Условия совместности второго порядка

Выведем кинематическое условие совместности второго порядка. Вначале рассмотрим производную по времени от проекции внешней единичной нормали. По определению имеем [c.8]

Используя (1.8), получим кинематическое условие совместности второго порядка в виде [c.9]

Величина второго члена в правой части на фронте волны определяется из геометрического условия совместности второго порядка [42] [c.16]

Вычислим левую часть в (1.45), используя кинематическое условие совместности второго порядка (1.9), [c.28]

Условия совместности второго порядка. В 17 были обсуждены простейшие условия совместности, относящиеся к скачкам производной произвольной функции на поверхности скачка Здесь же выведем условия совместности второго порядка, которые относятся ко вторым производным произвольной функции. [c.136]

Подставляя теперь (20.24) и (20.25) в зависимость (20.23), получаем первое из искомых условий совместности второго порядка [c.137]

Перейдем к построению кинематических условий совместности второго порядка. Введем дальнейшие обозначения [c.137]

Определяя из последнего равенства В и подставляя в (20.28), находим искомые кинематические условия совместности второго порядка [c.138]

Остальные величины (20.20) и (20.27) не могут быть выражены через амплитуду S . Подставляя Л , А В в условия совместности второго порядка (20.26) и (20.29), запишем [c.138]

Получим уравнение для изменения х вдоль поверхностного луча. Для этого запишем динамические условия совместности второго порядка на 5 [c.805]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Таким образом, задача определения пяти перечисленных выше параметров механизма имеет алгебраическое решение в общем виде. Приемлемость решения может быть проверена, как и в предыдущем случае, по геометрическому и статическому условиям существования кривошипа. Конструктивно приемлемый вариант механизма может быть найден также и путем варьирования параметра а. Заметим, что вместо решения (4.66) следует предпочесть совместное решение двух квадратных уравнений (4.64) методом последовательных приближений или графическим методом путем построения кривых второго порядка. [c.101]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Уравнения совместности деформаций (9.27), записанные в напряжениях, при условии (11.33) содержат в левых частях однородные дифференциальные операторы второго порядка, функции же (11.32) имеют либо нулевую, либо первую степень ) и, таким образом, вторые производные от них равны нулю. Вследствие сказанного уравнения совместности деформаций функциями (11.32) удовлетворяются. [c.29]

Уравнения совместности деформаций (9.22) и (9.26), выраженные в напряжениях, при условии (12.23) также удовлетворяются, так как они в левых частях содержат однородные дифференциальные операторы второго порядка, функции же (12.22) либо нулевой, либо первой степени и, таким образом, вторые производные от них равны нулю. [c.115]

Объективные трудности в использовании моделирования как основного инструментария для целенаправленного выбора и анализа проектных решений, оптимизации параметров проектируемых схем и конструкций систем, прогнозирования работоспособности РЭС в заданных условиях эксплуатации состоят в том, что до выполнения настоящей работы отсутствовали возможности комплексного, т.е. совместного математического моделирования одновременно протекающих в РЭС и их элементах процессов (электрических, тепловых, механических, аэродинамических, электромагнитных и других), обусловленных как процессами функционирования РЭС и воздействием внешних факторов, так и процессами их износа и старения. Разные по своей природе физические процессы, протекающие в РЭС, описываются различными математическими законами. Например, электрические процессы в цепях с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в цепях с распределенными параметрами - волновыми уравнениями, тепловые процессы в элементах конструкций - уравнениями теплопроводности в частных производных второго порядка, а механические процессы колебаний печатных узлов - бигармоническими уравнениями в частных производных четвертого порядка. [c.65]

В общем случае (1.11) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. С учетом граничных условий для функции и (г) на контурах г = Ь и г а оно легко может быть решено численным методом при использовании ЭВМ. Для диска постоянной толщины при постоянных параметрах упругости и в некоторых других случаях это уравнение имеет замкнутое решение. Дифференциальные уравнения растяжения диска в напряжениях представляют собой систему двух уравнений относительно и — уравнения совместности деформаций (1.10) и уравнения равновесия (1.3). [c.10]

Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости необходимо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необходимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости. В этом случае должно считаться известным всё движение жидкости для какого-либо фиксированного момента времени, например для начального момента = 0. [c.93]

Отмеченные выше критерии длительности и промежуточных процессов во многих случаях весьма полезны. Однако они носят лишь качественный характер и не решают проблему в целом. Детальная теория, рассматривающая в рамках единого подхода все компоненты РВС, была развита в работах [5—12] (см. также [13, 14]). Эта теория непосредственно применима к примесным центрам кристаллов. Однако полученные в работах [5—12] результаты содержат и выводы общего характера. Наиболее важным таким результатом было доказательство того, что формула второго порядка для рассеяния света [формула (т. 2, 6. ) основного текста книги] в резонансном случае описывает все компоненты РВС, включая и люминесценцию [5]. Тем самым, удалось объединить теории рассеяния света и люминесценции и углубить понимание природы этих явлений, что позволило так-л<е совместно описать все компоненты РВС и на такой основе решить проблему его классификации. В частности, стало ясно, что точное разделение РВС на различные компоненты в принципе невозможно такое разделение можно провести лишь приближенно, причем только при выполнении определенных условий для соотношения скоростей радиационного распада и процессов релаксации. В примесных центрах кристаллов эти условия обычно очень хорошо выполняются. Поэтому указанное разделение здесь не только возможно, но и необходимо для достижения правильного понимания физики явления. Ниже мы коротко изложим основные положения этой теории. [c.328]

Как мы видели, в таких системах на начальной стадии движения могут иметь место (при соответствующих начальных условиях) быстрые изменения состояний, после которых движение описывается достаточно удовлетворительно соответствующим уравнением первого порядка. Эти быстрые изменения состояний, во время которых играют существенную роль те или иные малые параметры, могут быть проанализированы только при учете последних, т. е. в результате решения соответствующих уравнений второго порядка, несмотря на то, что движения системы после этих быстрых изменений состояний достаточно точно отображаются уравнением первого порядка. Однако, если нас не интересуют детали этой начальной и весьма кратковременной стадии движения, мы можем заменить это рассмотрение уравнения второго порядка предположением о том, что состояние, совместное с уравнением первого порядка, устанавливается мгновенно, скачком. При этом мы должны ввести новый постулат (условие скачка), который определял бы то состояние, в которое приходит система в результате скачка и начиная с которого движение системы отображается соответствующим уравнением первого порядка. [c.81]

Независимые условия совместности с 5 <ц> = О и дЗ<22> = О после исключения из них величины де2 с помощью условия несжимаемости позволяют сформулировать систему двух уравнений второго порядка относительно де и дез. Главная часть этой системы есть [c.95]

Условия совместности Сен-Венана для малых деформаций получаются из (6.76), (6.71). Символы Кристофеля (учитывая Яи = + 2гг ) будут малыми порядка б, а их произведения— порядка 6 и потому вторая группа слагаемых в (6.76) должна быть опущена. В результате получаем шесть уравнений [c.85]

Выборочная проверка в порядке приемочного контроля выполняется в соответствии с планом П1. Состояние объективных условий, применительно к которому выбирается решение, представляет собою долю брака в продукции, выполненной в течение тех МП, в конце которых при выборочной проверке границы регулирования не были нарушены. Очевидно, доля брака в такой продукции зависит, во-первых, от жесткости плана II выборочной проверки выходных отклонений и, во-вторых, от распределения этих отклонений. Это последнее, в свою очередь, зависит от плана I выборочной проверки ошибки регулировки Ур,,. Таким образом, все три решения, имеюш,ие место в схеме, связаны оперативно и представляют собой, по определению, оперативную цепь 1. Оптимизировать план выборочных проверок, на основании которых принимаются эти три решения, составляющие оперативную цепь, можно либо совместно, либо вообще нельзя. [c.46]

Фока может быть записано не с помощью коэффициентов, входящих в (11.6) (сумма по индексам первого столбца), а в терминах коэффициентов из набора (11.55), относящихся ко второму столбцу. Совместность условия Фока и системы уравнений, отвечающей (11.56), выражаются при этом как обращение в нуль окаймленного детерминанта порядка М + 2 [c.253]

В случае, когда непрерывная часть составляющей (VIII.22) представляет собой апериодическое звено второго порядка, процесс в ней может быть как колебательным, так и апериодическим. Поэтому при вычислении переходного процесса по формулам (VII. 129) или (VII. 132) необходимо проверять условие УП.84). При его выполнении процесс в дискретной составляющей второго порядка апериодический. В этом случае первое звено рассматривается как дискретная составляющая первого порядка, а второе звено рассматривается совместно с третьим и т. д. [c.313]

Для нахождения закона изменения в динамическом процессе энтальпии и расхода следует продолжить совместное решение уравнений (6-22) — (6-24). Дифференцирование уравнения (6-22) по 2 и подстановка в него dADJdz из уравнения (6-24) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, совпадающему с уравнением (6-6) для радиационного испарительного участка. Внешне совпадают и граничные условия [c.243]

Первая попытка совместного рассмотрения инкубациоиной стадии и процесса развития макроскопических трещин была предпринята, по-видимому, автором (1959 г.), который предложил двухстадийную модель усталостного разрушения. Эта модель основана на введении двух мер повреждения, одна из которых характеризует разрыхление (степень подготовки материала к образованию усталостной трещины), вторая —размер магистральной усталостной трещины. Этот подход был предложен для объяснения и описания отклонений от линейного закона суммирования повреждений при изменении порядка приложения нагрузок различной интенсивности. В статьях [7, 14 ] концепция двух стадий разрушения получила дальнейшее развитие и доведена до соотношений, позволяющих прогнозировать показатели долговечности в условиях длительного и циклического нагружения. Основой для объединенной теории послужила модель зарождения макроскопических трещин, которая позволяет сформулировать начальные условия для второй стадии разрушения. Вторая стадия состоит в развитии макроскопической трещины либо до критического размера при котором трещина становится неустойчивой, -либо до предельно допустимого значения, после достижения которого данный элемент конструкции или деталь машины условно рассматриваются как разрушенные. Общее соотношение для размера I (длины краевой трещины, полудлины центральной трещины, радиуса дисковой трещины и т. п.) имеет вид [c.115]

Кроме методов профилирования плоских и осесимметричных сопел в ЛАБОРАТОРИИ развивались приближенные способы профилирования пространственных сопел максимальной тяги и сопел аэродинамических труб. В [45] развит метод профилирования цилиндрических боковых стенок пространственного сопла максимальной тяги, которое отличалось от плоского дополнительным медленным расширением его верхней и нижней стенок. Вариационная задача решалась в квазитрехмерном приближении, сводящим пространственное течение к двумерному с отвечающими расширению верхней и нижней стенок слагаемыми в условиях совместности на и С -характеристиках. Тяги построенных сопел, определенные в квазитрехмерном приближении, сравнивались с величинами, рассчитанными интегрированием пространственных уравнений Эйлера по маршевой схеме второго порядка аппроксимации. Выполненные сравнения подтвердили высокую точность развитого приближения. [c.367]

Альтернативным вариантом получения условия второго порядка явля ется совместное рассмотрение разложений дпя ф при = ку и у = 2ку. [c.190]

Подставляя из первого равенства в третье, а из второго— в четвертое, приходим в обоих случаях к одному и тому же условию d == ss /(s — s ) = f, выполнение которого обеспечивает совместность указанных равенств. С другой стороны, легко убедиться, что третье и четвертое выражения для У 1 тождественны. Следовательно, если расстояния от линзы до асферик равны фокусному расстоянию силовой линзы (и объектива), то компенсируются все аберрации пятого порядка. Вычисляя теперь коэффициенты асферической деформации пятого порядка для всех элементов системы и подставляя условие d = f в уравнения [c.145]

В XX столетии в проблеме отыскания постоянных третьего порядка и оценки того, как можно проделать такое огромное число измерений, чтобы получить желаемое количество от 6 до 56 постоянных, можно видеть исторически интересную во всех подробностях параллель с эволюцией идей и наблюдений Фохта в XIX веке. Отсылая читателя к доступным табулированным постоянным второго и третьего порядков, я подчеркиваю экспериментальную и теоретическую дилемму в интерпретировании данных о скорости волн в неодномерном пространстве в терминах скорости в одномерном. Интерес к супергармоникам, субгармоникам, взаимодействию фононов энергетическому обмену между компонентами ультразвуковых волн и тому подобное позволяют полагать, что важность линейной аппроксимации может уменьшиться в одной из наиболее важных ее крепостей — атомной физике. Развитие нелинейных теорий распространения волн в изотропных и анизотропных телах, совместно с соответствующей теорией отражения волн в телах со свободными и смешанными граничными условиями для материалов как в предварительно напряженном состоянии, так и при нулевых напряжениях характеризуют XX столетие, точно так же, как XIX столетие, как мы теперь видим, характеризовалось использованием в значительной мере линейной аппроксимации. [c.523]

Для определения функций д (и) и Мх (и) практически пригодны два способа способ замены ступицы сложной конфигурации ступенчатой ступицей, примерно равновеликой ей по площади осевого сечения (штриховой контур на рис. 4.4), и способ использования электронной аналогии уравнения (4.3а). Первый способ для ступицы, имеющей 1 ступеней, сводится к решению системы из / линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффидиеятамч (уравнения совместности деформаций для каждого участка) при совместных граничных условиях. Эти условия выражают равенство на концах участков крутящих моментов и их первых производных, пропорциональных интенсивности нагрузки в соединении. Рекомендовать данный способ при ручном методе расчета можно лишь при небольшом количестве участков (два-три). Большее количество требует применения ЭВМ. Второй, более простой способ — определение продольной концентрации нагрузки для соединения со ступицей произвольной конфигурации с помощью использования электронных вычислительных машин непрерывного действия (ЭВМНД) [7]. С этой целью уравнение (4.3а) для машинного решения преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка [c.144]

Пять уравнений этой системы содержат четыре производных первого порядка от лишней функции а. Их исключение приведет к уравнениям, связывающим только инвариантные величины и их производные это будет часть инвариантной факторсистемы. Кроме того, полученные выражения для производных от а должны быть совместны. Очевидно, что условия сов.местности породят новые соотношения между инвариантными величинами и их производными. Эти соотношения составят вторую часть инва-риаггтной факторсистемы. Что же касается теперь уже совместных выражений для производных от а, то они образуют дополнительную пассивную (т. е. не порождающую каких-либо новых уравнений) систему Р. Весь этот путь реализации представления системы (6) в виде объединения инвариантной факторсистемы и пассивной системы Р фактически будет проделан при доказательстве нижеследующей теоремы, дающей описание основных свойств простых волн. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...