Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

Момент инерции тела относительно оси часто представляют кан произведение массы тела М на квадрат некоторого расстояния, т. е. Jг = М р. Это расстояние = называют радиусом инер- [c.243]

Из поверхностей второго порядка этому условию удовлетворяет только одна, а именно эллипсоид. Найденный эллипсоид называют эллипсоидом инерции для данного тела в точке О. Очевидно, эллипсоид инерции для данного тела можно построить в любой точке пространства. Поэтому эллипсоидом инерции для данного тела в какой-либо точке называют эллипсоид с центром в этой точке, центральные радиусы-векторы точек которого равны обратным значениям квадратных корней из моментов инерции тела относительно осей, направленных по этим радиусам-векторам. [c.249]

Из сравнения формул (14.13) и (14.14) следует, что момент инерции тела относительно оси равен моменту инерции относительно той же оси материальной точки, имеющей массу, равную массе тела, и находящейся от оси на расстоянии, равном радиусу инерции тела. [c.162]

При произвольных направлениях осей координат выражение 2 т(х2 -ф у ) называют моментом инерции тела относительно оси 2 он равен квадрату радиуса-вектора эллипсоида (3), который совпадает с осью г. Положив р = о и у = о, получим г равным длине этого радиуса-вектора, а из уравнения (3) имеем [c.49]

Если момент инерции тела относительно оси найден (путем вычисления или из опыта), то радиус инерции тела относительно этой оси легко находится из предыдущей формулы [c.321]

Выражение момента инерции тела относительно оси А через радиус инерции г д [c.120]

Левая часть уравнения (88) означает работу силы на протяжении пути 5. В применении к вращательному движению эта работа будет выражаться формулой (77), в которой работа определяется в зависимости от вращающего момента и углового перемещения. Что же касается правой части этого уравнения, то скорости и Уо в конечный и начальный моменты, равно как и масса т, должны быть взяты для каждой частицы тела в отдельности. А так как скорость точки, как мы видели в кинематике, пропорциональна радиусу вращения, то в правой части будет сумма произведений из массы частицы на квадрат ее расстояния от оси вращения — сумма, распространенная на все частицы тела. Эта сумма называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Как следует из сказанного, единица момента инерции выражается произведением единицы массы на квадрат единицы длины, т. е. в кГм - сек = = кГм - сек . [c.178]

Тело состоит из двух элементов, выполненных в виде массивного однородного шара радиуса г и невесомого горизонтального стержня. Какова должна быть длина / этого стержня, чтобы момент инерции тела относительно вертикальной оси вращения Oz был в 11 раз больше осевого центрального момента инерции шара [c.95]

Ма барабан 2, момент инерции которого относительно оси вращения 1 = 0,05 кг м , намотаны нити, к которым прикреплены грузы 1 и 3 массой Ш = 2тз = 2 кг. Определить кинетический момент системы тел относительно оси вращения, если угловая скорость со = = 8 рад/с, радиусы R = 2г =20 см. (1,12) [c.242]

Груз массой т = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = = 0,2 кг м . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза и = 2 м/с. (10,5) [c.257]

Здесь / , 1г — моменты инерции тел относительно их осей вращения, <0,0, ( 2о —их угловые скорости до удара, ft) , (1)2 — угловые скорости после удара. Через S обозначен имнульс, прикладываемый к первому телу со стороны второго при ударе тогда на второе тело будет действовать импульс противоположного направления — S и Г2 — вектор-радиусы общей точки тел, в которой прикладывается удар, причем начала этих вектор-радиусов расположены на осях вращения соответствующих тел. [c.241]

Эллипсоид инерции. Рассмотрим моменты инерции тела относительно различных осей, проходящих через данную точку О. Примем эту точку за начало системы осей декартовых координат Охуг. Пусть направление произвольной оси Од характеризуется направляющими косинусами а, р, у. Радиус-вектор произвольной точки ту/ тела обозначим через Гу [c.359]

Таким образом, каждой точке О твердого тела соответствует поверхность второго порядка, обладающая тем свойством, что момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через точку О, обратно пропорционален квадрату длины радиуса-вектора точки пересечения этой поверхности с осью. Удобство этого геометрического построения состоит в том, что соотношения, Которые существуют между моментами инерции относительно пучка прямых, исходящих из произвольной точки О, могут быть обнаружены с помощью известных свойств квадратичных форм. [c.27]

Какова зависимость между моментами инерции, а также между радиусами инерции тела относительно параллельных осей [c.363]

Определить угловое ускорение барабана 1, если к нему приложена пара сил с постоянным моментом М = 0,2 Н м, массы тел W] = m2 = = 1 кг, моменты инерции относительно центральных осей /[ = /2 == 0,02 кг м , радиус г — = 0,2 м. (2,5) [c.315]

Определить модуль постоянного момента М пары сил, если груз 1, масса которого nti = = 10 кг, движется с ускорением 1 м/с . Моменты инерции тел 2 и 5 относительно осей вращения I2 = 0,04 кг м . /3 = 0,02 кг м , радиус г = 0,1 м. (1,1) [c.318]

Пусть момент инерции тела Jг представлен как произведение массы тела на квадрат радиуса инерции тела относительно оси вращения г, т. е.. /, = /VI0 . [c.816]

Момент инерции относительно оси ОДНОРОДНОГО твердого тела вращения, ограниченного двумя параллельными плоскостями. Пусть y = f( ) есть уравнение меридиана поверхности вращения, имеющей осью вращения ось -г (фиг. 19). Рассечем тело вращения плоскостями, перпендикулярными к оси, на элементарные диски. Момент инерции какого-нибудь одного из этих дисков с радиусом, [c.56]

В последующем изложении этого параграфа мы будем заниматься действительным определением движения, допуская прямо, что условия а) и б) выполнены для материальной системы, а для удобства представления и изложения мы будем всюду говорить о плоском диске, представляя себе вместо заданной системы 5 диск, если система и не является таким диском. Центр тяжести G этого диска мы будем считать совпадающим с центром тяжести системы S, массу его т — равной массе системы 5 и главный центральный момент инерции С относительно той оси, неизменно связанной с телом проходящей через центр тяжести G, которая, по предположению, вначале перпендикулярна к тс, — равным (где 8 есть радиус инерции). [c.25]

Пример 1. Тело, имеющее форму кольца радиусом г, вращается под действием постоянного момента М вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии. Когда тело приобрело угловую скорость uq, потребовалось затормозить его. Для таких целей на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра установлены два реактивных двигателя. Относительная скорость истечения газов в двигателях направлена по касательной к ободу кольца и равна и секундный расход топлива равен q, начальный момент инерции тела с топливом равен Jq. Требуется найти расход топлива, необходимый для полного торможения тела. [c.266]

Очевидно, продольный метацентрический радиус больше поперечного, так как всегда больший момент инерции будет относительно поперечной оси. Поэтому проверке подлежит поперечная остойчивость плавающего тела. [c.69]

Цилиндрический сосуд массы М и радиуса г (см. рисунок) заполнен жидкостью и может двигаться по гладкой горизонтальной плоскости момент инерции цилиндра относительно его оси равен J. Жидкость вытекает через вертикальную трубку D в днище цилиндра, ось которой отстоит на расстояние а от оси цилиндра. Истечение жидкости происходит таким образом, что ее масса в сосуде меняется по закону ш = ш( ), причем функция m(t) удовлетворяет условиям ш( о) = 0, = О, ш( о) = = О, т. е. вся жидкость вытекает из сосуда за время без ударов в начальный и конечный моменты времени. Составить уравнения движения сосуда, считая, что находящуюся в сосуде жидкость в каждый момент времени можно рассматривать как твердое цилиндрическое тело, движущееся вместе с сосудом (иначе говоря, считая, что горизонтальная составляющая скорости частиц находящейся в сосуде жидкости относительно стенок сосуда равна нулю), а частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент отделения от трубки. [c.87]

Моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси радиус инерции. Моменты инерции тела относительно плоскости и полюса. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса). Примеры вычисления моментов инерции (моменты инерции однородного тонкого стержня, тонкого круглого кольца или полого цилиндра и круглого диска или сплошного круглого цилиндра). Формула для вычисления момента инерции относительно оси любого направления. Центробежные моменты инерции. Главные и главные центральные оси инерции и их свойства. [c.8]

Обозначим вес груза М через Р, суммарный момент инерции тела А и блока В относительно оси О — через У, радиус блока В — через а. Будем пренебрегать массой нити, а также трением на оси о и сопротивлением воздуха. [c.345]

Для повышения точности гироскопического прибора желательно максимальное увеличение кинетического -момента гироскопа. Это возможно как за счет увеличения момента инерции J ротора гиро-мотора, так и за счет повышения числа оборотов . Увеличение момента инерции связано с увеличением размеров ротора, с применением материала с наибольшим удельным весом. Поскольку момент инерции тела относительно оси определяется как произведение массы тела на квадрат радиуса инерции, целесообразно располагать массу ротора как можно дальше от оси его собственного вращения. Именно поэтому гиромоторы электрических гироскопических приборов представляют собой электромоторы обращенного типа, в которых статор находится внутри ротора. Но увеличение массы, а следовательно, и веса ротора приводит к повышению давления на подшипники опор внутреннего и наружного колец карданного подвеса. Это приводит к увеличению момента трения на осях подвеса и к недопустимым по величине уходам чувствительного элемента гироскопического прибора от заданного направления. Поэтому к повышению момента инерции ротора путем увеличения его массы надо подходить осторожно. Может случиться так, что увеличение кинетического момента указанным путем приведет не к повышению, а к понижению точности гироскопического прибора. [c.14]

Для определения момента инерции /г тела А относительно вертикальной оси Ог его прикрепили к упругому вертикальному стержню 00, закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг оси Ог на малый угол фо, и отпустили период возникших колебаний оказался равным Т, момент сил упругости относительно оси Ог равен гпг = — сф. Для определения коэффициента с проделали второй опыт на стержень в точке О был надет однородный круглый диск радиуса г массы М, и тогда период колебаний оказался равным Определить момент инерции тела Д. [c.280]

Твердое тело массы М качается вокруг горизонтальной осп О, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояние от оси подвеса до центра масс С равно а радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, равен р. В начальный момент тело было откло-нек о из положения равновесия на угол фо и отпущено без начальной скорости. Определить две составляющие реакции оси Н п Ы, расположенные вдоль направления, проходящего через точку подвеса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в зависимости от угла ф отклонения тела от вертикали. [c.326]

Момент инерции тела относительно оса. Радиус инерции. Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например (рис. 296), если расстояния h ог оси Ог каждого из одинаковых шаров А и В увеличить на одну и ту же величину, то положение центра масс системы не изменится, а распределение масс станет другим, и эго скажется на движении системы (вращение вокруг оси Ог при прочих равных условиях будёг происходить медленнее). [c.333]

Приложение общих уравнений, данных в п. 465, к твердому телу, движущемуся параллельно неподвижной плоскости. Примем за плоскость фигуры плоскость кривой, описываемой цейтром тяжести. Возьмем в этой плоскости две неподвижные оси Ох и Оу и пусть 6 и т) — координаты точки G. Достаточно, очевидно, знать движение плоской фигуры (Я), являющейся сечением тела плоскостью хОу, Обозначим через 0 угол между осью Ох и радиусом GA, неизменно связанным с этой плоской фигурой (Р), и через Mk" —момент инерции тела относительно оси, проведенной через G перпендикулярно к плоскости хОу. [c.361]

Ркследуемое тело закрепляют на вертикальной оси 00. На шкиве, закрепленном на той же оси, намотана нить, перекинутая через блок, с грузом иа конце (рис. ПП-4). При падении грузя блок приводится во вращательное движение. Для определения момента инерции тела относительно оси 00 замеряют продолжительность I падения груза с высоты к. Если радиус шкиза г, то момент инерции тела можно вычислить по формуле [c.310]

J — момент инерции тела относительно оси врапдения. Папомним, что у однородного цилиндра радиуса R момент инерции относительно оси, проходяпдей через центр масс, J = ппВ 2, однородного стержня длиной а, относительно середины J = та /12, а относительно конца J = та Ъ. [c.241]

Пример 99. Найти приближенную записи-мость между амплитудой и частотой свободных колебаний для системы, изображеииой на рис. 281. Система состоит из физического ма-ятиика, момент инерции которого относительно оси вращения равен У и поступательно движущегося тела массой, равной т. Радиус цилиндрической части маятника R. Проскальзывание в зацеплении отсутствует. Расстояние от оси привеса до центра тяжести маятника d, его вес G. [c.398]

Моменты инерции тела относительно параллельных осей связаны соотношением J = + 1п т, где — момент инерции относительно оси, проходяпдей через центр масс, h — расстояние между осями (см. также с. 273). Если известен радиус инерции г тела массы ш, то его момент инерции J = тг . [c.241]

Н, радиус R, расстояние между осями цилиндров равно 2й. Определить, пренебрегая массой доски, главные центральные моменты инерции тела, а также его моменты инерции относительно системы осей Охуг, параллельных главным центральным осям и имеющим начало в точке О, расположенной на главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости, проходящей через оси цилиндров. Найти такое положение точки О, чтобы Ji = J,j = 2Jz-Система главных центральных осей x yjZi показана на рис. 350. Применив теорему о моментах инерции относительно параллельных осей, найдем [c.293]

Иначе говоря, радиусом инерции р твердого тела относительно некоторой оси Oz называется расстояние от этой оси, на котором следует расположить всю массу тела, не изменяя момента инерции тела. Введя понятие радиуса инерции, мы можел момент инерции твердого тела выражать как момент инерции некоторой точки, обладающей массой тела и удаленной от оси Oz на расстояние р (вторая из формул (21.3)). [c.374]

Положим, что тело представляет собой сплошной однородный цилиндр высоты h. Найдем момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr (элементарные цилиндры) с внутренним радиусом г и внешним r+dr (рис. 194). Момент инерции каждого такого полого цилиндра мы можем вычислить, пренебрегая dr по сравнению с г, т. е. считая, что расстояние от всех точек одного элементарного полого цилиндра до оси равно г. Поэтому для каждого отдельного цилиндра момент инерции равен 5]Дтг =г Х1Дт, где ЦАт — масса всего элементарного цилиндра. Сечение стенки полого цилиндра есть h dr н ее длина 2лг поэтому объем элементарного цилиндра равен 2nrh dr, и если материал однороден, то масса всего полого цилиндра 1 Дт = р2яг/г dr, где р — плотность [c.405]

Момент инерцаа однородного тела вращения, ограниченного плоскостями двух параллелей, относительно его оси. Рассмотрим сначала случай кругового цилиндра высоты Л и радиуса R. Так же как и в случае шара, если радиусу дать приращение dR, то момент инерции цилиндра относительно его оси получит приращение [c.18]

Дюбуа (Du В U о t s) экспериментально обнаружил, что маятник увлекает за собой определенную массу воздуха, которая увеличивает момент инерции тела, не добавляя к действующим силам тяжести новых сил. Этот результат был подтвержден Бесселем и Стоксом. Масса, добавляющаяся к телу, порождается массой воздуха, вытесненного телом, причем отношение этих масс зависит от внешней формы тела. Пусть эта масса равна iVp. Если тело симметрично относительно ножей так, что внешняя форма остается неизменной, какой бы из ножей ни был принят в качестве оси, то i будет одним и тем же прн каждом колебании. В уравнении (1) п. 92, а следовательно, также и в п. 98 к величине необходимо добавить член iVpk /m, где k — радиус инерции присоединившегося воздуха относительно оси подвеса, а т — масса маятника. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...