Формулы в векторном обозначении

Формулы в векторном обозначении. Некоторые соотношения, приведенные в настоящей и предыдущей главах, могут быть коротко выражены языком векторного анализа. [c.52]

ФОРМУЛЫ в ВЕКТОРНОМ ОБОЗНАЧЕНИИ [c.53]

Формулы (7) в векторном обозначении могут быть при этом переписаны так (гс — вектор-радиус центра параллельных сил, г — текущий вектор-радиус) [c.92]

В векторных обозначениях, если через г , обозначить радиусы-векторы точек Р, Q, имеющих началом неподвижную точку О, то относительное перемещение точки Q выразится посредством формулы [c.59]

Можно было бы предположить, что ограничение, которое накладывает уравнение (3.14) на вид функциональной зависимости компонент Q , является слишком сильным для того, чтобы оно могло служить какой-либо полезной цели. Однако в действительности при этом охватывается чрезвычайно важный случай движения заряженных частиц в электромагнитном поле. В векторном обозначении сила, действующая на частицу с зарядом е, дается (при использовании гауссовых единиц) формулой Лоренца [c.31]

Для понимания текста требуется только знание элементов векторной алгебры и векторного анализа в объеме программ высшей технической школы. При этом следует обратить внимание на одну особенность в обозначениях. Радиус-вектор точки Р, проведенный из начальной точки О, авторы обозначают просто одной буквой Р (о происхождении этого обозначения и о его связи с точечным исчислением можно найти сведения в дополнении к первой части первого тома, принадлежащем проф. В. Ф. Кагану). В этих обозначениях, например, известная формула для радиуса-вектора центра тяжести [c.6]

Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы осей координат. Если задать систему координат, направив ось Ох по вектору-шагу, а ось Оу по оси решетки, то в обычных обозначениях будем иметь, согласно только что выведенным векторным формулам [c.321]

Из уравнения (11.8) по данным векторам Мир можно определить вектор с1 для этого значение М — рР векторного произведения йу Р необходимо разделить на множитель / , В 39 мы видели, что такое деление не является однозначным если один вектор (I найден, то все остальные векторы, представляющие частное, заключаются в формуле где / есть произвольный вектор, параллельный результирующей Р, Очевидно, что геометрическое место точек 0 когда вектор / меняется по модулю, есть прямая линия, а именно — центральная ось системы сил. Чтобы От векторных обозначений перейти к коор- [c.153]

Перейдём в формулах (19.2), (19.3) и (19.4) от векторных обозначений к координатам, причём мы воспользуемся двумя системами прямоугольных осей координат, как это всегда будет делаться при изучении теории движения абсолютно твёрдого тела именно, одну систему осей координат с началом в точке О мы возьмём неподвижной, расположенной в неподвижной плоскости, по которой движется плоская фигура, а другую систему осей координат с началом в точке А мы возьмём подвижной, неизменно связанной с движущейся плоской фигурой. Неподвижную систему осей координат мы обозначим через Ох у , а подвижную систему осей координат — через Аху, Обозначим единичные векторы, определяющие неподвижные оси координат, через и Ур а единичные векторы, определяющие подвижные оси координат, через I и у. Очевидно, что количества и суть абсолютные постоянные, количества же / и у постоянны по модулю, но меняются по направлению, так как они поворачиваются вместе с подвижными осями Аху, Если бы были построены третьи оси координат Ог и Аг, [c.297]

Обратим внимание на то, что для скорости и для ускорения формулы в подвижной системе координат и формулы в неподвижной системе имели своим источником одни и те же векторные формулы. В этом заключается одна из причин выгоды векторных обозначений, так как в координатных обозначениях пришлось бы отдельно выводить с самого начала формулы в неподвижной системе координат и формулы в подвижной системе, т. е. для каждой системы осей координат делать все вычисления с самого начала. [c.307]

Здесь и далее, за редким исключением, обозначения векторных величин в формулах даются по модулю, так как принадлежность величины к разряду векторных не имеет значения при определении се размерности. [c.54]

В физической газодинамике реагирующих сред широко используют математический аппарат векторного и тензорного анализа. В связи с этим целесообразно привести сводку наиболее часто употребляемых формул тензорного и векторного анализа. При записи последующих формул использованы обозначения f, g — скаляры А, В, С, D—векторы Т — тензор V — оператор Гамильтона (набла), символический вектор, выражение которого в декартовой д д д [c.451]

Знак минус представляет собой сокращенное обозначение умножения вектора на -1, т. е. поворот вектора по его линии действия в противоположную сторону (см. векторную алгебру) ( — 1) = —Ра- Из формулы (1.1) следует, что модули сил равны [c.8]

В связи с интерпретацией, согласно которой векторная диаграмма может рассматриваться как сложение комплексных амплитуд в комплексной плоскости, необходимо отметить, что вращение фазового вектора на угол а соответствует умножению комплексной амплитуды на е . Именно потому чаще всего и используется экспоненциальное обозначение, поскольку последний тип операции зачастую является более легким, чем приведение тригонометрических формул. [c.167]

Аналитические формулы векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах. Обозначения ортогональные криволинейные координаты точки М (рис. 6) — 1, д , Уз, координатные линии — ( 1), (да), (дз) координатные оси (касательные к координатным линиям в точке М) — [д ], [да], [дз] [c.24]

Координаты q в общем случае являются криволинейными (сферическими, цилиндрическими и т. п.), векторный базис не конкретизируется, что в сочетании с используемыми прямыми обозначениями тензоров определяет общий характер приводимых результатов и дает возможность применить получаемые формулы при исследовании тел цилиндрической или сферической формы. [c.11]

При выводе расчетных зависимостей следует использовать теоремы теории вероятностей о среднем значении и дисперсии произведения случайных величин [8]. Сравнивая полученные зависимости, можно заметить, что дисперсия векторных погрешностей, являющихся функцией не двух, а трех случайных величин, отличается от дисперсии обычных векторных погрешностей наличием коэффициента 0,5 поэтому при суммировании векторных погрешностей в расчетную формулу перед обозначениями погрешности подобного вида следует вводить коэффициент 0,5. Следовательно, характеристики смещения осей наружных колец для опоры, состоящей из двух близко расположенных подшипников, [c.539]

Векторы и тензоры. В этой статье употребляются традиционные обозначения векторного анализа. Применение этих обозначений приводит к предельной краткости изложения и вместе с тем поясняет физический смысл формулы. Мы используем в основном стандартные векторные операции, однако в отдельных случаях возникает необходимость применения выражений, которые могут показаться необычными или двусмысленными. По этой причине удобно определить все операции при помощи компонент вектора тогда легко выяснить смысл уравнения, переписав его в виде проекций на оси координат. Этот метод имеет еще и то преимущество, что любому уравнению при желании можно сразу дать тензорную интерпретацию. [c.7]

Но к этим же формулам пришли бы, согласно (П. 2.8), рассматривая (О как вектор и составив векторное произведение его на а. Итак, при обозначениях (П. 7) имеем в случае кососимметричного тензора [c.784]

Здесь не приводим формулы для расчета (они сложны) приведем лишь векторное рассмотрение. Будем считать так же, как в предыдущем случае, что интерферируют. теперь три луча, которые имеют амплитудные коэффициенты отражения гц, ггъ. и Г34. Для того чтобы Я было равно нулю, необходимо, чтобы длины векторов, обозначенные через величины г, образовали бы замкнутый треугольник (рис. 3.7.7). Эти треугольники будут характеризоваться внутренними углами ф и г з. Определим амплитудные коэффициенты гхг, Гг% и Г34 поочередно для каждого слоя. Пусть = 1, 2= 1,45, 3 = 2,2, а 4 = 1,5 (крон К-8). Тогда по формулам Френеля [c.195]

Если векторы, входящие в какую-либо векторную формулу, обозначены двумя буквами, то над этими буквами мы будем ставить черточку. Так, для обозначения равенства векторов АВ и СО мы будем писать [c.11]

Для многокритериальной задачи принятия решений тоже можно рассмотреть три взаимосвязанных представления (X, /СЧ (X, Р) и (X, М). Обозначения прежние /С—векторный критерий эффективности Р—векторное нечеткое отношение предпочтения с компонентами Р/, определенными формулой (23) М—набор нечетких подмножеств в X функциями принадлежности, определенны-мы формулой (20). [c.26]

Формулы и обозначения должны иметь отчетливое начертание необходимо соблюдать строгое различие в начертании строчных (малых) и прописных (больших) букв, например V и V, S и S, О и о, и и U, К и к, Р и р (строчные буквы подчеркиваются простым карандашом двумя чертами сверху, а прописные - двумя чертами снизу), а также букв, похожих одна на другую q и g, 1 и е, U и о и др. Латинскую букву ( следует писать как римскую единицу 1 в отличие от J -буква "жи". Следует делать различие между О и о (буквами) и О (нулем), нуль подчеркивается снизу квадратной скобкой (карандашом). Индексы и степени должны быть написаны строго ниже и строго выше символов, к которым они относятся штрихи необходимо четко отличать от единицы, а в нижних индексах единицу от запятой. Греческие буквы подчеркиваются красным карандашом, а векторные и тензорные величины - синим. Буквенные математические символы (sin, O.S, ехр, Re, п и др.) и химические символы подчеркиваются простым карандашом снизу прямой скобкой. Разметку следует делать в первом экземпляре рукописи. Готический шрифт в журнале не употребляется. [c.191]

Если единичные векторы в направлениях касательной и нормали обозначить соответственне через й и и, то в векторных обозначениях скорость V определится по формуле [c.92]

В дальнейшем следует четко отличать векторные суммы от скалярных (алгебраических или, в частности, арифметических) сумм. В формуле (1.3) нельзя не шображать черточки векторных обозначений, так как R Pj + Ра-В самом деле, отрезок ОВ < О А + АВ. Но ОБ = R, О А = Pi, АВ = Р2. Поэтому R < Р + -Н Pj. Например, если силы Pi и Р2 взаимно перпендикулярны, то угол а = 90° и согласно теореме Пифагора имеем Я = /pj -ь Р . В частности, при Pj=6HhP2 = 8H получим Я = 10 Н, а не 14 Н, как было бы при арифметическом сложении. [c.10]

Приведен большой объем сведений справочного характера, который по мнению авторов позволит читателю при необходимости самостоятельно провести соответствуюшде выкладки и построить решение линеаризованных задач в той или иной системе координат с привлечением соответствующих законов состояния среды. Метод изложения с использованием прямых обозначений тензорных и векторных величин позволяет без особых затруднений путем введения соответствующих базисньис векторов перенести приведенные в монографии результаты в новую систему координат (цилиндрические, сферические и т.д.). Приведенные в монографии формулы в максимальной степени приспособлены для программной реализации. [c.8]

Формула (12.1 ) встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между 8F/Si и йР1(И. Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают, ЬР Ы .йР1М другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной с1Р (11 приводит к операции ЬР Ы. Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12,1 ). а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контравариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде [c.34]

Плоские волны. Уравнения первого параграфа записаны в векторных и тензорных обозначениях. 1Г1ри этом подразумевалось использование эйлеровых координат. Однако рассмотрение плоских волн удобнее вести в переменных Лагранжа, особенно при аналитическом решении задач. Поэтому перейдем в уравнениях (1.1), (1.2) от переменной Эйлера л к переменной Лагранжа Последние связаны между собой формулой л = + а, где и — продольное перемещение [c.22]

Рассмотрим теперь следующий вопрос. Пусть в окрестности некоторой точки заданы смещения ы(п, и, аи). Дифференцируя их, получаем выражения для деформаций, а обращаясь к закону Гука, находим напряжения (см. (3.30)). Зададим теперь в выбранной нами точке некоторую плоскость с нормалью V и определим вектор напряжений Т (сУхх,(Уу, ( г ), действующих на ней (для этого надлежит обратиться к формулам (1.6)). Предоставляем читателю возможность убедиться в том, что результирующее выражение можно записать в компактной форме (с помощью обозначений из теории поля) в виде векторного оператора 7 v, называемого оператором напряжений. Будем записывать оператор напряжений от смещения и в виде [c.225]

ПДО в соболевских пространствах векторных полей на 5. Нам понадобятся теперь соболевские пространства вектор-функций на 5 и псевдодифференциальные операторы, действующие в этих пространствах. Более точно, эти функции будут векторными полями на 5, т. е. сечениями касательного расслоения Т8 (см. п. 3 33). Мы сохраним для соболевских пространств векторных полей обозначение Я (5). В пространстве Но 8) векторных полей скалярное произведение двух полей ф, ф, локально записанных в виде Ф = у е1 + Л2 и ф = ш е] + ш е2, определяется формулой [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...