Решение для конечной односвязной области

Решение для конечной односвязной области [c.375]

Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной области. Так как искомые аналитические функции ф(г) и i j(z) однозначны в данной области S и упругие постоянные Я и х не входят в граничное условие (6.109), то решение этой задачи, даваемое функциями ф(2), -113(2), не зависит от упругих постоянных X и Х, иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной многосвязной области решение, определяемое функциями ф(г), я з(2), зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функциями ф(2), 1 з(2), не зависело от упругой постоянной ус, главные векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lh, как это следует из формул (6.100), (6.101), должны быть в отдельности равны нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных тела. Этот результат и составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе метода нахождения напряженного состояния в каждой точке изотропной однородной среды на мо- [c.132]

Контурные условия (19) в этом случае отпадают, а условие (18) показывает, что решение задачи для составной конечной области сводится к решению плоской задачи теории упругости для конечной односвязной области. [c.21]

Относительно вопроса существования решения заметим пока следующее. С точки зрения математической, первая основная задача вполне эквивалентна, по крайней мере для конечных односвязных областей ), задаче равновесия упругой тонкой пластинки, заделанной по краям, при наличии нагрузки, нормальной к ее плоскости. Действительно, эта последняя задача может быть сведена к нахождению бигармонической [c.137]

Рассмотрим сперва случай конечной односвязной области. В этом случае искомые функции ф, ij голоморфны в области S. Так как, далее, граничное условие (2) 41 не зависит от упругих постоянных X, х, то функции ф, ур, дающие решение первой основной задачи, будут давать решение этой задачи (при тех же заданных внешних напряжениях) для тела той же формы, но сделанного из любого другого (однородного и изотропного) материала. [c.154]

Метод решения, аналогичный изложенному выше ( 151) для случая двусвязных областей, был применен Д. И. Шерманом [35] в задаче о напряжениях в кусочно-однородных средах, когда составное неоднородное тело, занимающее конечную односвязную область, состоит из соединенных между собой двух различных по упругим свойствам деталей. Отверстие в однородной пластинке конечных размеров, ограниченной двумя замкнутыми контурами, заполняется сплошной шайбой из другого материала. На внешней границе пластинки задаются обычные условия первой задачи, а на линии раздела двух сред требуется равенство напряжений при наличии заданного скачка упругих смещений. [c.590]

В дальнейшем под термином аналитические методы будем понимать методы, позволяющие получить решение краевой задачи в виде аналитической функции (скалярной или векторной), удовлетворяющей точно или приближенно уравнениям и граничным условиям этой задачи. Если метод позволяет получить решение, которое точно удовлетворяет как уравнениям краевой задачи во всей области, в которой она решается, так и граничным условиям на всей границе этой области (или на той части границы, на которой они заданы), за исключением, возможно, конечного числа точек, то метод является точным для данной задачи или класса задач. Например, метод Колосова-Мусхелишвили 65] является точным методом решения плоских статических задач линейной теории упругости для односвязных областей, которые могут быть конформно отображены на единичный круг с помощью дробно-рациональной функции. Для многих классов задач точные аналитические решения неизвестны. Это, например, плоские статические задачи линейной упругости для многосвязных областей или статические задачи нелинейной теории упругости при конечных деформациях. Только отдельные задачи этих классов имеют точное аналитическое решение. Существуют методы, позволяющие свести решение таких задач к последовательному решению более простых задач, для каждой из которых точное аналитическое решение может быть найдено. Например, при решении задач линейной упругости для много- [c.45]

Эффективные решения граничных задач для двусвязных областей. ]Метод Д. И. Шермана. За последнее время был разработан способ эффективного построения решений граничных задач плоской теории упругости для некоторого класса двусвязных областей. Этот класс включает в себя конечные и бесконечные области, ограниченные двумя замкнутыми контурами специального вида. Условием, определяющим упомянутый класс областей, служит требование, чтобы для односвязной области, внешней либо внутренней по отношению к одному из замкнутых контуров, входящих в состав полной границы и содержащей внутри себя второй контур, изучаемая задача допускала эффективное решение. [c.575]

Область поперечного сечения может быть какой угодно — конечной, бесконечной, односвязной или многосвязной. Примем плоскость какого-нибудь поперечного сечения за координатную плоскость г0 или ху, за начало координат возьмем точку О, в которой ось g пересекает данное сечение ось z направим по оси анизотропии, а оси х я у направим произвольно, если область бесконечна, или параллельно главным осям инерции сечения, если эта область конечна. Ось х одновременно будем считать и полярной осью цилиндрической системы координат и от нее будем отсчитывать полярные углы 0 (расстояние г отсчитывается, как всегда, от начала координат О), При решении некоторых вопросов для случая, когда область сечения конечна, мы будем пользоваться еще системой координат (декартовых) О, х, у у которой начало О совпадает с центром тяжести сечения, а оси х, у направлены по его главным осям инерции. Координаты центра тяжести О в системе О, х, у, ъ будем обозначать через 1иг (рис. 67). [c.212]

Изложенный путь решения охватывает все задачи рассматриваемого класса, весьма прост по идее и несложен по характеру выкладок. Существенным недостатком считается, однако, то, что этим путем (в отличие от метода интегралов типа Коши) нельзя получить фо(С) в замкнутом виде (если х(С) аппроксимирована конечным отрезком степенного ряда). Ввиду этого последний метод обычно предпочитается при решении плоской задачи для односвязных областей произвольного виДа, включая бесконечные области с отверстием. ([20], стр. 237). Однако, как было показано К. Ф. Черных в его дипломной работе (1951 г.), изложенный выше метод неопределенных коэффициентов может быть усовершенствован. [c.340]

Сформулированный выше путь решения задач обладает достаточной четкостью и ясностью и может быть применен к решению разнообразных задач как при рассмотрении односвязных, так и многоконтурных областей, однако существенным его недостатком является громоздкость вычислений, связанных с определением перемещений. В связи с этим наряду с применением метода конечных разностей в последние годы для решения задач теории упругости получили развитие и другие методы расчета, рассмотрению которых будут посвящены две последующие главы. [c.114]

Уравнение, записанное в виде (2), можно, конечно, использовать для решения упругопластической задачи при почти любой форме поперечного сечения и любом типе деформационного упрочнения. Вообще говоря, однако, более предпочтительной была бы, по-видимому, постановка задачи, использующая функцию депланации (осевое перемещение), поскольку функция депланации имеет более четкий физический смысл, чем функция напряжений, и, что важнее, при этом исчезает различие между односвязными и многосвязными областями. Поэтому мы сформулируем задачу, используя функцию депланации, и более подробно опишем построение решения в случае стержня квадратного сечения. [c.71]

И при г — 3, = 0,25, Во = соотношению (1.7) нельзя удовлетворить (предполагается, что О С V С /г). Отсюда, имея в виду теорему Келдыша — Лаврентьева о представимости в конечной односвязной области гармонической функции равномерно сходящимся рядом гармонических полиномов, надо заключить, что представление (1.7) при V = 0,25 невозможно. Для бесконечной области с полостью в представлении Во следует заменить тг на — (га + 1), знаменатель в ряде (1.8) 4 (1 — V) + + га И- 1 не обращается в нуль ни при каком целом п и О < V < отбрасывание Во в этом случае законно. Аналогично доказывается, что решение (1.5) является общим для конечной односвязной области, не исключая V = 0,25, а для бесконечной области с полостью при V Ф 0,25. Более общие результаты можно найти у М. Г. Слободянского (1954). [c.7]

Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам. 1. Изложенный в 84—87 метод решения применим, в частности, ко всем односвязным областям, конформные отображения которых на круг указаны в качестве примеров в 48. Из числа этих примеров случай бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием подробно рассмотрен нами в 82, 83. Случай конечной области, ограниченной улиткой Паскаля, рассмотрен в 63, где мы применили метод разложения в ряды применение метода 84 гораздо быстрее приводит к цели. Мы предоставляем читателю решение основных задач для этого случая только что указанным способом. Случай бесконечной плоскости с гипотрохоидальным отверстием ( 48, п. 4) подробно изучен при помощи метода 84 Г. С. Шапиро [1] в применении к некоторым практически важным задачам (см. еще в следующем параграфе о работах Г. Н. Савина). [c.333]

В ряде работ Д. И. Шермана (см., например, 1947, 1951) был разработан эффективный способ решения плоской задачи для определенного класса (конечных и бесконечных) двухсвязных областей, ограниченных двумя замкнутыми кривыми. Основной чертой метода, определяющей класс допустимых областей, служит требование, чтобы плоская задача для односвязной области (внешней либо внутренней по отношению к одному из ограничивающих область замкнутых контуров) допускала решение в замкнутом виде. Таким образом, границей области могут служить окружности, эллипсы, правильные многоугольники с округлёнными вершинами и т. п. Пример бесконечной области — плоскость с двумя отверстиями требуемого вида. В рассмотрение можно включить и полуплоскость с двумя отверстиями (трехсвязная область), если считать отверстия расположенными далеко от прямолинейной ее границы, а на этой последней требовать удовлетворения граничным условиям лишь приближенно. Задачи этого типа особо важны для приложений в горном деле. При изложении сущности метода будем для определенности считать область 8 конечной, ограниченной кривыми (внутренней) и (внешней). [c.51]

М. Г. Слободянским доказано, что (1.4,19) представляет общее решение уравнений теории упругости для односвязной конечной области при любом v (не исключая v = 0,25) в случае бесконечной области, внешней по отношению к замкнутой поверхности, общим (не исключая v = 0,25) является решение (1.4.18). [c.131]

Задача о несущей способности тела. Дано тело конечных размеров односвязное или многосвязное найти все возможные типы поверхностных нагрузок, при которых тело будет всюду находиться в состоянии пластического равновесия. Задача имеет двоякий пр кти ческий интерес а) решение её выясняет предельные нагрузки, отно сительно которых может быть целесообразно выбран запас прочно сти б) решение её даёт необходимые данные для решения смешан ной упруго-пластической задачи. Последняя же интересна потому что отвечает на вопрос насколько уменьшается жёсткость тела если некоторая его область выходит за предел упругости. Заметим что вопрос о возможности разрушения в этой области остаётся открытым, так как деформации в них, вообще говоря, не могут быть определены. [c.324]

В ряде программ предусмотрено использование внешних запоминающих устройств (пакета дисков, накопителя на магнитной ленте). Для уменьшения объема оперативной памяти, необходимой для размещения текста программ, применена оверлейная структура, позволяющая сохранять в оперативной памяти тексты только тех подпрограмм, которые необходимы для выполнения определенного этапа расчетов. В большинстве разработанных программ распределение оперативной памяти машины под массивы числовых данных осуществляется специальной подпрограммой, позволяющей использовать для размещения информации массивы с переменными границами, соответственно особенностям решаемых задач. Программы реализуют стандартную процедуру метода конечных элементов с решением системы линейных алгебраических уравнений по методу Холецкого, двойного разложения Холецкого, сопряженных градиентов, сингулярного разложения. Имеется подпрограмма автоматической генерации исходных данных при разбиении на конечные элементы односвязных и двухсвязных областей. [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...