ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные идеи метода конечных элементов из "Моделирование конструкций в среде MSC.visual NASTRAN для Windows " Размерность задачи понижается, поскольку элементы представляют только границы моделируемой области. Однако применение этого метода требует знания фундаментального решения системы уравнений, которое бывает трудно получить. [c.21] Метод конечных разностей преобразует систему дифференциальных уравнений и граничные условия в соответствующую систему алгебраических уравнений. Этот метод позволяет решать довольно нерегулярные задачи со сложной геометрией, граничными условиями и нагрузками. Однако метод конечных разностей часто оказывается слишком медленным из-за того, что требование регулярной сетки на всей исследуемой области приводит к системам уравнений очень больших порядков [3, 12]. [c.21] Метод конечных элементов может распространяться практически на неограниченный класс задач благодаря тому, что он позволяет использовать элементы простых и различных форм для получения разбиений. Размеры конечных элементов, которые могут быть скомбинированы для получения приближения к любым нере-хулярным границам, в разбиении иногда различаются в десятки раз. Допускается приложение нагрузки произвольного вида к элементам модели, а также и наложение закрепления любого типа на них. Основной проблемой становится увеличение издержек для получения результата. За общность решения приходится платить потерей интуиции, поскольку конечно-элементное решение - это, по сути, куча чисел, которые применимы только к конкретной задаче, поставленной с помощью конеч-но-элементной модели. Изменение любого существенного аспекта в модели обычно требует полного повторного решения задачи. Однако, это несущественная цена, поскольку метод конечных элементов часто является единственно возможным способом ее решения. Метод применим ко всем классам проблем распределения полей, которые включают в себя анализ конструкций, перенос тепла, течение жидкости и электромагнетизм. [c.21] Большинство задач анализа конструкций связано с необходимостью решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений частных производных. Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений. В этом качестве он служит и методом построения математической модели и методом ее исследования. [c.21] Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Соответственно, чтобы найти действительное поле перемещений w, выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, является искомым полем перемещений w. [c.22] Приведенный алгоритм основан на методе Релея-Ритца. Его иде заключается в том, что бесконечномерная задача заменяется п-мерной, то есть введением п пробных функций v= V ,v= V . о = V. В классе всевозможных линейных комбинаций +. .. + вычисляется такая частная комбинация w = u V +. .. + + uV, которая минимизирует П(У). [c.22] идея заключается в том, что минимизация выражения (1.1) по всем возможным функциям п заменяется минимизацией по подпространству V, а вместо w отыскивается функция w. Мы надеемся, что эти функции окажутся близкими. [c.23] Коэффициенты м,,. .. uj - параметры Ритца - будем называть узловыми значениями функции w. Близость приближенного решения к точному зависит от вида функций V. и от степени подробности разбиения области на конечные элементы. [c.23] Напомним, что функции V. выбраны заранее, а неизвестными являются коэффициенты и.. [c.23] В сущности, итогом конечно-элементного моделирования является формирование системы уравнений (1.2). [c.25] Вычисление глобальной матрицы жесткости [X] осуществляется в два этапа. Вначале вычисляются матрицы жесткости каждого конечного элемента. Затем матрицы элементов [X ] объединяются путем суммирования коэффициентов Kf. с совпадающими индексами. Этот способ отличается от вывода уравнения (1.2) только алгоритмически. [c.25] Очевидно, что формально система (1.2) получается суммированием уравнений (1.3), Коэффициенты матрицы жесткости определяются геометрией элемента, свойствами среды и функциями формы. Компоненты вектора по направлениям -го узла элемента, согласно условиям равновесия, определяются как сумма реакций в этом узле со стороны других элементов и внешних нагрузок, приложенных к узлу. Вид функций формы элемента для пользователя программы определяется выбором типа используемого элемента. [c.25] Поскольку поле перемещений внутри каждого элемента однозначно определяется его функциями формы и значениями перемещений в его узлах, после решения системы (1.2) можно вычислить деформации и напряжения на всех элементах. [c.25] Теоретические основы метода конечных элементов и особенности его алгоритмической реализации подробно изложены в [1, 5, 12, 13, 18]. [c.26] Анализ конструкций обычно делится на две области - статическую и динамическую. При статическом анализе предполагается, что изменение нагрузок, действующих на конструкцию, происходит настолько медленно, что инерционными силами можно пренебречь. [c.26] Вернуться к основной статье