Симплектическая структура кокасательного расслоения

Доказательство проводится с помощью симплектической структуры кокасательного расслоения. [c.321]

Симплектическая структура кокасательного расслоения. [c.34]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы удвоенной размерности. Пусть и — поле на г-мерном многообразии N = ж . Поставим ему в соответствие функцию F = у и х) [у е T N), определенную на кокасательном расслоении М = T N, снабженном естественной симплектической структурой. Координаты У, ...,Уп — частные интегралы гамильтоновой системы [c.83]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

ЗИЯ, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова п-мерного многообразия). [c.315]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Полагая, что гиперповерхность М в кокасательном расслоении Т ЛГ представляет собой гладкое многообразие, пересекающее каждый слон по звездной гиперповерхности, докажите, что М имеет контактный тип относительно стандартной симплектической структуры. [c.240]

Это отображение является лагранжевым расслоением (в сущности оно совпадает с проекцией кокасательного расслоения сферы, единственное отличие — знак симплектической структуры). [c.24]

Симплектическая структура кокасательного расслоения Т М определяется исключительно гладкой структурой многообразия N. Вначале мы определим замечательную 1-форму (о = =р-(1д — значение ковектора р Т М на касательном векторе g T,N. В координатах р<, (1<1<п) эта форма имеет вид i Pidgi. Симплектическая структура на М задается 2-формой = (0, которая замкнута и невырождена. [c.34]

Идеи современной дифференциальной геометрии все шире проникают в аналитическую механику. В работах А. В. Арнольда [1], Абрахама 2], К. Годбийона [3] показано, что дифференциальная геометрия может рассматриваться как естественный фундамент классической механики. При этом четко разграничиваются два аспекта механики гамильтонов и лагранжев. Гамильтонова динамика связана с существованием симплектической структуры на кокасательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. Введение Клейном [4 специального дифференциального исчисления на касательном расслоении позволяет связать лагранжеву динамику с симплектической структурой касательного расслоения конфигурационного пространства. [c.51]

Естественная проекция (определяемая кратным дифференцировав нием многочленов) отправляет 2тп-мерное пространство многочленов степени 2т - - 1 в (т - - 1)-мерное пространство многочленов степени т + 2. Этой проекцией раскрытый ласточкин хвост размерности т отображается на обычный тп-мерный ласточкин хвост (образованный многочленами, имеющими кратный корень). Это отображение однозначно везде, за исключением линии самопересечения ласточкина хвоста (при п = 2). Каждая точка этой линии, за исключением вершины ласточкина хвоста, имеет 2 прообраза на раскрытом ласточкином хвосте. Топологически раскрытый ласточкин хвост гомеоморфен евклидову пространству. Этот гомеоморфизм сохраняет все особенности обычного ласточкина хвоста, за исключением самопересечений. Таким образом, поднятие обычного ласточкина хвоста на раскрытый (топологически эквивалентное нормализации в алгебраической геометрии) упрощает топологическую структуру и разрезает некоторые петли в точках самопересечения. Название раскрытый как раз и отражает этот факт. Как мы увидим ниже, раскрытые ласточкины хвосты управляют особенностями систем лучей на препятствии. Здесь же мы используем эти тп-мерные особые лагранжевы многообразия для определения раскрытых зонтиков. Забудем про симплектическую структуру объемлющего 2т-мерного пространства. Конормальйое расслоение т-мерного раскрытого ласточкина хвоста лежит в 4тп-мерном симплектическом пространстве кокасательного расслоения над пространством многочленов. Это многообразие лагранжево, чётной размерности 2т, оно является образом лагранжева включения. [c.152]

Большая часть внешней геометрии дМ в М может быть описана в терминах симплектической геометрий пар гиперповерхностей симплектического многообразия (это было замечено Р.Мельрозом [18] для бильярда Биркгофа, когда М есть область, ограниченная дМ). Ни структура кокасательного расслоения объемлющего симплектического фазового пространства, ни происхождение гиперповерхностей не играют никакой роли мы можем рассмотреть любую пару гиперповерхностей в любом симплектическом многообразии. Таким образом, мы можем использовать геометрическую интуицию, основанную на опыте работы с поверхностями в обычном евклидовом пространстве, в общих вариационных задачах с односторонними ограничениями. [c.198]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Кокасательные расслоения не только имеют каноническую симплекти-ческую структуру, но, помимо того, естественные координаты, индуцированные любыми координатами на исходном многообразии, автоматически оказываются симплектическими координатами. [c.230]

Пример 8. Пусть — гладкое многообразие и g — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным пачем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в 1-формы, то группа действует и на пространстве кокасательного расслоения М = Т М. Напомним, что М имеет стандартнук> симплектическую структуру ш =ёр/ <1д = й(р-с1ц), где р,д — канонические координаты на ЛГ. Поскольку группа g сохраняет 1-форму р-с1д, то она сохраняет 2-форму и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов М. Действие g на М порождается однозначной функцией Гамильтона Р = р и. Д [c.98]

Пример 4 фазовое пространство). Фазовое пространство (пространство кокасательного расслоения) М = Т У любого гладкого многообразия V снабжено естественной симплектической структурой, в обычных координатах фазового пространства записываемой как и = J2dPi dqi. [c.7]

Для изучения лежандровых проектирований и фронтов, соответствующих приведённым выше лагранжевым отображениям, контакти-зируем симплектическое пространство, лагранжево расслоение и лагранжево подмногообразие. Выберем кокасательное расслоение ( ) 9 в качестве локальной нормальной формы лагранжева расслоения. Контактизированным пространством является тогда пространство (р, 9 г) 1-струй функций, снабжённое контактной структурой dz = pdq. Лежандровым многообразием, соответствующим данному лагранжеву, является многообразие 1-струй (многозначной) производящей функции [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...