Эргодичность и перемешивание

В этой теории не предполагается, что преобразования описываются уравнениями Гамильтона или вообще дифференциальными уравнениями. Эргодичность и перемешивание — примеры относящихся к этой теории понятий, а теорема Биркгофа или приведенное выше простое рассуждение о том, что из перемешивания следует эргодичность,—примеры относящихся сюда теорем. 2) Эргодическая теория более конкретных динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона. Ее основная задача — установление (или опровержение) эргодичности или других статистических свойств тех или иных динамических систем. Выше автор говорил о первом направлении, теперь он переходит ко второму.— Прим. ред. [c.383]

В предыдущих параграфах мы видели, что основные свойства, связанные со статистическим поведением орбит, а именно наличие возвращения для почти всех относительно инвариантной меры точек, эргодичность, строгая эргодичность и перемешивание, могут рассматриваться как более сильные количественные аналоги качественных свойств, описывающих возвращение, а именно возвращения орбит, топологической транзитивности, минимальности и топологического перемешивания соответственно (см. предложение 4.1.18 и замечание после определения 4.2.8). Теперь рассмотрим статистический аналог глобального инварианта скорости роста орбит — топологической энтропии. Это число называется энтропией сохраняющего меру преобразования или энтропией относительно инвариантной меры (см. определения 4.3.7 и 4.3.9). В случае эргодической меры энтропия может быть определена, подобно ее топологическому аналогу, как показатель экспоненциальной скорости роста числа статистически значимых отрезков орбит, различимых с произвольно хорошей, но конечной точностью ]. [c.170]

Рис. 1.15. Два примера систем, обладающих эргодичностью и перемешиванием (по данным работы [14]).

Естественно, что все эргодические свойства пуассоновской Надстройки полностью определяются одночастичной динамической системой. Однако уже получение необходимых и достаточных условий эргодичности и перемешивания представляет собой в общем случае достаточно трудную задачу. Положение упрощается, если предположить дополнительно, что в одночастичной. динамической системе (iV я, т ) происходит так называемый уход на бесконечность, т. е. найдутся множество СбЖ с я(С)< оо и число о>0 такие, что и т =0 и пе- [c.263]

Перемешивание является более тонким понятием, чем эргодичность, и хотя оно было введено в статистическую физику еш,е в работах Гиббса, тем не менее многообразие вложенного в него содержания удалось понять сравнительно недавно. Введем понятие корреляционной функции. Пусть / и g — две произвольные интегрируемые функции динамических переменных z. Тогда [c.28]

Связь между понятиями топологической энтропии и энтропии относительно инвариантной меры более полна и точна, чем для таких пар понятий, как рекуррентность орбит — типичное относительно инвариантной меры возвращение, топологическая транзитивность — эргодичность, минимальность — строгая эргодичность, топологическое перемешивание — перемешивание. Для этих случаев данная связь односторонняя статистическое свойство влечет топологический аналог, но, вообще говоря, не наоборот. В случае энтропий связь между ними описывается вариационным принципом (теорема 4.5.3), который утверждает, что топологическая энтропия непрерывного отображения равна точной верхней грани энтропий этого отображения по всем инвариантным мерам. Таким образом, не только статистическое свойство (скажем, положительность энтропии относительно инвариантной меры) влечет топологический аналог (в этом случае положительность топологической энтропии), но и наоборот, из положительности топологической энтропии следует существование инвариантной меры с положительной энтропией (это свойство представляет собой количественное усиление теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1 для случая отображений с положительной топологической энтропией). [c.170]

В спектральных терминах ясно, что система (М, /х, pt) обладает перемешиванием, если она эргодична и спектр Ut (за исключением Л = 0) абсолютно непрерывен относительно меры Лебега. Обратное утверждение неверно. Мы говорим, что эргодическая динамическая система имеет собственно непрерывный спектр, если константы являются единственными собственными функциями операторов Ut- Можно доказать, что для того, чтобы эргодическая динамическая система имела собственно непрерывный спектр, необходимо и достаточно, чтобы она была слабым перемешиванием (см. примечание 8.9). [c.31]

Таким образом, эргодичность, слабое перемешивание и перемешивание являются спектральными свойствами. [c.37]

Поскольку для каждого Т-инвариантного множества А и каждого натурального числа п мы имеем / (Г "(Л)П(Х Л)) = 0, из перемешивания следует, что для такого множества fi(A)-fi(X A) = 0, т. е. Т эргодично. [c.161]

Существование движений, которые проявляются при численном моделировании как случайные, надежно установлено. Однако математические попытки охарактеризовать стохастичность с помощью таких понятий, как эргодичность, перемешивание и тому подобное, далеко не всегда оказывались успешными ). Синай [377] доказал эти свойства для газа твердых шариков. Было показано также, что некоторые модельные гамильтоновы системы обладают даже более сильными стохастическими свойствами. Эти результаты, описанные в гл. 5, дают основание считать, что случайность движения имеет место и для типичной гамильтоновой системы в том случае, когда она обладает поведением, характерным для идеализированных моделей. [c.17]

Для описания свойств орбит в метрической теории динамических систем вводится целый набор понятий эргодичность, перемешивание, спектр, энтропия и т.д. Определения этих понятий приведены в данной главе. Их приложения к описанию классических систем см. в главах 3 и 4. [c.22]

Эргодичность. Разложение иа эргодические компоненты. Раз личные типы перемешивания. . , . [c.5]

Свойство эргодичности сохраняется при переходе к производному и интегральному автоморфизму. С различными видами перемешивания дело обстоит сложнее. В частности, у любого эргодического автоморфизма есть перемешивающий производный автоморфизм. [c.32]

В ходе эволюции динамич. системы, обладающей аттрактором, объём фазовой капли неограниченно уменьшается—капля сжимается к аттрактору. Однако сам аттрактор, имея нулевую меру в исходном фазовом пространстве, может оказаться нетривиальным множеством, движение на к-ром является стохастическим. Это значит, что 1) на таком аттракторе движение является локально неустойчивым и для него может быть введена К-энтропия и 2) это движение обладает свойствами эргодичности и перемешивания. Аттрактор, на к-ром реализуется стохастич. динамика, наз. стохастическим или странным аттрактором. Последний термин предложен Д. Рюэ-лем и Ф, Таксисом (D. Ruelle, F. Takens). [c.401]

Замечание 8.8. Существует одно понятие, занимающее промежутное положение между понятиями эргодичности и перемешивания, которое также является инвариантом эргодических систем — понятие слабого перемешивания (см. Халмош [1]). [c.28]

Доказательство. Сначала докажем отдельно эргодичность и пер мешивание, используя анализ Фурье, подобно тому как мы делали это в д казательстве предложения 4.2.2, а также в первом доказательстве предл жения 4.2.7. Кроме того, мы дадим другое, более геометрическое и нагля ное доказательство перемешивания, которое подобно нашему доказательс ву второго утверждения предложения 4.2.11 и в меньшей степени завис от алгебраической структуры отображения. [c.164]

Орбиты У-систем очень неустойчивы две орбиты с близкими начальными условиями экспоненциально разбегаются друг от друга. Это свойство приводит к асимптотической независимости будущего и прошлого У-автоморфизмы эргодичны, являются перемешиванием , обладают бесконечным лебеговским спектром и положительной энтропией, словом, они представляют собой /(Г-системы. У-системы образуют открытое множество в пространстве классических систем. Следовательно, все системы, близкие к У-системе, обладают такими же стохастическими свойствами. В частности, это относится к геодезическим потокам на компактных римановых многобразиях отрицательной кривизны. Таков первый пример У-систем. [c.57]

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными к служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада Г равносильна отсутствию у оператора II к,-л. собственных ф-ций с собственным значением единица , кроме постоянных все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание — это отсутствие собств. значений, отличных от единицы в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же — счётнократный лебегов-скин спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в ситуация обратная всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром — семейство сдвигов на торе. [c.630]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Из условия перемешивания (5.8) автоматически следует свойство эргодичности (5.4)—(5.6). Различие между только эргодическим движением и движением с перемешиванием проще всего понять из рис. 1.16. В эргодпческом случае без перемешивания траектория последовательно заполняет фазовое пространство с той же методичностью, что п периодически опускающийся и подымающийся маятник. Совсем иной характер заполнения фазового пространства имеет место при перемешивании. Сначала за некоторое время Т система достаточно равномерно покроет сеткой траекторий все фазовое пространство. Через время 2Т это явление примерно повторится, причем таким образом, что размеры ячеек сетки окажутся приблизительно в два раза меньше, и т. д. [c.28]

Общая картина взаимосвязи между различными свойствами случайного движения представлена на рис. 5.4. Стрелки между пря.моугольниками указывают направление импликации. Так, например, К-системы обладают свойствами перемешивания и эргодичности ). Наиболее сильные статистические свойства динамической [c.304]

Необходимым и достаточным условием эргодичности автомор физма Гаусса Т является непрерывность меры ст. Это же уело вие необходимо и достаточно для того, чтобы Т обладал слабым перемешиванием. Для сильного перемешивания, а также для перемешивания любой кратности необходимо и достаточно, [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...