Касательная плоскость, нормаль, кривизна поверхности

Касательная плоскость, нормаль, кривизна поверхности [c.81]

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистантными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным, выберем некоторую поверхность S. В каждой точке М этой поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую сторону поверхности отрезки, равные h, так что М М = М М = h. Совокупность точек Mi образует одну сторону оболочки, совокупность точек Мг — другую сторону, 2h — толщина оболочки, S — ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной, если h R, где R — наименьший из главных радиусов кривизны срединной поверхности. Техническая теория оболочек основывается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что и техническая теория пластин. Предполагается, что линейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к деформированной срединной поверхности. Если отнести поверхность к ортогональной системе криволинейных координат и выбрать локальные оси Ха в касательной плоскости к срединной поверхности, направив ось z по нормали, то для 27 [c.419]

Если через нормаль провести плоскость, то, пересекаясь с поверхностью, она дает кривую I. Пусть У —радиус кривизны этой кривой в точке М. Если поворачивать плоскость вокруг нормали и каждый раз определять кривизну X-—IIR кривой пересечения, то окажется, что существуют такие две взаимно перпендикулярные кривые 1 п 2, кривизны которых имеют экстремальные значения по отношению ко всем другим. Направления, характеризуемые единичными векторами pi и р2. называются главными в данной точке М, соответствующие кривизны — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Если на поверхности провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, то получим так называемые линии главных кривизн. Эти линии образуют на поверхности ортогональную [c.217]

Теперь воспользуемся принципом прямейшего пути. Согласно этому принципу, геодезическая линия имеет меньшую кривизну, чем соседние траектории при этом, по условию (38.3), сравниваемые соседние траектории ограничены тем, что они должны проходить через ту же точку и с той же касательной, как и геодезическая линия в рассматриваемой точке. Совокупность этих соседних траекторий мы получим, если, кроме плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и дающей в сечении с последней геодезическую линию, проведем через соответствующую касательную все возможные наклонные плоскости и определим линии их пересечения с поверхностью. Согласно принципу Герца, эти косые сечения имеют большую кривизну (а следовательно, и меньший радиус кривизны) чем нормальные сечения. [c.285]

Если рассмотреть сечение поверхности плоскостью, которая проходит через касательную некоторого нормального сечения и образует с последней угол а (угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности), то кривизна нормального сечения поверхности выражается формулой [c.218]

Поясним последнее. Для этого в рассматриваемой точке кривой проведем плоскость через нормаль к поверхности и касательную к кривой. Она пересечет поверхность по плоской кривой — нормальному сечению поверхности. Для него (в указанной точке) очевидно вьшолняется условие (4.8). Таким образом, нормальная кривизна является кривизной нормального сечения поверхности. Величину Г( называют геодезическим кручением. [c.30]

Вообразим бесконечно малый элемент струйки аЬ (рис. 1) длиной ds в установившемся движении жидкости, параллельном плоскости чертежа. По теореме Эйлера гидродинамические давления на поверхности струйки уравновешиваются силами секундных количеств движения, причем количество движения выходяш ей жидкости надо брать в противоположном направлении. Па рис. 1 указаны силы, действуюш ие на элемент струйки аЬ. Полагаем, что размер ее равен единице, а dn расстояние между линиями токов, отсчитываемое в направлении от центра кривизны струйки. Спроектируем все силы на касательную и нормаль, считая, что os 0 = 1 и sin 0 = 0, где в — бесконечно малый угол смежности. [c.322]

Искривленность срединной поверхности характеризуется радиусами нормальной кривизны Лр, йор- Первая из них является радиусом плоской кривой, получающейся при пересечении срединной поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности и касательную к линии а. Вторая, соответственно, является радиусом нормального сечения в направлении второй координатной линии. Введенные величины связаны с радиусом-вектором срединной поверхности и ортом нормали соотношениями [c.630]

Если G — положение центра тяжести в момент времени t, то величина Эд dt есть угол между проекциями на плоскость, касательную в точке G, двух последовательных положений оси GA. Пусть Xi, Хг — углы между главными нормалями линий кривизны и нормалью к поверхности в точке С. Чтобы перевести центр тяжести из положения С в близкое положение G, можно вначале переместить его вдоль линии кривизны в некоторое положение Я и затем вдоль другой линии кривизны уже в точку G. При движении центра шара от точки G к точке Н угол, заметаемый осью GЛ, равен произведению дуги GH на кривизну проекции этой дуги на касательную плоскость. Согласно теореме Менье кривизна равна величине (pi eos Xi) > умноженной на sin уд (поскольку надо проектировать на касательную плоскость). Получаем, что та часть величины 9з, которая связана с перемещением по дуге GH, равна ( /pi) tg Xi- Рассматривая таким же образом дугу ЯG, имеем [c.193]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

В заключение параграфа обобщим некоторые полученные результаты для неплоских ДЛ. Прежде всего ограничим тот класс поверхностей, на которых имеет смысл рассматривать дифракционные линзы, поверхностями вращения вокруг оси z, считая, кроме того, что в каждой точке к поверхности можно построить нормаль. Все расстояния от центров кривизны, участвующих в рассмотрении волновых полей, будем отсчитывать до плоскости, касательной к поверхности в ее вершине, т. е. в точке пересечения поверхности с осью z. Уравнение поверхности [c.27]

Из точки т ведем в соприкасающейся плоскости перпендикуляр к ОВ. Пересечение этого перпендикуляра с плоскостью Р и даст конец вектора ускорения точки В. Для нахождения ускорения точки С находим по предыдущему проекции этого ускорения на направления ВС я АС, пусть это будут отрезки Сп и Сш (фиг. 10). Через точки пят проводим плоскости Р и Р, соответственно перпендикулярные к сторонам АС и ВС. На линии их пересечения должен лежать конец вектора J —ускорения точки С. Далее необходимо рассмотреть, какую траекторию описывает точка С на поверхности, по к-рой она перемещается. Из плана скоростей мы имеем вектор ее скорости V(J (фиг. 11), т. е. направление, касательное к ее траектории. Проводим нормаль СК к поверхности через точку С. Находим сечение этой поверхности плоскостью, содержащей и ск, и центр кривизны О этого сечения. Возможные траектории для точки С будут иметь соприкасающимися плоскостями плоскости, содержащие V какая-нибудь из этих плоскостей пересечет поверх- ность по нек-рой кривой с радиусом кривизны тем же самым, что и радиус кривизны той неплоской кривой, для которой проведенная плоскость в данный момент является соприкасающейся. Если к нормальному сечению провести плоскость под углом а, то радиус кривизны д этого сечения выразится [c.159]

Среди бесконечного числа различных кривых поверхностей существуют такие, которые простираются лишь в конечной и ограниченной части пространства и проекции которых имеют конечные размеры по всем направлениям поверхность шара, например, относится к этому случаю. Площадь его проекции яа плоскость была бы равна площади круга того же радиуса, что и шар, и можно себе представить, что плоскость, на которую проектируется поверхность, — достаточно большого размера, чтобы эта проекция поместилась. Все цилиндрические поверхности не ограничены в том направлении, которое определяется прямой, служащей образующей. Самая плоскость, являющаяся наиболее простой из всех поверхностей, не ограничена в двух направлениях. Наконец, существует большое количество поверхностей, различные полы которых простираются одновременно во всех областях пространства. Однако плоскости, на которых строятся проекции, обладают, по необходимости, ограниченной протяженностью. Поэтому, если бы не было другого средства, чтобы познать природу кривой поверхности, кроме двух проекций каждой из ее точек, то этот способ был бы применим только к тем точкам поверхности, которые соответствуют протяженности плоскости проекций все те точки, которые не укладывались бы в эти пределы, не могли бы быть ни заданы, ни определены таким образом, метод был бы недостаточным. Наконец, он был бы и недостаточно плодотворным, потому что мы не могли бы сделать никаких выводов о плоскостях, касательных к поверхности, о нормалях, о двух кривизнах в каждой точке поверхности, о линиях перегиба, о ребрах возврата, о кратных линиях, кратных точках, словом, о всех свойствах, которые необходимо рассматривать в отношении кривой поверхности. [c.29]

Пересечем лучевую поверхность двумя параллельными плоскостями РдРд и АВ, перпендикулярными к плоскости рисунка и проходящими через центры окружностей Кик. Бесконечно малые отрезки РдРд и P j P g перпендикулярны к окружности К, поэтому в направлениях этих отрезков кривизна лучевой поверхности будет максимальна, а в перпендикулярных направлениях равна нулю. Следовательно, перпендикуляры к этим бесконечно малым отрезкам должны лежать в плоскости Р Рд, т. е. они- будут параллельны волновым нормалям, лежащим в плоскости АВ, Значит, касательная плоскость к лучевой поверхности [c.512]

Требуется определить основные элементы локальной геометрии поверхности Д касательную плоскость, нормаль, коэффициенты первых двух основных квадратичньк форм, главные радиусы кривизны. [c.105]

Уравнения равновесия нити на гладкой поверхности в проекциях на местные оси. Пусть дуга AAi представляет собой участок нити, находящийся в рав-полесип на гладкой новерхностн. Чоре.з начальную точку А проводим осп /1т и Ап — касательную к нити и нормаль к поверхности в точке А. Отрезок АО на нормали к поверхности пусть определяет радиус кривизны R сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности и касательную к нити. Радиус кривизны р самой кривой АЛ изображается отрезком АС главной нормали п кривой. Угол ме кду направлениями АС и АО обозначается б-(рпс. 25.4) по теореме Менье пз курса дпффереициальпой геометрии [c.437]

Предположим для определенности, что поверхность а в некоторой окрестности рассматриваемой точки расположена вся по одну сторону от касательной плоскости, и обозначим через N нормаль, направленную в сторону вогнутости. Обозначив через t касательную к траектории, рассмотрим сечение поверхности а плоскостью tN (нормальное сечение по касательной к траектории) и обозначим через 9 угол, который составляет главная нормаль к траектории (направленная к центру кривизны) с нормалью к поверхности N. По предположению, сделанному относительно поверхности о, этот угол острый, а, с другой стороны, если г и — радиусы кривизны траектории и нормального сечения касательной в точке касания, то по теореме Мёнье ) имеем [c.144]

Аналитический трехгранник БИНС, или саму платформу в платформенном варианте, удобно удерживать в плоскости, касательной к софокусному эллипсоиду, так чтобы ось жз совпадала с нормалью. Учет кривизн поверхностей семейства софокусных эллипсоидов и кривизн семейства ортогональных им гипербол позволяет сформировать угловые скорости горизонтируемого трехгранника, с использованием матрицы Ахг, с элементами aij, в следующем виде [c.366]

Напряжения в изогнутой пластинке или оболочке. Упругие усилия и моменты в изогнутой оболочке или пластинке, при значительном изгибе последней, могут быть определены тем жг приемом, которым мы пользовались в 294 для случая малой дгформации пластинки. Пусть будет кривая, проведенная на деформированной средней поверхности, V — нормаль к этой кривой, лежащая в касательной плоскости к поверхности и проведенная из точки в ту или другую сторону, выбранную определенным образом. Мы предположим, что положительное направление на кривой выбрано таким образом, что нормаль V, касательная к 5, и нормаль к поверхности, проведенная из Р в направлении, выбранном для нее за положительное, образуют правую систему. Через касательную к 5 в ЯJ проведем нормальное сечение деформированной средней к поверхности и отметим на нем плоский элемент, ограниченный нормалью к поверхности в точке и нормалью к (плоской) кривой, получающейся в сечении, в соседней ее точке P . Усилия, приложенные к этому элементу и развиваемые частью оболочки, находящейся по ту сторону от х, куда направлена нормаль V, на остальную часть, могут быть приведены к силе, приложенной в /э,, и паре. Средние значения этой силы и пары на единицу длины дуги Р Р1 получаются делением величин силы и пары на эту длину. Пределы этих средних значений суть упругое усилие и момент, отнесенные к кривой 5 в точке Р . Мы обозначим их так жг, как в 294, через Т, 5, Л/, //, О. Для того чтобы их определить, возьмем временно оси х, у, г, направленные соответственно по нормали V, касательной к кривой 5, и нормали 1 средней поверхности в точке PJ, и через Л ,,. .. обозначим компоненты напряжения относительно этих осей. Тогда, обозначая через / радиус кривизны нормального сечешя, плоскость которого проходит через-касательную к 5 в имеем [c.554]

Положим вектор v совпадающим с единичной нормалью N к поверхности s t) и рассмотрим теорему Стокса (А. 11. 10) Определим производную по нормали d/dN, оператор проектирования Р на локально касательную плоскость к s t), тангенциальный или поверхностный градиент Vj на s t) и среднюк> кривизну Q поверхности s t) по формулам [c.540]

Перпендикуляр N касательной плоскости в точке касания ее с поверхностью называется нормалью к поверхности (рис. 5). След пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль, представляет собой плоскую кривую, лежащую в поверхности и называемую нормальным сечением (рис. 5). Плоскость, образующая нормальное сечение, может быть задана углом ф, составленным этой плоскостью с некоторым начальным лучом Яо. кЬторый лежит в касательной плоскости (рис. 5). Через точку Л поверхности можно провести бесчисленное множество нормальных сечений. Кривизна нормального сечения в точке А является функцией угла ф будем [c.14]

Если в каждой точке поверхности мржно провести плоскость, касательную к последней, то будем называть поверхность регулярной. Перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания ее с поверхностью называется нормалью к поверхности, плоскости, ттрохедящие через нормаль к поверхности, оставляют на последней следы, называемые нормальными сечениями. Таким образом, нормальные сечения на поверхности — это плоские кривые. Кривизна нормального сечения в точке касания определяется формулой (см. рис. -6) [c.42]

Системы координат. В качестве координатных линий будем использовать линии кривизны недеформированной срединной поверхности оболочки и нормаль к зтой поверхности. Эти линии кривизны определяются как линии, вдоль которзмх равна нулю кривизна, и, как показывается в теории поверхностей, всегда существуют по крайней мере две такие системы линий, и зти системы являются ортогональными, т. е. касательные к двум таким линиям в точке их пересечения взаимно перпендикулярны. Очевидно, что пересечение плоскости симметрии оболочки с ее срединной поверхностью, является линией кривизны, поскольку любое кручение на этой линии будет нарушать условия симметрии для большинства представляющих практический интерес типов оболочек это обстоятельство определяет систему линий кривизны [c.391]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...