Уравнения движения тела около неподвижной точки

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Для составления дифференциальных уравнении движения твердого тела около неподвижной точки обычно пользуются так называемыми обобщенными или необобщенными уравнениями Эйлера, которые получаются на основании уравнений (14) и (17). [c.36]

Дифференциальные уравнения (28) представляют собой обобщенные уравнения Эйлера движения твердого тела около неподвижной точки, отнесенные к осям координат, подвижным как в абсолютном пространстве, таки по отношению к рассматриваемому телу. Пользуясь обобщенными уравнениями (28) Эйлера, нетрудно получить простые (необобщенные) уравнения Эйлера, широко используемые при изучении движения самолета, ракеты, корабля и др. [c.39]

Дифференциальными уравнениями (30) движения твердого тела около неподвижной точки иногда пользуются при исследовании движения самолета, а также, например, при исследовании движения платформы гиростабилизатора. [c.40]

Эти уравнения достаточны для определения движения твердого тела следовательно, движение твердого тела около неподвижной точки вполне определяется результирующим моментом внешних сил относительно этой точки. [c.87]

Второе уравнение получим,применяя теорему моментов относительно вертикальной оси Г2 в относительном движении около центра тяжести. Мы придем, таким образом, к точно такому же уравнению, как в случае абсолютного движения твердого тела около неподвижной точки. Это второе уравнение (6) п° 361. [c.206]

Эти уравнения справедливы и в других случаях. Если действующие на тело силы приводятся к равнодействующей, приложенной в центре тяжести, то уравнения (13.11.1) будут справедливы, так как при этом JV" = 0 важным частным случаем является задача о движении снаряда в (однородном) гравитационном поле Земли. Уравнения (13.11.1) сохраняют силу также в случае вращения твердого тела около неподвижной точки О, если момент заданных сил относительно этой точки равен нулю. [c.234]

Эти уравнения по виду тождественны с уравнениями движения твердого тела около неподвижной точки, так что можно применить хорошо известное решение этой задачи, данное Пуансо. Вращательное движение тела мы получим, если заставим эллипсоид (7), неподвижно связанный с телом, катиться по неподвижной в пространстве плоскости [c.214]

Так же получим два других аналогичных уравнения. Таким образом полученные уравнения тождественны по форме с уравнениями Эйлера для свободного движения твердого тела около неподвижной точки. [c.258]

Можно показать, что для полного интегрирования задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки достаточно найти четыре независимых первых интеграла. В самом деле, систему шести дифференциальных уравнений, поскольку в них не входит явно время, можно заменить эквивалентной системой пяти уравнений [c.404]

В 1888 г. первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891), прославившая своими замечательными трудами русскую науку, написала научную работу, в которой рассмотрела новые случаи интегрируемости уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. За эту работу Французская Академия паук присудила С. В. Ковалевской премию. [c.8]

Несомненно, что из указанных выше двух классических задач задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки является более простою. В самом деле, решение этой задачи приводится к интегрированию шести уравнений первого порядка, в то время как задача трех тел приводится к интегрированию девяти уравнений второго порядка. Естественно было начинать с попыток приложения общих методов аналитической теории дифференциальных уравнений, именно к задаче о движении тяжелого твердого тела кроме того, эта задача представляла еще тот интерес, что она, несомненно, привлекала к себе гораздо менее внимание исследователей, в то время как задаче трех тел (ввиду несомненного астрономического интереса ее) было посвящено огромное число исследований. [c.23]

Развитие результатов Эйлера в области динамики твердого тела было проведено в дальнейшем главным образом русскими учеными . Знаменитая русская женщина-математик С. В. Ковалевская (1850—1891) обнаружила новый случай интегрируемости уравнений Эйлера в динамической задаче о движении твердого тела около неподвижной точки. В своей работе Ковалевская задается целью отыскать такие классы движений тяжелого твердого тела, для которых проекции мгновений угловой скорости на подвижные оси выражаются в виде некоторых функций времени, имеющих особые точки только в форме полюсов первого порядка. Этим путем она нашла решение новой, труднейшей задачи о движении несимметричного гироскопа, и ее работа вызвала появление обширной литературы как в нашей стране, так и за границей. [c.33]

Уравнения (12) называются динамическими уравнениями Эйлера для движения твердого тела около неподвижной точки. В левые части этих уравнений входят три неизвестные функции р, г, которые представляют собой проекции мгновенной угловой скорости на подвижные оси. хх, уу, гг — осевые моменты инерции относительно главных осей. В общем случае моменты внешних действующих снл зависят от положения (ориентации) тела по отношению к неподвижным осям, т. е. от углов Эйлера [c.436]

Система шести уравнений (12) и (14) или (12) и (16) представляет совокупную систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций р, д, г, ф, р, 0. Определив интегрированием р, ц, г, ф, 1 , 0 как функции времени и шести произвольных постоянных, мы найдем закон движения твердого тела около неподвижной точки. Произвольные постоянные интегрирования определяются из начальных условий, т. е. из задания начального положения твердого тела и его начальной угловой скорости. Следует отметить, что интеграция системы уравнений (12) и (14) при произвольных начальных условиях выполнена для ограниченного числа задач. Мы рассмотрим далее некоторые классические задачи о движении твердого тела около неподвижной точки. [c.439]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

Уравнения движения твердагг) тела около неподвижной точки [c.401]

В основе всей динамики твердого тела лежат уравнения Эйлера, предложенные им в 1767 г. Уравнения эти определяют движение твердого тела около неподвижной точки и имеют место при произвольном движении твердого тела, так как самое общее движение твердого тела может быть представлено в виде суммы переносного поступательного движения, определяемого движением центра масс тела, и относительного движения тела вокруг центра масс. Центр масс твердого тела движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса тела и приложены все действующие на тело силы. Относительное движение твердого тела вокруг центра масс определяется теоремой об изменении момента количества движения относительно осей Кёнига. [c.368]

Анализ бесконечно малых величин в приложении к задачам механики впервые применил знаменитый математик и механик XVIII в., член Россййской Академии наук Леонард Эйлер (1707—1783). Он написал 43 тома сочинений н более 780 статей. Большое число его выдающихся трудов относится к задачам механики. Эйлером был создан фундаментальный труд по аналитической динамике точки и твердого тела. С большой ясностью и полнотой Эйлер разработал задачи о движении твердого тела около неподвижной точки. Полученные Эйлером в этих задачах формулы, известные под названием эйлеровых, вошли во все современные курсы теоретической механики. Эйлера следует считать и основателем гидродинамики, так как он впервые вывел основные уравнения движения идеальной жидкости. [c.7]

В главе I подробно исследованы уравнения свободного вращения твердого тела около неподвижной точки, В результате проведенного качественного анализа такого движения получены аналитические зависимости пределов нутации оси собственного вращения от начальных усювий. Выявлена аналитическая природа движений. Глава 1 дает обоснования для использования тех или иных предположений о характере движения, которые сделаны в последующих главах. [c.2]

Первые интегралы уравнений движения. Исследуем более сложный случай движения твердого тела около неподвижной точки, когда эллипсоид инерции тела относительно этой точки имеет неравные оси (т. е. АФВФС), а сумма моментов действующих на тело внешних сил относительно точки опоры равняется нулю. Практически интересный пример такого движения будет иметь место, если произвольное тяжелое тело закрепить в его центре тяжести. Если произвольное массивное тело будет двигаться в свободном пространстве (т. е. в пространстве без действия внешних сил), то легко понять, что центр масс такого тела будет двигаться прямолинейно и равномерно, а движение около центра хмасс будет соответствовать формулированным выше условиям. Эта задача о движении твердого тела была впервые исследована Л. Эйлером в 1758 г. наглядную геометрическую картину этого движения на осно- [c.443]

Смотреть страницы где упоминается термин Уравнения движения тела около неподвижной точки : [c.58] [c.103] [c.411] [c.564] [c.186] [c.66] [c.189] [c.100] [c.133] [c.422] [c.434] [c.577] [c.673] [c.192] [c.166] [c.12] [c.5] [c.674] [c.715] [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...