Фазовых траекторий общие свойства

Фазовых траекторий общие свойства 21 Фильтр 228 [c.298]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Общие свойства фазовых траекторий [c.25]

Заключение о размешивающемся характере статистических систем является следствием представлений о релаксации. Следует отметить, что существуют еще более общие соображения, указывающие на ошибочность одной распространенной точки зрения. Мы имеем й виду точку зрения, согласно которой для применимости физической статистики, кроме принципа равновероятности начальных микросостояний (см. 4), достаточно самых общих свойств динамических систем вместе с единственной дополнительной характеристикой фазового пространства, состоящей в том, что подавляющее большинство траекторий, исходящих из заданной макроскопической области, приводит к более равновесному состоянию (см. 4). Такая точка зрения позволяет объяснить возрастание энтропии в ближайшем будущем, но ничего не может дать для определения поведения системы за длинные промежутки времени, и, в частности, для определения характера временного ансамбля системы и асимптотического — при больших временах — состояния системы (состояния релаксации). В рамках такой точки зрения, кроме того, невозможно объяснить, почему статистика применима к одним системам и не применима к другим, т. е. н е в о з м о ж-но определить границы приложимости физической статистики. Например, не может быть дан ответ на вопрос о том, почему части какого-нибудь сложного механизма (например, механического станка, очевидно целиком подпадающего под условия, на которых основана рассматриваемая точка зрения), не имеют во времени гиббсовского распределения по энергиям, или на вопрос о том, почему не устанавливается статистическое равновесие внутри неравномерно движущихся систем. [c.34]

Помощи ансамбля реально существующих систем. В самом деле, изменения распределений в реальном ансамбле за интересующие статистическую физику времена, в силу особых свойств фазовых траекторий статистических систем, не имеют ничего общего с изменениями распределений в фазовом пространстве данной рассматриваемой статистической системы ( 15). [c.90]

Обсуждаются общие свойства пространства решений симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства рещений, соответствующих колебательной области свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [c.169]

Прежде чем переходить к рассмотрению задач о движении конкретных динамических систем второго порядка, нам придется изложить некоторые общие теоремы о свойствах фазовых траекторий, а также некоторые способы качественного исследования фазовых портретов динамических систем, которые позволяют получить некоторые, часто весьма неполные сведения о характере фазовых траекторий и, следовательно, о характере движений той или иной динамической системы. [c.338]

Укажем на еще одно свойстве фазовых траекторий, которое имеет общий характер. [c.28]

Для того, чтобы определить характер изменений, вносимых дополнительным моментом М в свойства движения, необходима дополнительная информация об этом воздействии. Без этой информации можно делать лишь общие заключения типа - в малой окрестности любой точки покоя фазовые траектории ведут себя неизвестным образом", а вне этой окрестности,так как уже описано (например, на рис.30 изображена окрестность седловой точки). [c.38]

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства фазовых траекторий. Непосредственно видно, что каждая фазовая траектория в верхней полуплоскости может проходить только слева направо, а в нижней полуплоскости — только справа налево. В верхней полуплоскости всегда у>0, и, следовательно, величина х может только возрастать в нижней полуплоскости, наоборот, с)<0, и величина х может только убывать. Таким образом, направление движения изображающей точки по фазовой траектории определяется однозначно на рис. 11—13 оно показано стрелками. [c.21]

Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы (осциллятора), то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом осциллятора. Подобно тому как портрет человека позволяет составить известное представление о нем, фазовый портрет показывает специалисту важные свойства осциллятора. [c.21]

Рассмотрим поведение объекта в условиях его функционирования и взаимодействия с окружаюш,ей средой. Состояние объекта в каждый момент t описываем с помош,ью вектора и — элемента пространства состояний и. Под t подразумеваем не только физическое время, но и любой монотонно возрастаюш,ий параметр, который является независимой переменной при описании функционирования объекта (например, это может быть наработка). В дальнейшем называем t временем, считая, что оно принимает непрерывные значения на отрезке °о). Часто полагаем = 0. Каждой реализации процесса U t) соответствует некоторая траектория в пространстве состояний U. Таким образом, U — фазовое пространство. Понятие состояния здесь имеет более широкий и в общем случае иной смысл, чем понятие технического состояния. Размерность и свойства пространства U — зависят от выбранной расчетной схемы. [c.36]

Теорема Пуанкаре дает нам метод доказательства неинтегрируемости если траектории невырожденных периодических решений заполняют фазовое пространство всюду плотно или хотя бы это множество обладает ключевым свойством, то гамильтонова система не имеет дополнительного аналитического интеграла. По-видимому, в гамильтоновых системах общего положения периодические траектории действительно всюду плотны (Пуанкаре (34), п. 36). Это пока не доказано. Отметим в связи с гипотезой Пуанкаре следующий результат, касающийся геодезических потоков на римановых многообразиях отрицательной кривизны все периодические решения имеют гиперболический тип и множество их траекторий всюду плотно заполняет фазовое пространство [3]. [c.230]

Необходимо сделать еще одно замечание относительно связи фрактальной геометрии и фрактальной физики со случайными процессами и их исследованием методами математической статистики. Дело в том, что свойства той или иной фрактальной структуры целиком определяются процессами её породившими. Если не рассматривать регулярные фракталы, представимые как предел последовательности некоторых рекурсивных преобразований в математических примерах конструирования подобных объектов, то в остальных случаях наиболее важными являются стохастические фрактальные системы, порождаемые в ходе некоторого случайного процесса. Например, широко используемом для порождения и анализа свойств фрактальных объектов в численных экспериментах является метод ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [43], при котором процесс образования фрактального агрегата описывается как последовательное налипание частиц диффундирующих издалека к области, где растет агрегат таких частиц, к какой-либо точке (частице), уже сформированного на предыдущих шагах агрегата. Другие примеры связаны с анализом задач о случайном блуждании (обобщения статистических моделей диффузии, броуновского движения и т.п.). Статистические свойства характеризующих эти случайные процессы случайных величин и порождаемых ими в физическом или фазовом пространстве траекторий оказываются в общем случае описываемыми устойчивыми по Леви распределениями [44], представляющими собой обобщение классических нормальных (гауссовых распределений). [c.149]

Выполнение условия (1) строго доказано лишь длн век-рых динаыич, систем с малым числом степенен свободы. Предполагается, что Р. характерно для ми. систем и отражает общее свойство неустойчивости (раа-беганвя) фазовых траекторий по отношению к малым возмущениям нач. условий. Р. обусловливает непредсказуемость и необратимость поведения динамич. системы хаос динамический). Р. соответствует представлению о характере движений в сложной динаыич. системе, требующем перехода к статистич. описанию, но не даёт строгого обоснования применимости методов статистич, механики. [c.248]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

Существование семейства периодическга траекторий. Изучим общие свойства периодических траекторий, огибающих фазовый цилиндр квазискоростей, а также связь этих свойств со свойствами траекторий твердого тела на плоскости. Для этого исследуем функции а2( ,Оо), при >0,а [c.180]

Перемешивающим называется биллиард, в котором возмо/кпо движевис шара с перемешиванием. Область фазового пространства, занимаемая стохастическими траекториями, может составлять часть всей области фазового пространства допустимого движения. Общая картина динамики частицы в биллиарде определяется его геометрией. Биллиарды очень наглядны и удобны для изучения общих свойств гамильтоновых динамических систем. Интерес к ним связан, однако, не только с этим. Можно установить однознач ное соответствие между конкретными динамическими задачами и задачей [c.244]

Последние уравнения можно рассматривать следующим образом. Мы нашли 2N функций, и от фазовых переменных 9, р, а также от времени, которые обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории динамической системы Еще более четкая картина получится, если из этих 2N уравнений исключить зависимость от времени. Тогда останется множество 2N — 1 функций тллько от переменных фазового пространства. Эти функции обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории их можно обозначить специальными символами Ф (д, р), / = 1, 2,. . ., 2ЛГ — 1. Такие функции называются интегралами сохранения, или просто интегралами, или кон-стлнтлми движения. Таким образом, мы в самом общем виде установили существование 2N — 1 интегралов движения. Приписывая интегралам движения множество численных значений [c.355]

Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма разнообразными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фазовом пространстве сложные множества размерности больше п траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением Я = к ). Термин неинтег-рируемые в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н. [c.256]

Помимо рэлеевских волн, рассмотренных в 4, известны и другие типы поверхностных волн в твердых телах [12, 31]. Коснемся наиболее важных из них ). Прежде всего следует назвать поверхностные волны в кристаллах [32, 33]. В настоящее время строго доказано существование поверхностных волн в большинстве направлений любых срезов кристаллов [34, 35]. Анизотропия упругих свойств последних в общем случае приводит к тому, что плоская поверхностная волна имеет три компоненты смещения, а ее волновой вектор не совпадает по направлению с вектором групповой скорости ). Лишь для симметричных направлений кристалла векторы групповых и фазовых скоростей коллинеарны, а траектории частиц лежат в сагиттальной плоскости. Такие поверхностные волны, весьма схожие с рэлеевскими волнами в изотропном твердом теле, обычно называют волнами рэлеевского типа 32]. Типичным примером является волна, распространяющаяся в направлении 2 К-среза пьезоэлектрического кристалла ниобата лития. Заметим, что в пьезоэлектрических кристаллах поверхностная волна обычно сопровождается квазистатическим электрическим полем, что находит применение в различных акустоэлектронных устройствах обработки сигналов. Влияние пьезоэффекта приводит в ряде кристаллов к существованию чисто сдвиговых поверхностных волн [36, 37], называемых волнами Гуляева — Блюштейна. Эти волны, в отличие от рэлеевских, слабо неоднородны. Распространяясь со скоростью с с , они спадают с глубиной на расстоянии 1 Кэм Т , где /Сэм — коэффициент электромеханической связи, характери- [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...