения, энергии и неразрывности [c.187]

Поскольку выполнено условие (1.4) сильной сходимости операторов Qh, то, на основании теоремы Банаха — Штейнгауза,. нормы операторов Qh ограничены в совокупности. Следовательно,, конечен sup ЦРлЛЦ, в связи с чем из (1.7) вытекает неравенство [c.194]

В силу диамагнитного неравенства последнее выражение равномерно ограничено. Таким образом, неравенство Гёльдера позволяет свести задачу к проверке (Л X Л)-сходимости ядер операторов Е Е , означаюш,ей. З г-сходимость самих операторов. Это в свою очередь следует из 5 4-сходимости операторов Е . [c.139]

Установим теперь некоторые дополнительные свойства почти-решений которые играют существенную роль при исследовании G-сходимости операторов теории упругости с быстро осцил- лирующими почти-периодическими коэффициентами. [c.171]

Сильная О-сходимость операторов теории упругости с быстро осциллирующими почти-периодическими коэффициентами [c.174]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Уравнение (3.18) решается методом последовательных приближений, для которого достаточное условие сходимости Д < 1, (где - И - норма в L-i i В - интегральный оператор уравнения (3.18)) априори выполняется ввиду полной аналогии метода последовательных приближений для (3.18) и альтернирующего процесса (3.15). Возможность решить задачу восстановления напряженного состояния в объеме упругого тела по экспериментальным данным на части его поверхности как корректную задачу основывается на априорной информации о принадлежности искомого решения компактному множеству корректности - множеству ограниченных вектор-функций, удовлетворяющих системе (3.6). Изложенный подход к решению поставленной задачи может быть полностью использован при [c.77]

Некоторые группы операторов входят в циклические операторы, построенные для организации итеративных расчетов в бикомнонентах. Например, операторы 9, 10, 12 участвуют в цикле для определения значения з[5] (нКАП 04.02). Такие циклы оформлены следующим образом. Последовательно вычисляются операторы, входящие в цикл. Затем производится обращение к процедуре сход , которая определяет значение признака сходимости. После этого условный оператор (типа 14) в зависимости от значения признака сходимости либо повторяет цикл, либо переходит к выполнению следующего оператора. [c.75]

В ходе итерационного процесса коэффициент релаксации Я может подвергаться изменениям. Так, если будет отмечено, что процесс ликвидации остатков Ru и Rv начинает расходиться, коэффициент X надг уменьшать до тех пор, пока не установится устойчивая сходимость. При решении задачи на ЭЦВМ это производится оператором машины., [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...