Сходимость произведений операторов

При рассмотрении пределов произведения операторов нужно проявлять большую осторожность, чем при рассмотрении произведения пределов операторов. Из слабой сходимости операторов Л и В пе следует слабая сходимость оператора АВ чтобы убедиться в этом, достаточно, например, положить Л = - и считать, что А и В не обладают сильной сходимостью. Равным образом, сильная сходимость операторов Л и В не означает сильной сходимости оператора АВ из нее не следует даже слабая сходимость произведения АВ. Однако, используя неравенство Шварца, можно показать, что сильная сходимость операторов Аг и В означает слабую сходимость оператора АВ. [c.164]

Причина, по которой из сходимости двух операторов нельзя сделать вывода о сходимости их произведения, состоит в том, что эти сходимости могут быть неравномерными по отношению к выбору различных векторов в пространстве. Например, сильная сходимость оператора Л (i) означает, что для любых > О и У существует такое число Т, что для всех / >- Т [c.164]

Отсюда следует, что сходимость по норме двух операторов означает, что имеет место и сходимость по норме их произведения. Поэтому ясно, что из условия Л(/) —>0 вытекает Л (/) —> 0. [c.165]

Эти результаты можно обобщить на случай, когда К является оператором бесконечного ранга при условии, что произведение в (9.81) сходится. Необходимое и достаточное условие того, чтобы его сходимость была абсолютной, имеет вид [c.246]

Пусть L — самосопряженный эллиптический оператор 2m-ro порядка при однородных краевых условиях и a v, w) — соответствующее скалярное произведение в энергетическом пространстве Ж в Если задача Lu = f имеет поверхность раздела или особенности на границе, аналогичные описанным в разд. 8.1, то оценки ошибок, полученные в разд. 3.4, уже не справедливы. В этом разделе мы модифицируем проведенные ранее исследования по нахождению правильных скоростей сходимости при наличии особенностей. [c.307]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

В заключение подчеркнем следующие два обстоятельства.. Во-первых, при выводе систем (1.3) и (1.4) условие конечномерности алгебры не накладывалось. Однако в отличие от конечномерного, в бесконечномерном случае интегрирование возникающих систем в конечном виде невозможно как будет показано в гл. V, решение задачи Гурса для них дается бесконечными формальными рядами, исследование сходимости которых, требует дополнительного рассмотрения с привлечением свойств алгебр типа конечности роста. Во-вторых, представление (1.1) применимо также и для суперсимметричных динамических систем, когда операторы вида (1.2) принимают значения в соответствующей супералгеб ре Ли = снабженной градуировкой (1.4.7). При этом в соответствии с (1.4.20) четным (нечетным) образующим подалгебры q( -) в скалярных произведениях сопоставляются функции z+, z с коммутирующими (антикоммутирующими) значениями. Как и в случае алгебр Ли системы уравнений, ассоциируемые с конечномерными супералгебрами Ли, интегрируемы в конечном виде, тогда как для бесконечномерных супералгебр Ли — в формальных рядах. [c.117]

Так как все эти пространства натянуты на произведения одномерных базисных функций, матрицы жесткости К также могут допускать разложение на одномерные операторы. Грубо говоря, это происходит, когда в дифференциальном операторе Ь можно разделить переменные. На практике это встречается в параболических задачах, когда метод Галёркина приводит к неявной разностной схеме с двумерной матрицей массы М, или матрицей Грама, образованной из скалярных произведений функций фз, которую приходится обращать на каждом шаге по времени. Для разностных уравнений именно эта трудность породила метод переменных направлений, в котором обратная матрица приближалась с помощью обращений двух одномерных операторов. Для пространства, образованного как произведение одномерных, применима та же техника с обычной оговоркой,. что если область не в точности прямоугольная, то метод переменных направлений дает хорошие результаты, но сходимость не доказана. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...