ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симплектическая структура на многообразии из "Математические методы классической механики " Симплектическая структура на многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплектические структуры. [c.175] На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175] Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии также образуют алгебру Ли. Операции в этих алгебрах называются скобками Пуассона. [c.175] Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175] Пара М , (0 ) называется симплектическим многообразием. [c.175] Задача. Проверить, что ( р) — симплектическое многообразие. [c.175] При п = 1 пара (К , есть пара (плоскость, площадь). [c.175] Следующий пример объясняет появление симплектических многообразий в динамике. Наряду с касательным расслоением дифференцируемого многообразия часто полезно рассматривать двойственное ему кокасательное. [c.175] Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176] Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм. [c.177] Задача. Доказать, что5 соответствие м- ю есть изоморфизм линейных 2п-мерных пространств векторов и 1-форм. [c.177] Пусть теперь Н — функция на симплектическом многообразии М . Тогда йН есть дифференциальная 1-форма на М, и ей. соответствует в каждой точке некоторый касательный к М вектор. Мы получаем таким образом на М векторное поле I йН. [c.177] Определение. Векторное поле I йН называется гамильтоновым векторным полем, Н — функцией Гамильтона. [c.177] Вернуться к основной статье