Качение шара по горизонтальной плоскости

Тяжелый однородный шар связан с неподвижной вертикальной осью тонким невесомым стержнем BD, относительно которого шар может вращаться. Длина стержня BD, перпендикулярного оси Oz, в три раза превышает радиус шара. Какую начальную горизонтальную скорость v перпендикулярно стержню BD необходимо сообщить центру С покоившегося шара, чтобы шар сделал три полных оборота вокруг оси Oz, если коэффициент трения качения шара по горизонтальной плоскости равен f,i Проскальзыванием Ш ара по этой плоскости, а также трепием на осях пренебречь. [c.134]

Качение шара по горизонтальной плоскости [c.514]

В частности, уравнения движения задачи о качении шара по горизонтальной плоскости [82] удовлетворяют условиям предложения. Следовательно, все доказываемые ниже утверждения справедливы для динамических систем, возникающих в этой классической задаче неголономной механики. [c.191]

Пример 54. Рассмотрим качение без скольжения шара по горизонтальной плоскости (рис. 7.2). Положение тара будет определено, если задать координаты а с и уа его центра и три угла Эйлера г[ , О и ф. Условием качения без скольжения будет равенство [c.179]

В 136 учебника рассмотрена классическая задача качение без скольжения шара по горизонтальной плоскости. [c.333]

В заключение рассмотрим задачу Чаплыгина из неголономной механики — задачу о качении без скольжения уравновешенного, но динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Динамика шара описывается в К = системой [c.42]

В заключение рассмотрим движение однородного шара с точечным контактом при качении его по горизонтальной плоскости, часть площади которой является шероховатой, а другая часть — гладкой. [c.223]

Примером неголономной (неинтегрируемой) связи является качение шара без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 415). [c.749]

Все эти случаи можно продемонстрировать ирн помощи стальных или костяных шаров, катящихся по гладкому горизонтальному стеклу. Конечно, наше рассмотрение, строго говоря, не относится к случаю качения шаров по плоскости. Но если стекло достаточно гладкое, то центры шаров движутся примерно так, как это следует из нашего рассмотрения. [c.155]

Ось можно провести через центр в любом направлении, угловая скорость также может быть взята произвольно но поступательная скорость тогда определяется по величине и направлению, ибо должно иметь место качение без скольжения по горизонтальной плоскости. Величина начальной угловой скорости здесь не важна. Но так как начальная ось вращения может быть выбрана дважды бесконечным числом способов, а каждый выбор оси ведет к одномерному многообразию положений шара, то из некоторого данного положения шар может попасть в трижды бесконечное число положений. Но всевозможные положения шара образуют многообразие пяти измерений, ибо положения центра образуют двухмерное многообразие, а шар может быть еще повернут вокруг центра трижды бесконечным числом способов. Отсюда и получается невозможность перехода из одного заданного положения в другое заданное положение без действия сил. [c.539]

Рассмотрим теперь подробно качение жесткой поверхности 5 по неподвижной поверхности 51, характеризующееся тем, что скорость скольжения г = 0. При качении в каждый момент времени поле скоростей подвижного тела такое же, как если бы оно вращалось с некоторой угловой скоростью (о вокруг некоторой оси, проходящей через точку прикосновения. В зависимости от направления мгновенной оси вращения различают чистое или собственное качение и так называемое верчение. Чистое качение имеет место в случае, когда мгновенная ось вращения движущейся поверхности лежит в касательной плоскости, и верчение — когда мгновенная ось вращения нормальна к касательной плоскости. Примером чистого качения может служить качение цилиндра по плоскости, когда мгновенная ось вращения является образующей, по которой цилиндр соприкасается с плоскостью. Вращение шара на горизонтальной плоскости вокруг его вертикального диаметра может служить примером верчения. [c.23]

В 1892 г. Д. К. Бобылев опубликовал детальное исследование интересной неголономной задачи о качении по горизонтальной плоскости полого шара с гироскопом внутри. При этом ему удалось выразить все параметры, определяющие положение шара с гироскопом, через эллиптические функции времени и исследовать вид кривых, которые описывает точка опоры шара на плоскости. Эти кривые Д. К. Бобылев воспроизводил на опыте, заставляя устроенный им гироскопический шар катиться на плоскости, посыпанной порошком ликоподия. [c.67]

В качестве первого примера, поясняющего роль пренебрежений, которые всегда делаются при идеализации реальной физической системы, рассмотрен вопрос о влиянии обычно игнорируемого размера площади контакта при качении тел друг по другу. Ради упрощения математических выкладок этот вопрос изучен на простейшем примере качения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости. [c.215]

Рассмотрим качение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Пусть Р — точка соприкосновения шара и плоскости, С —центр [c.202]

Пример 9. Рассмотрим задачу С. А. Чаплыгина о качении уравновешенного, но динамически несимметричного шара по горизонтальной шероховатой плоскости (гл. 3, п. 1.2, пример 5). Движение шара описывается следующей системой уравнений в / =/ < ) X/ у [c.147]

Качение и верчение шара по плоскости. Трение верчения. — Рассмотрим тяжелый шар, опирающийся на неподвижную горизонтальную плоскость в точке касания О. Если бы существовало только трение скольжения, то самая незначительная пара, приложенная к шару, сообщила бы ему вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку О. Вектор этого элементарного вращения можно было бы, вообще говоря, разложить на две составляющие одну, лежащую в неподвижной плоскости и представляющую собой качение, и другую, нормальную к плоскости, — верчение. В действительности же оба эти вращения не обязательно должны иметь место. Если момент пары, приложенной к шару, не превышает некоторого предела, никакого движения не происходит. Плоскость оказывает, таким образом, сопротивление перемещению, обусловленное трением. [c.334]

Пример 1 (Качение неоднородного шара по плоскости ). Рассмотрим движение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар считаем неоднородным, его центр масс совпадает с геометрическим центром, движение происходит без скольжения. [c.321]

Целью данной работы является довести задачу о качении без скольжения однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости до конца и получить все интегралы этого движения. [c.48]

I. Применение к решению задачи о качении шара общих теорем динамики. Рассмотрим движение однородного твердого шара радиуса Ь по шероховатой горизонтальной плоскости, которую мы примем за пло- [c.48]

Переход скольжения шара в качение на неподвижной плоскости. Шар, скользящий по неподвижной горизонтальной плоскости, начинает катиться. Пайти решение уравнений Эйлера. [c.252]

IV. 3. Удары высокие и низкие , с накатом и с оттяжкой в бильярдной игре. Горизонтальным кием ударяют бильярдный шар в его меридиональной плоскости, т. е. без эффе . На какой высоте h над центром шара следует сообщить удар, чтобы имело место чистое качение (без скольжения) Развить теорию высоких и низких ударов с учетом трения скольжения между шаром и сукном стола. Насколько возрастает скорость центра тяжести шара в течение периода трения при высоком ударе и насколько она уменьшается при низком ударе По истечении какого времени имеет место лишь чистое качение С помощью этих же методов можно объяснить и соотношения при ударах с накатом и с оттяжкой . [c.326]

В других задачах механики мы встречаемся с нвсвоборными движениями гела, при которых на траекторию тела заранее наложены определенные ограничения ). Например, соскальзывание тела по наклонной плоскости, движение вагона по рельсам, движение шарика, привязанного к нити, по кругу, качение шара по горизонтальной плоскости, движение двух связанных нитью тел — все это несвободные движения. Тело, скользящее по наклонной плоскости, во время своего движения обязательно остается на этой плоскости, шар также остается на горизонтальной плоскости, и т. д. [c.82]

Упоминавшаяся в п. 10 3 задача о качении неоднородного шара по горизонтальной плоскости является системой Чешлы-гина с тремя степенями свободы. Фиксируя значение интеграла площадей и исключая вращения шара вокруг вертикальной прямой, проходящей через точку контакта, число степеней свободы можно понизить до двух. Если постоянная площадей равна нулю, то можно показать, что приведенные уравнения имеют вид [c.53]

Задачу о качении однородного шара по горизонтальной плоскости рассматривали многие авторы, например Кориолис [ 7] Г. Хемминг Е. Раут Синдж и др. Предположение о точечном контакте шара с плоскостью приводило к тому, что вертикальная составляющая угловой скорости при движении шара по инерции оказывалась величиной постоянной, и вращение шара вокруг вертикальной оси не влияло на траекторию движения центра шара. Однако в действительности контакт шара с плоскостью представляет собою круглую площадку небольшого диаметра, в результате чего трение приводит не только к результирующей [c.215]

Теория понижения порядка лагранжевых систем с очевидными изменениями переносится на неголономную механику. Для того, чтобы осуществить факторизацию по группе симметрий неголономной системы, нужно дополнительное предположение об инвариантности связей относительно действия этой грурпы. Примером может служить задача Чаплыгина о качении щара по горизонтальной плоскости (см. пример 5) Эта задача допускает группу поворотов 50(2) шара относи тельно вертикальной прямой, проходящей через его центр Группа 50(2) сохраняет связи и порождающее ее поле яв ляется полем возможных скоростей. Исключение группы по воротов фактически проведено нами в примере 5 методом Пуассона. [c.103]

Пример 2 (Качение шара по плоскости). Пусть однородный шар движется по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Движение шара отнесем к неподвижной системе координат OXYZ с началом в некоторой точке О плоскости, ось 0Z направим вертикально вверх. Пусть иох, — проекции угловой скорости шара на оси ОХ, 0Y, 0Z, а р, q, г — проекции того же вектора на оси Gx, Gy, Gz жестко связанной с шаром системы координат с началом в центре шара. [c.312]

Шар на вращающейся плоскости. Рассмотрим качение шара по шероховатой горизонтальной плоскости, которая вращается около фиксированной в ней точки О с заданной угловой скоростью й. Угловая скорость Q мон<ет быть не постоянна и являться заданной функцией от t, принадлежащей классу j (как в примере 5.5). Можно рассматривать однородный твердый шар, однородную сферическую оболочку либо вообще любое тело сферической формы, центр тяжести G которого лежит в его геометрическом центре, а эллипсоид инерции в точке G представляет сферу. Воспользуемся системой координат Oxyz с осями вдоль фиксированных направлений и началом в точке 0 ось Oz направим перпендикулярно к плоскости. Выберем затем систему G123 с осями, параллельными осям системы Oxyz, так что в рассматриваемой задаче будем иметь 0i = 02 = 63 = 0. Координаты центра катящегося шара обозначим через х, у, а здесь а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде [c.224]

Шар, катяидийся без скольжения по шероховатой поверхности, является простейшим примером неголономной системы. Задача о качении однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости разрешена и ее решение содержится, в частности, в книге [I]. Однако решение этой простейшей задачи не доведено еще, на наш взгляд, до полной ясности. Так, апример, Мак-Миллан приводит дифференциальные уравнения движения шара для углов Эйлера, но из этих уравнений получает только один интеграл — постоянную проекцию угловой скорости шара на вертикальную ось. А будут ли постоянными две другие проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат, остается неизвестным. [c.47]

III. Окончательное интегрирование уравнений движения шара. Р1так, результаты, полученные для катящегося шара с помощью общих теорем динамики и уравнений Аппеля для неголономных систем, совпадают. А именно, мы получили, что в случае чистого качения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат постоянны и -сам вектор угловой скорости лежит в горизонтальной плоскости (так как при качении без верчения со О), а реакция направлена по нор мали к шлоскости, то есть силы трения равны нулю. [c.55]

Пример 5. Рассмотрим задачу Чаплыгина о качении по горизонтальной плоскости динамически несимметричного шара, центр масс.которого совпадает с его геометрическим центром. Пусть о — точка касания шара с плоскостью, Ко — его кинетический момент относительно точки о. Задача Чаплыгина допускает группу поворотов 50(3) вокруг точки касания. Момент /so(3) равен, конечно /Со, а момент сил Фо = 0. Следовательно, по теореме 6, /Со = onst. Это замечание позволит нам составить замкнутую систему дифференциальных уравнений качения шара. Пусть ко — кинетический момент в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, ш—угловая скорость вращения шара, V — единичный вектор вертикали. Постоянство векторов ко н у в неподвижном пространстве эквивалентно уравнениям [c.96]

Во введении к своей механике Генрих Герц говорит ), что принцип Гамильтона часто дает физически неверные результаты. В доказательство он приводит случай, в котором, как он сам замечает, путем простого рассуждения без расчетов можно обозреть как те движения, которые могут быть фактически совершены, так и движения, которые соответствуют принципу Гамильтона. Герц добавляет, что результат не меняется, если вместо принципа Гамильтона воспользоваться принципом наименьшего действия Мопер-тюи. Рассмотрим его пример. В этом примере дан шар, который по инерции катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости ). Согласно Герцу, здесь принципу Гамильтона будут соответствовать такие движения, которые при заданной постоянной живой силе в кратчайшее время достигают заданной цели отсюда вытекает, что переход из любого начального положения в любое конечное положение был бы возможен без приложения какой бы то ни было силы. Это заключение, которое больше относится к принципу наименьшего действия, нежели к принципу Гамильтона, получается примерно так. Если произвольно выбрать начальное и конечное положения шара, то всегда возможны переходы из первого во второе путем чистого качения ). Из всех этих переходов, каждый из которых совершается при сохранении постоянной живой силы и при одной и той же живой силе, один, определенный, потребует наименьшего времени ). Он соответствует, по мнению Герца, принципу Гамильтона и принципу наименьшего действия. Этому результату Герц противопоставляет тот факт, что в действительности, несмотря на произвол выбора начальной скорости, естественный переход из одного положения в любое другое положение при отсутствии действия сил невозможен. [c.538]

При покоящемся роторе у толкателя группы III моделей 9—16 опасность самоторможения во время утапливания штока практически отсутствует, так как требуемое для этого перемещение центробежного груза к оси вращения ротора сопряжено только с потерями на трение качения роликов по вилкам и на трение в подшипниках самих грузов. У тодкателей моделей 1—8 опасность самоторможения при утапливании штока и покоящемся роторе существует, и этот вопрос требует специального рассмотрения. Наиболее опасным с точки зрения возможности самоторможения штока при неподвижном роторе является случай, изображенный на рис. 29, д. Действительно, для утапливания штока необходимо, чтобы диски сблизились. Это возможно только при условии перемещения шаров 15 к оси вращения ротора (на рис. 29, д эту ось считают расположенной горизонтально, проекция дана в сечении плоскостью, перпендикулярной к оси). Такое перемещение возможно при условии преодоления сил трения шаров [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...