Отображения и линейная устойчивость

ОТОБРАЖЕНИЯ И ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [c.175]

Отображения и линейная устойчивость [c.177]

Следствие. Отображение А линейно и сохраняет площади (с1е А 1). Для устойчивости нулевого решения уравнения (1) необходима и достаточна устойчивость отображения А. [c.104]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Для симплектических отображений устойчивость негиперболических трансверсальных точек может наблюдаться при любой размерности. Согласно упражнению 5.5.3 множество собственных значений линейного симплектического отображения в может содержать любое количество m п пар комплексно сопряженных собственных значений, модуль которых равен единице. Из предположения, что все эти собственные значения тосты, немедленно следует, что наличие тп различных пар комплексных собственных значений, модуль которых равен единице, является свойством, сохраняющимся при малых возмущениях линейного симплектического отображения, и, следовательно, то же верно для собственных значений дифференциала малого С -возмущения симплектического отображения в трансверсальной неподвижной точке. Если т = п, такая точка называется эллиптической. [c.302]

В 7.2 рассматривается динамика необратимых одномерных отображений, начиная с их периодических точек, линейной устойчивости и структуры бифуркаций. Затем исследуется хаотическое движение и его связь с показателями Ляпунова, асимптотическими распределениями, спектром мощности, а также инвариантные свойства движения. [c.410]

Рассмотрим неподвижные точки квадратичного отображения (7.2.4) и пх линейную устойчивость. Неподвижные точки находятся из условия [c.430]

Исключая в окрестности неподвижной точки все члены, начиная со второго порядка, получим его линейную часть, то есть дифференциал. Дифференциал канонического отображения есть каноническое линейное отображение. Линейные канонические отображения рассмотрены в приложении 27. Если это линейное отображение гиперболично (соответственно, гиперболично с отражением, эллиптично), то говорят, что неподвижная точка называется гиперболической (соответственно, гиперболической с отражением, эллиптической). Несложно показать, что гиперболические неподвижные точки неустойчивы не только для линейной части отображения, но и для всего нелинейного отображения (Адамар). Проблема устойчивости эллиптических точек известна как проблема Биркгофа . В общем случае эллиптические точки двумерных систем являются устойчивыми (см. приложение 28). [c.87]

Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458]

В работах [2, 4] были построены многозвенные периодические траектории задачи (1) и исследована их устойчивость ( в линейном приближении [11]). Для глобального анализа фазовых траекторий был реализован следующий метод точечных отображений при фиксированном значении константы /г энергии вычислялись фазовые координаты а, а) в моменты выхода на связь (г = 1). Это позволило получить фазовые портреты задачи с регулярными и хаотическими траекториями и проследить эволюцию фазовых портретов с изменением уровня энергии. Степень хаотизации траекторий оценивалась вычислением экспонент Ляпунова [12]. Численная реализация указанного метода точечных изображений облегчается тем фактом, что задача [c.206]

Возникает соблазн линеаризовать каждую из компонент (pj и сделать вывод об устойчивости периодического движения на основании собственных значений полученных линейных отображений Aj. К со- [c.250]

Метод точечных отображений до сих пор не удается сколь-либо эффективно применять к системам, порядок которых выше трех. Это привлекло внимание и силы к решению более частных задач при этом центральной стала проблема определения периодических решений автоколебаний — в автономных системах и вынужденных колебаний в полосе захватывания — в системах, подверженных внешним периодическим воздействиям. Был предложен частотный метод, позволяющий точно в форме полных (без пренебрежения гармониками) рядов Фурье определять периодические движения релейных систем и их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Первоначально казалось, что метод этот принципиально пригоден лишь в тех случаях, когда нелинейная характеристика состоит из кусков горизонтальных прямых, и поэтому форма выходных колебаний нелинейного элемента может быть заранее нредоиределена с точностью до неизвестных времен движения по отдельным участкам нелинейной характеристики. Однако позже было показано, что это не так, и был разработан метод определения периодических решений в форме полных рядов Фурье, пригодный для системы, содержащей нелинейные элементы, характеристики которых состоят из кусков двух произвольных прямых. Это последнее ограничение через некоторое время было снято, и таким образом указанная серия работ была завершена разработкой общего метода точного (без пренебрежения гармониками) оиределения периодических движений в системах, содержащих нелинейный элемент с произвольной кусочно-линейной характеристикой. [c.268]

В этом параграфе будет показано, что в случае диффеоморфизмов Аносова на торе структурная устойчивость приводит к глобальной классификации. Мы уже видели в 2.6, что в пределах гомотопического класса гиперболического автоморфизма любое отображение / (и, следовательно, любой диффеоморфизм Аносова) имеет линейную модель в качестве фактора. Сначала будет показано, что любой диффеоморфизм Аносова гомотопен линейному гиперболическому. Ключевую роль в доказательстве этого факта играют теорема 18.5.6 и формула Лефшеца (8.6.1). Затем мы докажем, что полусопряжение с линейнои моделью на самом деле инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом. В качестве промежуточного результата, представляющего независимый интерес, покажем, что неблуждающее множество совпадает со всем тором. [c.588]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

В задачах устойчивости линейных систем с конечным числом степеней свободы характеристический полином непосредственно впервые появляется в форме с1е1(0 — А.Е). Представляют интерес критерии, не требующие вычисления коэффициентов характеристического полинома. Идея критерия Зубова [22] состоит в отображении рассматриваемой области Дх комплексного переменного Л, на внутренность единичного круга р <1 комплексного переменного р. При этом исходная матрица О отображается в некоторую матрицу Г, собственные значении которой равны Ру. Для того чтобы все ру удовлетворяли условию ру <1, необходимо и достаточно, чтобы Г — 0 при Таким образом, реализация [c.466]

Гельфер И. С., Неймарк Ю. И. Плотности вероятностей, соответствующие кусочно-линейным отображениям с марковским разбиением Ц Динамика систем. Устойчивость, синхронизация и хаотичность,— Горький Изд-во ГГУ, 1983,- С. 52-85. [c.400]

В случае, когда уравнения (3) линейные, точечные отображения (6) могут быть получены в явном виде. По явному виду точечных отображений могут быть составлены уравнения периодических движений и характеристические уравнения для исследования устойчивости найденных периодических движений. Это было проделано для релейных и некоторых кусочно-линейных систем (Ю. И. Неймарк, 1955—1956 Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1960) и для систем с ударными взаимодействиями (В. А. Горохов, 1966). В случае, когда уравнения (3) нелинейные и получение их явных решений невозможно, характеристическое уравнение может быть составлено по уравнениям в вариациях и уравнениям (5) (Ю. И. Неймарк, 1958). В практически часто встречающемся случае, когда соотнощения (5) представляют собою сшивание решений на поверхности разрыва правых частей дифференциальных уравнений, правило составления характеристического уравнения для исследования устойчивости периодического движения было указано в упомянутой работе Ю. И. Неймарка и затем подробно развито в работах М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...