Линеаризация задачи теории устойчивости

Линеаризация задачи теории устойчивости 303—307. 326 [c.477]

Для гидравлических следящих приводов характерны значительные массы подвижных частей и существенная упругость кинематических звеньев, определяемая сжимаемостью рабочей масляной среды. Поэтому движение этих приводов описывается дифференциальными уравнениями третьего и выше порядков. Точному математическому решению поддается лишь небольшое количество нелинейных задач теории автоматического регулирования [3], причем для нелинейных дифференциальных уравнений выше второго порядка, даже если решение и получено, оно обычно оказывается слишком сложным для применения в инженерных расчетах. Поэтому целесообразными для исследования устойчивости гидравлических следящих приводов представляются приближенные методы и, в частности, метод гармонической линеаризации нелинейностей, предложенный в известных работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [65] и развитый в [c.107]

Рассмотрим критерии подобия в задачах упругой устойчивости оболочек при аффинном соответствии модели и натуры. С этой целью воспользуемся дифференциальными уравнениями устойчивости, которые следуют из энергетического критерия (7.2) при независимом варьировании бифуркационных смещений и использовании гипотез Кирхгофа—Лява совместно с допущениями теории пологих оболочек. Эти же уравнения могут быть получены путем линеаризации уравнений нелинейной теории пологих оболочек относительно дополнительных перемещений и носят название линеаризованных уравнений. Указанные уравнения имеют вид 122, 59] [c.139]

В заключение следует подчеркнуть, что в успехе изложенного выш-е доказательства центральную роль играет линейность всех входивших в рассмотрение формул, обеспечивающая однородность уравнений (18.8) и граничных условий (18.9). Достаточно сохранить хотя бы в одной из формул нелинейные члены — и доказательство утрачивает свою силу, так как при этом оказываются несправедливыми какие-либо из формул (18.4), (18.5), (18.6), (18.7). Поэтому полученный результат отнюдь не следует понимать как теорему, доказывающую единственность решения задач теории упругости. Его значение гораздо более скромно и сводится к утверждению, что, рассматривая задачу теории упругости в линейной ее постановке, мы всегда будем получать только одно решение, из чего, разумеется, никак не следует, что решение той же задачи в физически более строгой нелинейной постановке приведет к аналогичному заключению. Поэтому, получив решение уравнений линейной теории и убедившись, что оно удовлетворяет всем допущениям, на которых основывается линеаризация, надо, вообще говоря, еще проверить, является ли найденное положение равновесия устойчивым. Исследование этого, как ясно из сказанного выше, выходит за пределы возможностей линейной теории упругости. [c.218]

Вопросам потери устойчивости пространственных деформируемых тел посвящена обширная литература, с состоянием вопроса можно ознакомиться по монографии А. Н. Гузя ) и его же обзорам [8, 10]. Основные уравнения теории устойчивости, получаемые путем линеаризации нелинейных уравнений, содержат члены, где в виде множителей входят компоненты основного невозмущенного состояния. Следовательно, в основные уравнения входит параметр нагрузки, определяющий критические усилия, а это приводит к существенному усложнению задачи даже в случае, когда невозмущенное состояние является однородным. Л. С. Лейбензон ) и А. Ю. Ишлинский [59] использовали приближенный подход для исследования устойчивости пространственных упругих тел. В этом случае принимается, что компоненты возмущенного состояния о Оу, а вследствии чего и компоненты возмущений о ц, удовлетворяют исходным уравнениям равновесия (1.9) (здесь и ниже штрих наверху приписан компонентам возмущения). В то же время граничные условия записываются на возмущенной исходной поверхности тела, и таким образом именно в граничные условия вводится параметр нагружения. Задача при подобном подходе упрощается, параметр нагружения определяется из существенно более простых характеристических уравне- [c.193]

Законность процесса линеаризации в связи с задачей гидродинамической устойчивости иногда подвергалась сомнению, несмотря на то, что этот процесс очень часто применяется в различных физических проблемах. В литературе можно найти работы, претендующие на доказательство полной устойчивости, согласно нелинейной теории, в таких случаях, для которых линейная теория определенно указывает на неустойчивость. Однако тщательный разбор применяемых рассуждений показывает, что эти претензии не обоснованны. [c.10]

В предыдущих главах рассматривались линейные модели реальных элементов и систем автоматического регулирования. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в системах автоматического регулирования. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность решать задачи устойчивости и качества процессов регулирования. Разработанные в теории автоматического регулирования методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. [c.139]

Анализ конкретных задач о трещинах в реальном нелинейно-упругом теле, напряженное состояние которого зависит лишь от его деформации (не зависит от поворотов), провести аналитическими средствами довольно трудно. (Решена плоская задача при условии сильного начального растяжения тела [119].) Однако выводы о концентрации деформаций (см. 3.3), о связи между раскрытием трещины и напряжениями на ее продолжении, а также о потоке энергии (см. 3.4) можно сделать, основываясь на геометрически точных соотношениях и не привлекая конкретных уравнений состояния. Достаточным является введение довольно естественных предположений общего характера, например об устойчивости материала. Оказывается, что неограниченность деформаций у края трещины не является следствием линеаризации. Она сохраняется и при точной постановке задачи. Характер особенности может измениться, но поток энергии сохраняется - линейная теория определяет его правильно. [c.69]

В большинстве работ этого направления нахождение всех характеристических показателей на мнимой оси квалифицировалось как устойчивость. Критические параметры определялись из условия, что в окрестности их значений хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Но уравнения линейной теории устойчивости следует рассматривать как резуш1тат линеаризации некоторых нелинейных уравнений, описывающих физическую задачу. С точки зрения теории Ляпунова, случай нахождения всех показателей на мнимой оси должен трактоваться как сомнительный, когда линеаризированные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, большинство парадоксов дестабилизации вследствие трения являются результатом некритического применения динамического метода. Чтобы устранить двусмысленность в терминологии, было предложено [66] называть случай, когда все характеристические показатели находятся на мнимой оси, квазиустойчивостью, а значении параметров, при которых хотя бы один из показателей переходит на правую полуплоскость, - квазикритическими. Термины устойчивость и критические значения сохраняют при этом строгий смысл. [c.481]

В теории устойчивости трехмерных твердых тел, в отличие от постановки Саусвелла, которая предполагает лагранжево представление о деформировании при потере устойчивости, определилась постановка Лейбензона — Ишлинского, в которой компоненты возмущенного состояния относятся к первоначальным координатам. Рассматриваемые в настоящей монографии методы линеаризации по параметру также относят возмущенное состояние к первоначальным координатам, поэтому различные решения, полученные в теории устойчивости в постановке Лейбензона — Ишлинского, могут быть использованы для решения упругопластических задач и наоборот. В связи с этим отметим цикл работ по теории устойчивости [1,21-28, 31, 33, 40]. [c.9]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Нелинейность вязко-упругих систем, по крайней мере в рамках большинства предлагавшихся до сих пор моделей, является аналитической и допускает линеаризацию. Поэтому задачи устойчивости для вязко-упру-гих систем оказываются проще, чем для систем упруго-пластических, и теория продвинута здесь несколько дальше. Процесс деформирования вязко-упругих систем развертывается во времени. Существенное значение приобретает тип возмущений и последовательность их действия во вре- мени, а также продолжительность интервала времени, на протяжении которого исследуется устойчивость. В расчетах вязко-упругих систем часто используется понятие критического времени под которым понимается продолжительность времени от начала нагружения до достижения критического состояния в некотором смысле. В общем случае время г оказывается функцией параметров внешних сил и типа возмущений. [c.348]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Замечательным примером системы, линеаризация которой ограничивает возможности обнаружения ее важнейших колебательных свойств, могут служить обыкновенные часы с майтни-ком, приводимые в движение, например, падаюш им грузом. Линейная трактовка колебаний маятника предполагает, что отклонения маятника от вертикального положения равновесия весьма малы. Такие малые колебания маятник будет совершать, если ему сообщить достаточно малое начальное возмущение (отклонение). Но, как легко проверить, при малом начальном возмущении маятник, предоставленный затем самому себе, будет совершать затухающие колебания с быстро убывающими амплитудами, пока не остановится в вертикальном положении. Часы от такого малого начального возмущения не пойдут , так как источник пополнения расходуемой маятником энергии (падающий груз) при таких колебаниях не включается. Таким образом, линеаризация системы — часы с маятником — не дает возможности обнаружить в ней те свойства, которые являются наиболее характерными для часов как инструмента для измерения времени. Эти свойства проявляются только при достаточно большом начальном возмущении и при колебаниях с конечной амплитудой. Когда маятник получит возмущение, большее некоторого предела, в дальнейшем своем движении он ведет себя резко отлично от привычного в линейной теории поведения систем с сопротивлением. Амплитуды колебаний маятника начинают расти или убывать, приближаясь в том и другом случае к одному предельному стационарному значению, достигнув которого они дальше не изменяются, так что маятник совершает устойчивые изохронные колебания, обеспечивая тем самым более или менее точный отсчет времени. Открыть существование такого устойчивого периодического движения в системе с сопротивлением, оставаясь в пределах линейной теории, описать средствами последней свойства этого движения мы, конечно, не можем. Линейная трактовка задачи о колебаниях маятника часов связана с отказом от исследования наиболее важных с практической точки зрения колебательных свойств системы, наиболее характерных для ее назначения и использования. [c.470]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...