Дисперсионное соотношение волн на воде

Волны синусоидальной формы рассматривались в разд. 3.2—3.5. Было получено детальное описание движения воды в волнах малой амплитуды (рис. 50 и 55), энергетических соотношений для них, а также оценки (рис. 58 и 59) скорости, с которой их энергия может рассеиваться. Кроме этого, показано, как скорость волны изменяется в зависимости от её длины (рис. 52, 56 и 57), т. е. выяснены дисперсионные свойства волн на воде. [c.293]

В этом разделе мы изучим различные свойства корабельных волн, непосредственно следующие из дисперсионного соотношения для волн на воде. Мы укажем также некоторые общие характеристики мощности Р , включая методы ее определения из модельных экспериментов. Однако мы отложим обсуждение проблемы вычисления мощности Р или амплитуды корабельных волн, от которой она зависит, до тех пор, пока в гл. 4 не будут развиты некоторые методы. [c.331]

Целый ряд наиболее интересных волновых движений связан с волнами на воде. Некоторые из них, такие, как, например, У-образная система волн от движущегося корабля или расходящиеся от брошенного в воду камня кольца, хорошо известны каждому другие сравнительно легко наблюдать. Мы начнем с них. Дисперсионное соотношение, единственное, что нам здесь понадобится, будет принято без объяснений. В дальнейшем нам придется глубже вникнуть в теорию волн на воде, поскольку она явилась первым и наиболее плодотворным источником идей теории диспергирующих воли. Тогда мы и выведем дисперсионное соотношение. [c.388]

Предыдущие выводы обладают большой гибкостью, и такой подход естественным образом допускает различные альтернативы, рассмотренные нами. Становится также ясным, что данные уравнения применимы ко многим задачам о диспергирующих волнах, совершенно не связанных с волнами на воде. Любое дисперсионное соотношение с нечетной функцией со (и) с точностью до двух первых членов можно представить в виде (13.89) или (13.94), а тогда уравнения (13.90) и (13.95) будут описывать линеаризованную теорию. После этого остается лишь обсудить вид нелинейных членов, и члены в (13.91) или (13.99) довольно типичны. Например, именно так получаются эти уравнения в физике плазмы. [c.446]

Исследования Стокса волн на воде (первая публикация [1] в 1847 г.) положили начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в этой работе, намного опередив другие исследования в данной области, он получил следующие фундаментальные результаты во-первых, в нелинейных системах могут, существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых, дисперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды приводит к важным качественным изменениям в поведении решения и вводит новые явления, а не только численные поправки. [c.453]

В заключение перейдем от задачи о прямолинейных волнах на воде в каналах постоянного сечения к рассмотрению некоторых других приложений изложенного теоретического подхода. Общее обсуждение в 2 позволило нам достаточно близко подойти к пониманию рассматриваемого механизма неустойчивости без уточнения характера физической системы в частности было показано, каким образом дисперсионную компоненту определяющего уравнения (37) для фазовой функции 0 можно весьма просто получить из соотношения, неявно записываемого в виДе 0 = /( ), которое существует между частотой и волновым числом в предельном случае а->0. [c.102]

Мы видим, что у этих волн нет дисперсии. (Замечание. Оказывается, что точное дисперсионное соотношение для синусоидальных волн в мелкой воде имеет вид %v= gh. В результате нашего пилообразного приближения получается завышенная на 10% скорость распространения.) [c.102]

Для волн в глубокой воде (когда равновесная глубина много больше длины волны) амплитуда волны экспоненциально падает с глубиной и уменьшается в е=2,718 раз при увеличении глубины на к 2к. Величина называется приведенной длиной волны. В грубом приближении можно сказать, что волны в глубокой воде представляют собой нечто похожее на волны в. мелкой воде для глубин от поверхности до эффективной глубины так как на таких глубинах амплитуда относительно велика и, грубо говоря, постоянна. Однако для глубин, значительно больших амплитуда очень мала. Таким образом, мы предполагаем, что дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде может быть получено из дисперсионного соотношения для волн в мелкой воде заменой равновесной глубины /г на длину "к среднего ослабления амплитуды. Как мы покажем в главе 7, это предположение справедливо. Таким образом, дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде имеет вид kv=Y gx. [c.102]

Пусть кофейная чашка будет непрозрачным препятствием. Оцените расстояние Ь, за которым тень от чашки размывается. Предположим, что диаметр чашки вам неизвестен. Оцените его экспериментально для этого нужно извлечь квадратный корень из произведения Ь на длину волны водяных волн. (Происхождение этой формулы см. в п. 9.6.) Заметим, что этим методом определяется дна.метр атомных ядер — по измерениям их дифракционного поперечного сечения. (3 а м е-ч а н и е, В этом опыте довольно трудно измерить длину волны. Проще колебать доску в определенном темпе (как можно быстрее), чтобы знать частоту. По частоте и дисперсионному соотношению для волн в воде (п. 4.2) можно определить длину волны.) Как согласуется ваша оценка размеров чашки с ее действительными размерами [c.469]

В частности, выраженное через частоту дисперсионное соотношение (18) для поверхностных волн на глубокой воде с учетом поверхностного натяжения и тяготения путем подстановки в него выражения из (50) становится таким [c.276]

Заметим, что характер траекторий частиц жидкости в волнах на глубокой воде не изменится по сравнению с тем, что изображено на рис. 50, если мы сделаем замену (50), чтобы учесть влияние поверхностного натяжения. Кроме того, тем же самым остается предельное значение, которое должна превышать глубина для обеспечения точности результатов теории глубокой воды. Это значение порядка длины волны Я, если граничное условие должно удовлетворяться с повышенной точностью, или — около 0,28 Я, если за критерий берется выполнение дисперсионного соотношения с точностью 3% (условие (37)). [c.278]

Действительно, если мы используем замену (50) в (36), мы получим дисперсионное соотношение для волн ряби на воде произвольной, но постоянной глубины к [c.279]

Волны, порожденные цилиндрическими препятствиями, либо лежащими поперек стационарного потока, либо, что равносильно, перекрывающими канал, полный воды, по которой они движутся, имеют (как мы видели) много свойств, легко выводимых из дисперсионного соотношения. Расчет их амплитуды может быть, однако, более трудным. Мы завершим описание этих волн, проведя такой расчет в не слишком сложном случае. Мы попытаемся провести вычисления таким образом, чтобы пролить свет на проблему стационарной картины волн в одномерной диспергирующей системе в общем виде и чтобы прояснить природу взаимосвязи между амплитудой волн и продольными размерами препятствия. [c.325]

Для волн на глубокой воде (см. гл. 12) дисперсионное соотношение имеет вид 8 - Поэтому уравнение к) = х/1 приводит к формулам [c.363]

Здесь к — невозмущенная глубина, д — ускорение свободного падения, р — плотность, Т — поверхностное натяжение. На спокойной воде волны изотропны и дисперсионные соотношения содержат только модуль к волнового вектора. Существует несколько интересных предельных случаев, которые при соответствующих обстоятельствах принято использовать в качестве аппроксимаций. [c.388]

Если препятствие имеет конечный размер вдоль оси Xg, то на поверхности воды образуется двумерная картина волн и анализ усложняется. Мы ограничимся задачей о гравитационных волнах на глубокой воде и используем дисперсионное соотношение (12.5). Этот случай охватывает картины волн, создаваемые объектами длиной 7. т-, движуш имися по воде глубиной h I (что обычно выполняется для корабельных волн). [c.393]

Более детальное рассмотрение картины волн удобно провести в системе отсчета, в которой источник находится в неподвижной точке Р, а скорость U однородного потока направлена вдоль оси (см. рис. 12.4 на стр. 397). При этом возникает ряд общих вопросов описания стационарных волновых процессов, которые оказываются полезными и в иных контекстах. Дисперсионные соотношения из 12.1 применимы к волнам, распространяющимся по неподвижной воде, но можно перейти в систему отсчета, движущуюся с относительной скоростью —U, заметив, что частота to относительно движущейся системы следующим образом выражается через частоту tOo относительно неподвижной системы- [c.395]

Можно отметить, что для волн Стокса на глубокой воде дисперсионное соотношение (13.124) дает [c.471]

Из соотношений (1.7) с использованием одного из соотношений (1.9) можно получить связь между со и к ., т.е. дисперсионное соотношение. На фиг. 2 показаны дисперсионные кривые, соответствующие симметричным волнам в канале с е = 0,25, с1 = 1/9. Дисперсионные кривые для антисимметричных волн имеют аналогичный вид. Разные кривые соответствуют разным модам. Заметим, что моды с большими номерами соответствуют относительно коротким волнам, которые не описываются приближением мелкой воды. [c.139]

Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса существование периодических волновых пакетов является типичным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако, как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты линейной теории основываются на использовашш групповой скорости модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды приводит к ряду новых эффектов (например, к наличию двух групповых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл. 15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных областей приложения теории является нелинейная оптика, новая быстро развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16. [c.21]

В статье дается обзор различных применений вариационных методов п теории нелинейных волн в средах с дисперсией, причем особое внимание уделяется применению этих методов для волн на воде. Сначала обсуждается вариационный принцип, соответствующий теории волн на воде затем этот принцип используется для вывода длинноволновых приближений Буссинеска и Кортевега — де Фриза. Кратко излагается теория резонансного почти линейного взаимодействия с использованием функции Лагранжа. После этого дается обзор предложенной автором теории медленно меняющихся цугов волн и ее приложений к теории волн Стокса. Приводится также теория возмущений Льюка для медленно меняющихся цугов волн. Наконец показано, как можно при помощи интегро-дифференциальных уравнений сформулировать более общие дисперсионные соотношения важное приложение этого подхода, развитое с некоторым успехом, может помочь разрешить давно стоящие трудности в понимании опрокидывания волн на воде, [c.12]

К настоящему времени выполнено также полное исследование стоксовых волн на воде произвольной глубины (Уизем, [12]). В дополнение к нелинейности, вносимой дисперсионным соотношением, здесь имеет место взаимное влияние волнового движения и изменений средней высоты Ь и скорости Р для глубокой воды этим взаимным влиянием можно пренебрёчь, поэтому предыдущий результат остается справедливым. Для конечной глубины это взаимное влияние приводит к уменьшению скорости роста модуляций, а для мелкой воды уравнения меняют тип и цуги волн становятся устойчивыми. [c.27]

Границы изменения волнового числа п выбраны в соответствии с критерием (Лайтхилл 1981), согласно которому волны с длиной волны А 3, ЪН с точки зрения энергетики и дисперсионного соотношения уже практически не чувствуют дно, т.е. дают предельный случай волн на глубокой воде. Другой предельный случай длинных волн (теория мелкой воды) со скоростью распространения л/дН практически достигается нри А 14ii. Верхняя [c.44]

Дисперсионное соотношение для гравитационных волн в воде. Мы рассмотрели геометрию идеальных волн в воде, но еще ничего не знаем о соотношении между формой (длиной волны и глубиной) и частотой. Чтобы изучить эту связь, нужно рассмотреть возвращающую силу, которая действует на воду в волне. (Наполшим, что возвращающая сила, приходящаяся на единицу смещения и на единицу массы, равна со . Это — общий результат, справедливый как для гармонических водяных волн, так и для любых других гардюни-ческих волн.) [c.316]

Тем не менее есть особая причина, в силу которой желательно изучить дисперсионное соотношение для волн ряби на воде произвольной, но постоянной глубины, а именно возможность выбора много меньшей, чем обычная глубина воды в волновой кювете с тем, чтобы (разд. 1.7) рябь имитировала звуковые волны, обладая по возможности малой дисперсией. Идея состоит в том, что глубина выбирается таким образом, чтобы уничтожить противодействующие отклонения в скорости от длинноволновой асимптотики уменьшение (рис. 52) скорости за счет уменьшения Я до величин, сравнимых с глубиной, и увеличение ее (рис. 56) за счет уменьшения Я до величин, при которых эффективное значение Е повышается из-за влияния поверхностного натяжения. [c.279]

Более того, простая теория из разд. 3.6 мон>ет быть расширена и на неоднородные системы, а результаты все еще будут согласованы с представлением о том, что U является скоростью переноса энергии. Рассмотрим, например, уже упомянутые в разд. 3.3 волпы, распространяющиеся на воде уменьшаюп1,ейся глубины. Предположим, что глубина h уменьшается настолько медленно в масштабе длины волны, что дисперсионное соотношение (35), полученное для случая воды постоянной глубины h, служит хорошим приближением в каждой точке с локальным значением h. Предположим далее, что h = h (х), так что глубина меняется только в перпендикулярном гребням направлении. Тогда (35) принимает вид неоднородного дисперсионного соотношения [c.313]

Чтобы проиллюстрировать степень влияния получения энергии из набегающей волны на оптимальные аэродинами ческие характеристики тонкого крыла, колеблющегося в вол не, на рис. 3 представлены некоторые численные результаты для г1тах. Расчеты были выполнены с использованием беЗ размерного дисперсионного соотношения ст = х-1-(хб)Ч типичного для волн в воде, причем считалось, что б = 0.2. Для Ст-, о и ё порядка 10 максимальный коэффициент полезного действия незначительно больше, чем в случае однородного набегающего потока, и г] тах<С 1 ВО всем диапззоне частот (ст = Стс указывает критическую линию, такую, что для заданного значения Сг. о > О и при ё = О оптимальное решение не существуе для о < СТс). [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...