Микроканоническое и каноническое распределения

Определим теперь распределение по состояниям открытой системы в термостате, называемое большим каноническим распределением Гиббса. С такими системами мы встречаемся в целом ряде приложений. Кроме того, использование большого канонического распределения во многих случаях оказывается более эффективным, чем микроканонического и канонического распределений. [c.204]

Квантовые микроканоническое и каноническое распределения [c.216]

Определение микроканонического и канонического распределений квантовых систем в целом аналогично рассмотренному классическому случаю. Роль функции распределения играет теперь статистический оператор р или набор коэффициентов определяющих вероятностное распределение по чистым состояниям. [c.216]

В основу статистической физики может быть положено как микроканоническое, так и каноническое распределение. В теоретических рассуждениях удобно исходить из свойств замкнутой системы, как относительно более простого объекта. Поэтому в дальнейшем изложении, как это обычно и делается, мы будем считать основным постулат [c.42]

Большое каноническое распределение получим аналогично выводу канонического, исходя из микроканонического распределения для изолированной объединенной (термостат и изучаемая малая система) системы с энергией Ео и числом частиц No. Отличие в рассматриваемом случае системы состоит в том, что теперь следует в явном виде указывать число частиц в ней. [c.205]

В гл. 12, 13 мы рассмотрели микроканоническое, каноническое и большое каноническое распределения Гиббса, соответствующие различным способам выделения системы (различным граничным условиям) и наборам переменных, описывающих состояние системы Е, V, N Т, V, N и Т,. у, (j,y. Значения этих параметров для каждого данного распределения фиксированы и входят в него в качестве параметров. Поэтому их флуктуации в рамках этого распределения равны нулю. Сопряженные этим параметрам динамические величины испытывают флуктуации. [c.293]

Рассмотрим теперь флуктуации в неизолированных системах. Поступая так же, как при выводе канонического и большого канонического распределений из микроканонического, выделим в объединенной изолированной системе макроскопическую область (подсистему), содержащую локальное флуктуационное отклоне- [c.300]

Перейдем к выводу большого канонического распределения Гиббса. Будем так же, как и в предыдущем параграфе, считать, что термостат представляет собой идеальный газ с числом частиц N, большим по сравнению с числом частиц системы. Термостат отделен от системы неподвижной, но проницаемой для частиц перегородкой. Для объединенной системы справедливо микроканоническое распределение [c.309]

Микроканоническое распределение, так же как и каноническое, можно записать в любом представлении, а именно в виде [c.140]

Основным положением статистической физики является постулат микроканонического распределения. Из него следует каноническое распределение, которое обычно и применяется в теоретических и практических исследованиях. [c.54]

Нам остается еще в методе Дарвина—Фаулера получить само каноническое распределение Гиббса. Сделаем это наиболее естественным и прямым способом зафиксируем общее для всего ансамбля микроканоническое распределение по состояниям всех других систем (несколько другой подход — см. задачу 13). Для этого прежде всего выпишем микроканоническое распределение, определяющее вероятность обнаружить ансамбль в состоянии п = П), П2,..., п. , где п, — микроскопическое состояние -й системы, [c.96]

Задача 17. Показать, что в случае микроканонического, канонического и большого канонического распределений по микроскопическим состояниям энтропия системы равна 5 = - 1п = -1п [c.101]

Мы показали, что каноническое распределение вероятности состояний имеет малая часть большой системы с микроканоническим распределением. Данная теорема, называемая иногда теоремой Гиббса, верна, если энергия всей системы складывается аддитивно из энергии малой части и энергии остальной системы, так что энергией их взаимодействия можно пренебречь. Теорема доказана для того частного случая, когда большая система — газ. Однако доказательство может быть проведено и для более общего случая ). [c.198]

Основа статистики — микроканоническое распределение, или каноническое распределение Гиббса. Ее фундаментальная и принципиально новая по сравнению с классической механикой идея состоит в признании случайного, вероятного значения основных параметров микрочастиц в системе. Для всей их совокупности выполняется некоторое распределение, т. е. закон, обусловленный большим числом компонентов системы. Такие законы и называются статистическими. [c.23]

Эту вторую идеализированную картину называют обычно системой в термостате (т. е. сосуде, поддерживаемом при постоянной температуре) единая и не меняющаяся с течением времени температура здесь устанавливается именно в силу предположенного свободного энергетического взаимодействия между системой С и ее окружением. Следуя Гиббсу, основной закон распределения (63), соответствующий первой идеализации, называют микроканоническим распределением, а закон (64), соответствующий второй идеализации, — каноническим распределением. Основное различие между этими двумя распределениями заключается в том, что закон (63) дает распределение на поверхности Е , в то время как закон (64) устанавливает распределение во всем фазовом пространстве Г. [c.75]

Наконец, чтобы оправдать использование идеологии 3 при введении нами большого микроканонического распределения, нам необходимо убедиться, что, несмотря на экспоненциальную форму функции А( ), продиктованную нам принципом термодинамической аддитивности, полученное выше большое каноническое распределение йУл (9, х, х) соответствует чрезвычайно сосредоточенному распределению как по числу частиц М, так и по энергии Е. [c.323]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

Рассмотрим флуктуации в статистических ансамблях Гиббса. Наиболее просто вычислить флуктуации тех величин, от которых явно зависит функция распределения или статистический оператор. Начнем с флуктуаций энергии Е = H q p) в классическом каноническом ансамбле. Это позволит нам понять связь между каноническим и микроканоническим ансамблями. [c.68]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

Для получения упомянутой в заглавии формулы воспользуемся приемом, в идейном отношении аналогичным использованному при переходе от микроканонического распределения к каноническому. Выделим в изолированной в целом системе некоторую макроскопическую часть и предположим, что именно в этой части произошло локальное флуктуационное отклонение параметров состояния от их равновесных значений, т. е. разделим исходную систему только на две равновесные подсистемы, состояние одной из которых нас, собственно, и будет интересовать, п то время как второй части отводится роль термостата . [c.34]

Статистическая механика позволяет определить вероятностный закон распределения микроскопических состояний системы при некоторых заданных условиях. Например, если задана энергия системы, то это распределение будет микроканоническим, если задана температура — каноническим и т. д. Если известен вид распределения, то можно вычислить закон распределения для любой физической величины. Следовательно, для вычисления флуктуаций не требуется никаких новых принципов. [c.386]

Задача 12. Используя представление о каноническом ансамбле и полагая, что изолированная равновесная система подчинена микроканоническому распределению Гиббса, получить каноническое его распределение. [c.373]

В этом отношении достойно упоминания, что среднее как по микроканоническому, так и по каноническому ансамблю значение кинетической энергии, разделенное на половину числа степеней свободы, равно e fV, или среднему значению этого выражения, и что это истинно не только по отношению ко всей системе, распределенной микроканонически или канонически, но также для любой ее части, несмотря на то, что соответствующая теорема о температуре едва ли принадлежит эмпирической термодинамике, поскольку ни (внутренняя) кинетическая энергия тела, ни число его степе-пеней свободы сразу не являются непосредственно доступными нашему восприятию, и мы встречаемся с серьезнейшими затруднениями при попытке применить эту теорему к теории газов, за исключением простейшего случая—именно, случая газов, известных как одноатомные. [c.170]

К тому же выводу, что и в п. а и б, можно притти даже без детального математического рассмотрения, исходя из факта существования распределения Гиббса для каждой из малых частей системы, если не делать слишком искусственных предположений о динамических свойствах системы. Как известно, каноническое распределение Гиббса, с одной стороны, описывает относительную длительность состояний малых частей системы за достаточно длинный по сравнению со временем релаксации промежуток времени (временной ансамбль), а с другой стороны, описывает вероятностный закон распределения состояний любой из малых частей системы в определенный момент времени, взятый по истечении времени релаксации (любой из малых частей системы, но не всех частей одновременно, так как распределения частей по энергиям не независимы). Известно также, что микроканоническое распределение для системы в целом приводит к каноническому распределению для ее малых частей. [c.31]

В литературе по статистической механике ([11,331 и т. д.) можно найти пространные обоснования уравнений (3.3) и (3.4). Можно найти также принадлежащее Гиббсу доказательство того факта, что каноническое распределение (3.4) лишь слабо отличается от микроканонического распределения, определяемого ансамблем, все системы которого имеют одинаковую энергию П. Другими словами, фазовые точки ансамбля, распределенного согласно (3.4), остаются практически сконцентрированными внутри непосредственной окрестности одной поверхности энергии. На первый взгляд это утверждение представляется несогласующпмся с тем фактом, что, в силу (3.4), вероятность монотонно возрастает при пересечении поверхности энергии в направлении убывающих значений Н. На самом деле между этими двумя утверждениями нет противоречия. Рассмотрим семейство эквидистантных поверхностей энергии, разделяющих фазовое пространство на слои. Перемещаясь от слоя к слою, мы находим, что фазовая плотность меняется монотонно. Поскольку объем последовательных слоев изменяется в противоположном [c.34]

Рассмотренный выше метод оценок исходил из жесткого задания микроканонического распределения с кронекеровской Д-функцией (при этом каноническое распределение стало выглядеть как бы менее точным, чем микроканоническре). Совершенно ясно, что выбор более сложной структуры для Д-функции приведет к тем же результатам, но значительно усложнит изложение, и без того перегруженное проходящими громоздкими формулами. При этом метод сразу утратил бы свою математическую элегантность. Исключение составляет случай, когда в качестве Д-функции берется конструкция, установленная нами в 4, и когда все необходимые выкладки становятся п юсто тривиальными. > [c.97]

Мы говорили уже о том, что большинство фазовых функций, интересующих статистическую механику, имеет вид сумматорных функций, т. е. таких сумм, каждое слагаемое которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Среднее значение такого слагаемого, ввиду отмеченной близости законов распределения малых компонент, может быть приближенно вычислено, исходя из формул канонического распределения (именно в этом и состоял наш приближенный метод ). Но среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых, будут ли эти слагаемые зависимы или независимы между собой поэтому при вычислении средних значений сумматорных функций мы можем всегда, в порядке приближения, исходить из канонического распределения (64) вместо микроканонического (63) как уже замечено выше, этот переход и составляет, в сущности, содержание нашего приближенного метода. [c.76]

Мы ограничились кратким рассмотрением микроканоническо-го (7.1), канонического (7.5) и большого канонического (7.9) распределений Гиббса для однокомпонентных систем. Соответствующие статистические распределения для систем, состоящих из частиц разной природы, вводятся аналогичным образом. [c.148]

Здесь необходимо подчеркнуть, что, хотя флуктуирующие параметры в открытой системе могут в принципе принимать любые значения, фактически отклонения от средних величин для макроскопических систем не велики (относительные флуктуации параметров малы). В термодинамическом пределе (1 - -оо, Л/ -voo, l//A/= onst) выражения для термодинамических величин, получаемые на основе применения микроканонического (7.1), канонического (7.5) и большого канонического (7.9) распределений, отличающихся условиями взаимодействия системы с окружающей средой, совпадают. Более детальное обоснование положения о малости относительных флуктуаций в открытых системах будет дано в 7.5. [c.157]

Вид функции статистического распределения задается аксиомой, постулатом статистической физики, имеющим свое оправдание в том, что все следствия из него подтверждаются экспериментально. При этом различают два подхода. При первом рассматривается ансамбль, состоящий из одинаковых систем с равными энергиями, т. е. рассматривается вероятность различных состояний замкнутой системы, находящейся в равновесии. Ансамбль в этом случае называют микрока-ноническим и распределение — микроканоническим. При втором подходе рассматривается ансамбль из квазинезависимых подсистем замкнутой системы, находящейся в состоянии равновесия. Члены ансамбля различаются и по энергии, т. е. изучаются вероятности микросостояний квазинезависимой подсистемы при разных энергиях. Ансамбль в этом случае называют каноническим и распределение — каноническим. [c.41]

Если это условие строго выполнено, обе части не будут влиять друг на друга, и ансамбль, образованный микроканоническим распределением целого, является слишком произвольным понятием для того, чтобы представлять действительный интерес. Основной интерес уравнений, которые мы должны получить, относится к случаям, в которых условие выполнено приближенно. Однако, для целей теоретического исследования з добпее, разумеется, считать эти условия абсолютными. Ср. главу IV, стр. 44 и дальше, где сходное условие рассматривается в связи с каноническими ансамблями. [c.124]

Ансамбль систем, распределенный по фазам, является меиее простым и элементарным понятием, нежели отдельная система. Но, рассматривая вместо отдельных систем соответствующие ансамбли, мы можем избежать неудобств, связанных с необходимостью учета исключений, образуемых частными случаями интегральных уравнений движения, так как эти случаи просто исчезают, когда предметом изучения является вместо системы ансамбль. Это в особенности справедлино, когда ансамбль распределен, как в случае, который мы назвали каноническим, по некоторому фазовому объему. В меньшей степени это справедливо для микроканонического ансамбля, который не занимает никакого конечного фазового объема (в том смысле, в каком мы употребляем этот термин), хотя его удобно рассматривать как предельный случай ансамбля, занимающего конечный фазовый объем, так как мы таким образом выигрываем для предмета некоторую часть аналитической простоты, присущей теории ансамблей, занимающих истинный фазовый объем. [c.143]

Поэтому, в случае бесконечно большой ванны увеличение энергии одного из микроканонических ансамблей на 2Д оказывает исчезающее воздействие на распределение энергии по фазам первого содержащегося в ней тела. Но 2Де больше средней разности энергии между микро аноническими ансамблями. Распределение по энергии этих фаз, следовательно, одинаково в различных микроканонических ансамблях и должно потому быть каноническим, так же как и распределение ансамбля, который они образуют, будучи взятыми вместе ). [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...