ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эргодичность и перемешивание из "Стохастичность динамических систем " Теория нелинейного резонанса играет важную роль в общем анализе возникновения стохастичности в гамильтоновых системах. Обычно при действии некоторого возмущения на систему 1Ш отыскиваем новое решение, пользуясь тем или иным приближенным методом. Действие этих методов можно классифицировать, рассматривая различие между исходным поведением системы и ее возмущенным поведением. Иллюстрация сравнений приведена на рис. 1.7 а) метод сглаживает все или часть существующих особенностей б) метод сохраняет число и характер особенностей в) метод позволяет обнаружить новые особенности, обусловленные возмущением. К последнему типу относится теория нелинейного резонанса. [c.17] Представим себе действие внешней периодической силы на нелинейный осциллятор, и пусть частота осциллятора близка к частоте внешней силы. Возникающий резонанс приводит к нарастанию амплитуды колебаний и, следовательно, к выходу частоты осциллятора из резонанса пз-за нелинейности, т. е. из-за зависимости частоты от амплитуды. В гамильтоновых системах отсутствуют асимптотически устойчивые состояния или асимптотически устойчивые предельные циклы [16]. Поэтому через некоторое время система снова вернется к окрестности резонанса. [c.17] Так возникают колебания, называемые фазовыми (ком. 3). Приведем теорию этих колебаний. [c.17] Нельзя завязать бантик , как на фигуре в, пользуясь обычной теорией возмущения. [c.22] Соотношение (3.21) известно в теории параметрических усилителей как соотношение Мэнли —Роу [23], совместно с (3.18) оно позволяет определить действия как функции времени. [c.22] С увеличением числа степеней свободы, участвующих в резонансе, число соотношений типа (3.21) также увеличивается. [c.22] Динамическая система, имеющая N степеней свободы, описывается системой уравнений движения порядка 2N. Сколько должно быть интегралов движения для того, чтобы уравнения движения интегрировались в квадратурах Для случая гамильтоновых систем ответ на этот вопрос дает теорема Лиувилля (ком. 4). [c.22] Отсюда, в частности, видно, что для интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать не 2N интегралов движения, а только N. Если нам известно, например, iV 4-1 однозначных интегралов движения, то один из них может быть выражен как функция остальных N интегралов движения. В случае двух степеней свободы (рнс. 1.11) достаточно звать лишь один интеграл движения, так как вторым является энергия. [c.23] Вид контуров будет указан ниже. [c.24] И е — безразмерный параметр, характеризующий возмущение (е 1). Тогда при достаточно малых е е большинство инвариантных нерезонансных торов сохраняется и отличается от невозмущенных торов слабой деформацией. Фазовые траектории наматываются на эти торы всюду плотно и описывают условнопериодическое движение с N частотами. Малая часть торов разрушается, и их мера стремится к нулю при е О (ком. 5). [c.25] Второе обстоятельство связано с различием в топологии инвариантных торов в зависимости от размерности фазового пространства, т. е. от числа степеней свободы. При N = 2 торы, соответствующие различным значениям действий (Л, /г), оказываются вложенными друг в друга (рис. 1.14) и, следовательно, не пересекаются. В этом случае говорят, что торы делят пространство. Разрушенные торы оказываются зажатыми между устойчивыми торами, и, следовательно, возмущение фазовой траектории в области разрушения ограничено. Величина этого возмущения стремится к нулю при е 0. [c.26] При N 2 торы не делят пространство и пересекаются. Поэтому области различных разрушенных резонансных торов образуют сложную сетку каналов в фазовом пространстве, по которым траектория может уходить сколь угодно далеко от области невозмущенного движения. Это явление называется диффузией Арнольда [35] и будет рассмотрено в Дополнении 2. Таким образом, при N 2 существуют такие области в фазовом пространстве, что если начальные условия попадают в них, то траектория уходит сколь угодно далеко. Мера этих областей стремится к нулю при е О (ком. 6). [c.26] В заключение этого параграфа полезно отметить особую роль теории KAM в вопросах, связанных с обоснованием статистической физики. Действительно, статистическое описание исключается в устойчивом случае, и поэтому при конечных N всегда существует конечная (хотя и малая при больших N) область фазового пространства, внутри которой движение системы заведомо не стохастическое (островки устойчивости). [c.26] Этот и последующие два параграфа будут посвящены изложению основных понятий современной эргоднческой теории и их связи с теорией динамических систем. Их изложение будет проведено на чисто качественном уровне. Строгое изложение затронутых вопросов содержится в монографиях [36—39], а изложение для физиков —в обзоре [15]. [c.27] Из условия перемешивания (5.8) автоматически следует свойство эргодичности (5.4)—(5.6). Различие между только эргодическим движением и движением с перемешиванием проще всего понять из рис. 1.16. В эргодпческом случае без перемешивания траектория последовательно заполняет фазовое пространство с той же методичностью, что п периодически опускающийся и подымающийся маятник. Совсем иной характер заполнения фазового пространства имеет место при перемешивании. Сначала за некоторое время Т система достаточно равномерно покроет сеткой траекторий все фазовое пространство. Через время 2Т это явление примерно повторится, причем таким образом, что размеры ячеек сетки окажутся приблизительно в два раза меньше, и т. д. [c.28] Даже при беглом взгляде на рис. 1.15, 1.16 мы обнаруживаем, что свойство перемешивания должно быть тесно связано со свойствами неустойчивости динамических систем. Эта особенность перемешивания была отмечена Хопфом [40] при анализе движения в пространстве отрицательной кривизны. Однако четкое и наиболее полное понимание роли неустойчивости в возникновении перемешивания было достигнуто Н. С. Крыловым [42], который применил эти понятия к проблеме обоснования статистической механики и к конкретным физическим моделям (ком. 7). [c.29] Принципиальное значение соотношения (5.12) в тол1, что установлена связь между статистическими свойствами системы (йс) и ее чисто динамической характеристикой йо- Иными словами, можно узнать, когда регулярное (например, условно-периодическое) движение системы разрушится и движение станет пе-релшшивающимся. Для этого необходимо выяснить условие, при котором в динамической системе возникает локальная неустойчивость (5.9). Такое условие мы будем в дальнейшем называть условием стохастической неустойчивости или, короче, условием стохастичности. Максимальной неустойчивости соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме полной энергии системы. Анализ, проведенный Н. С. Крыловым, показал, что именно стохастическая неустойчивость обеспечивает равномерное перемешивание начальной фазовой ячейки с любой требуемой точностью на поверхности неразрушенных однозначных интегралов движения и приводит к конечному времени релаксации на этой поверхности, ( ам характер релаксации именно тот, который типичен в статистической механике (ком. 8). [c.30] Системы, обладающие свойствами (5.9)—(5.11), называются /i -системами (их более точное определение и анализ будут приведены в следующем параграфе). Подчеркнем, что исключительным свойством /i-систем является то, что это динамические системы (т. е. системы, описываемые обратимыми дифференциальными или разностными уравнениями движения), у которых 1 оординаты и импульсы являются случайными функциями времени (ком. 9). Практически все дальнейшее изложение будет посвящено анализу различных типов ii-систем, встречающихся в физике. Здесь же мы приведем без исследования пример /i -спстемы, движение которой описывается дискретным преобразованием (отображением). Причина, по которой мы выбрали этот пример, не только в его необычайной простоте, но и в том, что в нем используется очень часто встречающийся в математике прием, который оказывается типичным для многих физических ситуаций. [c.30] Можно поставить вопрос как часто среди динамических систем общего типа встречаются системы с перемешиванием Или иначе каких систем больше, устойчивых или систем, имеюпщх локальную неустойчивость Если к последним отнести системы, у которых область локальной неустойчивости в фазовом пространстве может быть любой (в том числе и очень малой), то именно они составляют основную часть множества всех систем. Типичными оказываются системы, имеющие ненулевую область стохастического движения. Почему это так, станет ясно несколько позже. [c.31] Вернуться к основной статье